完全平方公式和平方差公式的應(yīng)用

1、完全平方公式和平方差公式的應(yīng)用公式： 語言敘述：兩數(shù)的 。公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊： 右邊： 熟悉公式：公式中的a和b既可以表示數(shù)字也可以表示字母，還可以表示一個(gè)單項(xiàng)式或者一個(gè)多項(xiàng)式。(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a， 是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中 是公式中的a， 是公式中的b (x-2y)(x+2y)填空：1、(2x-1)( )=4x2-1 2、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2第一種情況：直接運(yùn)用公式1.（a+3）(a-3) 2.( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c) 4. (-x+2)(-x-2)第二種情況：運(yùn)用公式使計(jì)算簡便1、 1998

2、2002 2、498502 3、9991001 4、1.010.99 5、30.829.2 6、（100-）（99-）7、（20-）（19-） 第三種情況：兩次運(yùn)用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2) 2、(a+2)(a-2)(a2+4) 3、(x- )(x2+ )(x+ ) 第四種情況：需要先變形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y) 2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1) 第五種情況：每個(gè)多項(xiàng)式含三項(xiàng)1.（a+2b+c）(a+2b-c

3、) 2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z) 4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式： 語言敘述：兩數(shù)的 . 。公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊： 右邊： 熟悉公式：公式中的a和b既可以表示數(shù)字也可以表示字母，還可以表示一個(gè)單項(xiàng)式或者一個(gè)多項(xiàng)式。公式變形1、a2+b2=(a+b)2 =(a-b)2 2、（a-b）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)2 3、(a+b)2 +（a-b）2= 4、(a+b)2 -（a-b）2= 一、計(jì)算下列各題：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、(0.02x+0.1y)2二、利用完全平方公式計(jì)算：（1）1022 （2）1972

4、三、計(jì)算：（1） （2）（3）四、計(jì)算：（1） （2）（3）五、計(jì)算：（1） （2） （3）（4）六、拓展延伸 鞏固提高1、若 ，求k 值。 2、 若是完全平方式，求k 值。3、已知，求的值巧用平方差公式解題平方差公式 用語言可敘述為：兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積等于這兩數(shù)的平方差。在解題過程中，若能靈活運(yùn)用平方差公式，可使問題化繁為簡，化難為易，復(fù)雜問題迎刃而解，現(xiàn)舉例解析如下參考：例1、計(jì)算：解析：若先算平方，再求差，則復(fù)雜繁瑣，而將看作，將看作，逆用平方差公式，則問題化繁為簡，事半功倍 =例2、計(jì)算：解析：先算平方和積，再求差，比較麻煩，而將變形為，再運(yùn)用平方差公式，則問題迅速獲解=例3、計(jì)算

5、：解析：直接計(jì)算，數(shù)值較大，可先將分母變形為，再逆用平方差公式，則問題迅捷可解原式=例4、計(jì)算：解析：這道題項(xiàng)數(shù)較多，數(shù)值較大，各個(gè)括號(hào)逐一計(jì)算，比較麻煩，令人望而生畏而逆用平方差公式，將各括號(hào)展開交錯(cuò)約分可使問題巧妙獲解原式=例5、試確定的未位數(shù)解析：這個(gè)問題看起來比較復(fù)雜，項(xiàng)數(shù)多，數(shù)值大，根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，將2變形為（3-1）再連續(xù)運(yùn)用平方差公式，可使問題柳暗花明，迎刃而解。原式= 因?yàn)槲次粩?shù)是1的任何次冪的未位數(shù)還是1所以未位數(shù)是1計(jì)算：（1）、 （2）、 （3）、（4）、試確定的未位數(shù)完全平方公式的變形和應(yīng)用一、 完全平方公式常見的變式（1）（2）（3）（4）（5）二、完全平方公式變

6、形的應(yīng)用例1 已知，求的值。解：由變式（1）得： 所以所以 所以例2 已知的值。 解：由變式（3）得： 例3 已知求的值。解：由變式（4）得： 所以 再由變式（2）得： 例4 已知，求的值。解：由題意知 在的兩邊都乘以得： 由變式（5）得： 例1 若為有理數(shù)，且滿足，求的值分析：欲求的值，須求出的值由題知，把已知式子進(jìn)行配方，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)便可達(dá)到解題目的解：，即，=20=1例2 已知，求的值分析：顯然，本題若按一般方法，即先求出的值，再代入多項(xiàng)式求值，將十分困難而我們發(fā)現(xiàn)，將求值式乘以2，則會(huì)出現(xiàn)完全平方式，其中也恰恰含有條件式因此，解決本題的關(guān)鍵是如何利用“配方法”將多項(xiàng)式進(jìn)行變形，從

7、而能夠運(yùn)用已知條件求解解： ，=19例3 試說明不論為何值時(shí),代數(shù)式的值總是正數(shù).分析：本題實(shí)質(zhì)就是證明.觀察代數(shù)式不難發(fā)現(xiàn)，將14拆成4、9與1的和，則立即出現(xiàn)了兩個(gè)完全平方式，然后再結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)便可達(dá)到目的解: =0,0,0.即代數(shù)式的值總是正數(shù).平方差公式專項(xiàng)練習(xí)題a卷：基礎(chǔ)題一、選擇題1平方差公式（a+b）（ab）=a2b2中字母a，b表示（ ） a只能是數(shù) b只能是單項(xiàng)式 c只能是多項(xiàng)式 d以上都可以2下列多項(xiàng)式的乘法中，可以用平方差公式計(jì)算的是（ ） a（a+b）（b+a） b（a+b）（ab） c（a+b）（ba） d（a2b）（b2+a）3下列計(jì)算中，錯(cuò)誤的有（ ）（3a+

8、4）（3a4）=9a24；（2a2b）（2a2+b）=4a2b2；（3x）（x+3）=x29；（x+y）（x+y）=（xy）（x+y）=x2y2 a1個(gè) b2個(gè) c3個(gè) d4個(gè)4若x2y2=30，且xy=5，則x+y的值是（ ） a5 b6 c6 d5二、填空題5（2x+y）（2xy）=_6（3x2+2y2）（_）=9x44y47（a+b1）（ab+1）=（_）2（_）28兩個(gè)正方形的邊長之和為5，邊長之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是_三、計(jì)算題9利用平方差公式計(jì)算：202110計(jì)算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a2）b卷：提高題一、七彩題1（多題思路題

9、）計(jì)算： （1）（2+1）（22+1）（24+1）（22n+1）+1（n是正整數(shù)）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）（32008+1）2（一題多變題）利用平方差公式計(jì)算：2009200720082 （1）一變：利用平方差公式計(jì)算： （2）二變：利用平方差公式計(jì)算：二、知識(shí)交叉題3（科內(nèi)交叉題）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x1）=5（x2+3）三、實(shí)際應(yīng)用題4廣場內(nèi)有一塊邊長為2a米的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3米，東西方向要加長3米，則改造后的長方形草坪的面積是多少？四、經(jīng)典中考題5下列運(yùn)算正確的是（ ） aa3+a3=3a6 b（a）3（a）5=a8 c（2a

10、2b）4a=24a6b3 d（a4b）（a4b）=16b2a26計(jì)算：（a+1）（a1）=_c卷：課標(biāo)新型題1（規(guī)律探究題）已知x1，計(jì)算（1+x）（1x）=1x2，（1x）（1+x+x2）=1x3，（1x）（1+x+x2+x3）=1x4 （1）觀察以上各式并猜想：（1x）（1+x+x2+xn）=_（n為正整數(shù)） （2）根據(jù)你的猜想計(jì)算： （12）（1+2+22+23+24+25）=_ 2+22+23+2n=_（n為正整數(shù)） （x1）（x99+x98+x97+x2+x+1）=_ （3）通過以上規(guī)律請你進(jìn)行下面的探索： （ab）（a+b）=_ （ab）（a2+ab+b2）=_（ab）（a3+a2

11、b+ab2+b3）=_2（結(jié)論開放題）請寫出一個(gè)平方差公式，使其中含有字母m，n和數(shù)字43.從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形紙板后，將剩下的紙板沿虛線裁成四個(gè)相同的等腰梯形，如圖171所示，然后拼成一個(gè)平行四邊形，如圖172所示，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，結(jié)果驗(yàn)證了什么公式？請將結(jié)果與同伴交流一下完全平方公式變形的應(yīng)用完全平方式常見的變形有:1、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值2、 已知，都是有理數(shù)，求的值。3 已知 求與的值。練一練 a組： 1已知求與的值。 2已知求與的值。3、 已知求與的值。4、 已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，

12、求a2+b2及ab的值b組：5 已知，求的值。6 已知，求的值。7 已知，求的值。8、，求（1）（2）9、試說明不論x,y取何值，代數(shù)式的值總是正數(shù)。c組:10、已知三角形abc的三邊長分別為a,b,c且a,b,c滿足等式，請說明該三角形是什么三角形？ 整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法(b卷)一、請準(zhǔn)確填空1、若a2+b22a+2b+2=0,則a2004+b2005=_.2、一個(gè)長方形的長為(2a+3b),寬為(2a3b),則長方形的面積為_.3、5(ab)2的最大值是_，當(dāng)5(ab)2取最大值時(shí)，a與b的關(guān)系是_.4.要使式子0.36x2+y2成為一個(gè)完全平方式，則應(yīng)加上_.

13、5.(4am+16am)2am1=_.6.2931(302+1)=_.7.已知x25x+1=0,則x2+=_.8.已知(2005a)(2003a)=1000,請你猜想(2005a)2+(2003a)2=_.二、相信你的選擇9.若x2xm=(xm)(x+1)且x0,則m等于a.1b.0c.1d.210.(x+q)與(x+)的積不含x的一次項(xiàng)，猜測q應(yīng)是a.5b.c.d.511.下列四個(gè)算式:4x2y4xy=xy3;16a6b4c8a3b2=2a2b2c;9x8y23x3y=3x5y; (12m3+8m24m)(2m)=6m2+4m+2，其中正確的有a.0個(gè)b.1個(gè)c.2個(gè)d.3個(gè)12.設(shè)(xm1

14、yn+2)(x5my2)=x5y3,則mn的值為a.1b.1c.3d.313.計(jì)算(a2b2)(a2+b2)2等于a.a42a2b2+b4 b.a6+2a4b4+b6 c.a62a4b4+b6 d.a82a4b4+b814.已知(a+b)2=11,ab=2,則(ab)2的值是a.11b.3c.5d.1915.若x27xy+m是一個(gè)完全平方式，那么m是a.y2b.y2c.y2d.49y216.若x,y互為不等于0的相反數(shù)，n為正整數(shù),你認(rèn)為正確的是a.xn、yn一定是互為相反數(shù) b.()n、()n一定是互為相反數(shù)c.x2n、y2n一定是互為相反數(shù) d.x2n1、y2n1一定相等三、考查你的基本功

15、17.計(jì)算(1)(a2b+3c)2(a+2b3c)2;(2) ab(3b)2a(bb2)(3a2b3);(3) 21000.5100(1)2005(1)5;(4) (x+2y)(x2y)+4(xy)26x6x.18.(6分)解方程x(9x5)(3x1)(3x+1)=5.四、生活中的數(shù)學(xué)19.(6分)如果運(yùn)載人造星球的火箭的速度超過11.2 km/s(俗稱第二宇宙速度)，則人造星球?qū)?huì)掙脫地球的束縛，成為繞太陽運(yùn)行的恒星.一架噴氣式飛機(jī)的速度為1.8106 m/h,請你推算一下第二宇宙速度是飛機(jī)速度的多少倍？五、探究拓展與應(yīng)用 20.計(jì)算.(2+1)(22+1)(24+1)=(21)(2+1)(

16、22+1)(24+1)=(221)(22+1)(24+1)=(241)(24+1)=(281).根據(jù)上式的計(jì)算方法，請計(jì)算(3+1)(32+1)(34+1)(332+1)的值.“整體思想”在整式運(yùn)算中的運(yùn)用 “整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要思想，貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的全過程，有些問題局部求解各個(gè)擊破，無法解決，而從全局著眼，整體思考，會(huì)使問題化繁為簡，化難為易，思路清淅，演算簡單，復(fù)雜問題迎刃而解，現(xiàn)就“整體思想”在整式運(yùn)算中的運(yùn)用，略舉幾例解析如下，供同學(xué)們參考：1、當(dāng)代數(shù)式的值為7時(shí),求代數(shù)式的值.2、 已知，求：代數(shù)式的值。3、已知，求代數(shù)式的值4、已知時(shí)，代數(shù)式，求當(dāng)時(shí)，代數(shù)式 的值5、若

17、，試比較m與n的大小6、已知，求的值.平方差公式基礎(chǔ)題一、選擇題1.下列多項(xiàng)式乘法，能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的是( ) a.(x+y)(xy) b.(2x+3y)(2x3z) c.(ab)(ab) d.(mn)(nm) 2.下列計(jì)算正確的是( ) a.(2x+3)(2x3)=2x29 b.(x+4)(x4)=x24 c.(5+x)(x6)=x230 d.(1+4b)(14b)=116b2 3.下列多項(xiàng)式乘法，不能用平方差公式計(jì)算的是( ) a.(ab)(b+a) b.(xy+z)(xyz) c.(2ab)(2a+b) d.(0.5xy)(y0.5x) 4.(4x25y)需乘以下列哪個(gè)式子，才能使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算( ) a.4x25y b.4x2+5y c.(4x25y)2 d.(4x+5y)2 5.a4+(1a)(1+a)(1+a2)的計(jì)算結(jié)果是( ) a.1 b.1 c.2a41 d.12a4 c.(xy)(x+25y) d.(x5y)(5yx) 平方差公式提高題一、選擇題: 1.下列式中能用平方差公式計(jì)算的有( ) (x-y)(x+y), (3a-bc)(-bc-3a), (3-