華東師大初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《多邊形》全章復(fù)習(xí)與鞏固—知識(shí)講解(基礎(chǔ)

1、多邊形全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.認(rèn)識(shí)三角形并能用符號(hào)語(yǔ)言正確表示三角形，理解并會(huì)應(yīng)用三角形三邊之間的關(guān)系2.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，通過作三角形的三條高、中線、角平分線，提高學(xué)生的基本作圖能力，并能運(yùn)用圖形解決問題 3.能夠運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，證明問題.4.通過觀察和實(shí)地操作知道三角形具有穩(wěn)定性，知道四邊形沒有穩(wěn)定性，了解它們這些性質(zhì)在生產(chǎn)、生活中的廣泛應(yīng)用5.理解多邊形、多邊形的對(duì)角線、正多邊形以及鑲嵌等有關(guān)的概念；掌握多邊形內(nèi)角和及外角和公式，并能靈活運(yùn)用公式解決有關(guān)問題.體驗(yàn)并掌握探索、歸納圖形性質(zhì)的推理方法，進(jìn)一步培養(yǎng)

2、說理和進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的能力.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)1.三角形三邊的關(guān)系：定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍2.三角形按“邊”分類： 3.三角形的重要線段：（1）三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高要點(diǎn)詮釋：三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)

3、的位置情況有三種：銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.（2）三角形的中線在三角形中，連接它的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中線要點(diǎn)詮釋：一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，叫做三角形的重心中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.（3）三角形的角平分線三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.要點(diǎn)二、三角形的穩(wěn)定性如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性 要點(diǎn)詮釋：(

4、1)三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變(2)三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門不變形大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理(3)四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜著釘一根木板，使它不變形要點(diǎn)三、三角形的內(nèi)角和與外角和1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180

5、推論：1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余 2.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 （2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360.要點(diǎn)四、多邊形及有關(guān)概念1. 多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.要點(diǎn)詮釋：多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數(shù)最少的多邊形.2.正多邊形：各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等要點(diǎn)詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件

6、，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)角也都相等的四邊形才是正方形.3.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線. 要點(diǎn)詮釋：(1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n3)條對(duì)角線，將多邊形分成(n2)個(gè)三角形；(2)n邊形共有 條對(duì)角線要點(diǎn)五、多邊形的內(nèi)角和及外角和公式1.內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和為(n2)180(n3，n是正整數(shù)) 要點(diǎn)詮釋：（1）一般把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決；(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù).2.多邊形外角和：n邊形

7、的外角和恒等于360，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).要點(diǎn)詮釋：(1)外角和公式的應(yīng)用： 已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)； 已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù). (2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系： n邊形的內(nèi)角和等于(n2)180(n3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi) 角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加1條邊，內(nèi)角和增加180.要點(diǎn)六、鑲嵌的概念和特征1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同. 要點(diǎn)詮釋：（1）拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360；相鄰的多邊形有公共邊.(2)用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長(zhǎng)相等；

8、頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360.(3)只用一種正多邊形鑲嵌地面，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360時(shí)，就能鋪成一個(gè)平面圖形.事實(shí)上，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用.【典型例題】類型一、三角形的三邊關(guān)系1. 三根木條的長(zhǎng)度如圖所示，能組成三角形的是( )【思路點(diǎn)撥】三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)，即三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊注意這里有“兩邊”指的是任意的兩邊，對(duì)于“兩邊之差”它可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)，一般取“差”的絕對(duì)值【答案】D【解析】要構(gòu)成一個(gè)三角形必須滿足任意兩邊之和大于第三邊在運(yùn)用時(shí)習(xí)慣于檢查較短的兩邊

9、之和是否大于第三邊A、B、C三個(gè)選項(xiàng)中，較短兩邊之和小于或等于第三邊故不能組成三角形D選項(xiàng)中，2cm+3cm4cm故能夠組成三角形【總結(jié)升華】判斷以三條線段為邊能否構(gòu)成三角形的簡(jiǎn)易方法是：判斷出較長(zhǎng)的一邊；看較短的兩邊之和是否大于較長(zhǎng)的一邊，大于則能夠成三角形，不大于則不能夠成三角形【高清課堂：與三角形有關(guān)的線段 例1】舉一反三：【變式】判斷下列三條線段能否構(gòu)成三角形. (1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和7,則第三邊長(zhǎng)c的取值范圍是_.【答案】5c9；【解析】三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和7,

10、則第三邊長(zhǎng)c的取值范圍是2-7c2+7,即5c9【總結(jié)升華】三角形的兩邊a、b，那么第三邊c的取值范圍是a-bca+b.舉一反三：【變式】已知三角形的兩邊長(zhǎng)為4，8，則第三邊的長(zhǎng)度可以是_(寫出一個(gè)即可)【答案】5；注：答案不唯一，填寫大于4，小于12的數(shù)都對(duì)類型二、三角形中重要線段3. 下列各圖中，正確畫出ABC中AC邊上的高的是（）A. B. C. D.【答案】D；【解析】根據(jù)三角形高線的定義，AC邊上的高是過點(diǎn)B向AC作垂線垂足為E，縱觀各圖形，都不符合高線的定義，符合高線的定義故選D【總結(jié)升華】本題主要考查了三角形的高線的定義，是基礎(chǔ)題，熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】如圖

11、所示，已知ABC，試畫出ABC各邊上的高 【答案】 解：所畫三角形的高如圖所示 4.如圖所示，CD為ABC的AB邊上的中線，BCD的周長(zhǎng)比ACD的周長(zhǎng)大3cm，BC8cm，求邊AC的長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，有下列數(shù)量關(guān)系：ADBD，BCD的周長(zhǎng)比ACD的周長(zhǎng)大3【答案與解析】 解：依題意：BCD的周長(zhǎng)比ACD的周長(zhǎng)大3cm， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)3 又 CD為ABC的AB邊上的中線， ADBD，即BC-AC3又 BC8， AC5 答：AC的長(zhǎng)為5cm【總結(jié)升華】運(yùn)用三角形的中線的定義得到線段ADBD是解答本題的關(guān)鍵，另外對(duì)圖形中線段所在位置的觀察，找出它們之間

12、的聯(lián)系，這種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解幾何題常用的方法 舉一反三：【變式】如圖所示，在ABC中，D、E分別為BC、AD的中點(diǎn)，且，則為_【答案】3；類型三、與三角形有關(guān)的角5、如圖，在ABC中，B=67，C=33，AD是ABC的角平分線，則CAD的度數(shù)為（）A40 B45 C50 D55【思路點(diǎn)撥】首先利用三角形內(nèi)角和定理求得BAC的度數(shù)，然后利用角平分線的性質(zhì)求得CAD的度數(shù)即可【答案】A；【解析】解：B=67，C=33，BAC=180-B-C=180-67-33=80AD是ABC的角平分線，CAD=BAC=80=40【總結(jié)升華】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單【高清課堂：與三

13、角形有關(guān)的角 例1、】舉一反三：【變式】如圖，在ABC中，ACB=60，BAC=75，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE交于H，則CHD= 【答案】解：在ABC中，三邊的高交于一點(diǎn)，所以CFAB，BAC=75，且CFAB，ACF=15，ACB=60，BCF=45在CDH中，三內(nèi)角之和為180，CHD=45，故答案為CHD=45類型四、三角形的穩(wěn)定性6. 如圖所示，木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上兩條斜拉的木板條(即AB、CD)，這樣做的數(shù)學(xué)道理是什么?【答案與解析】 解：三角形的穩(wěn)定性【總結(jié)升華】本題是三角形的穩(wěn)定性在生活中的具體應(yīng)用實(shí)際生活中，將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形都是為

14、了利用三角形的穩(wěn)定性類型五、多邊形內(nèi)角和及外角和公式7一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？【思路點(diǎn)撥】本題實(shí)際告訴了這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是.【答案與解析】設(shè)這個(gè)多邊形是邊形，則它的內(nèi)角和是，解得.這個(gè)多邊形是十二邊形.【總結(jié)升華】本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運(yùn)用. 只要設(shè)出邊數(shù)，根據(jù)條件列出關(guān)于的方程，求出的值即可，這是一種常用的解題思路.舉一反三：【變式】（2016無(wú)錫一模）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1080度，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A6B7C8D10【答案】C解：根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，得（n2）180=1080，解得n=8這個(gè)多邊形的邊數(shù)是8故選：C類型六、多邊

15、形對(duì)角線公式的運(yùn)用8一個(gè)十二邊形有幾條對(duì)角線.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)多邊形對(duì)角線條數(shù)公式，把邊數(shù)代入計(jì)算即可【答案與解析】解： 過十二邊形的任意一個(gè)頂點(diǎn)可以畫9條對(duì)角線， 十二個(gè)頂點(diǎn)可以畫129條對(duì)角線，但每條對(duì)角線在每個(gè)頂點(diǎn)都數(shù)了一次， 實(shí)際對(duì)角線的條數(shù)應(yīng)該為129254（條） 十二邊形的對(duì)角線共有54條.【總結(jié)升華】對(duì)于一個(gè)n邊形的對(duì)角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律條，牢記這個(gè)公式，以后只要用相應(yīng)的n的值代入即可求出對(duì)角線的條數(shù)，要記住這個(gè)公式只有在理解的基礎(chǔ)之上才能記得牢. 舉一反三：【變式】一個(gè)多邊形共有20條對(duì)角線，則多邊形的邊數(shù)是（ ）. A6 B7 C8 D9【答案】C；類型七、鑲嵌問題9（2015濟(jì)寧）只用下列哪一種正多邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌（）A正五邊形B正六邊形C正八邊形D正十邊形【答案】B解：A、正五邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為1803605=108，不能整除360，不能