完全平方公式和平方差公式的應用

1、完全平方公式和平方差公式的應用公式： 語言敘述：兩數(shù)的 。公式結(jié)構(gòu)特點：左邊： 右邊： 熟悉公式：公式中的a和b既可以表示數(shù)字也可以表示字母，還可以表示一個單項式或者一個多項式。(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a， 是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中 是公式中的a， 是公式中的b (x-2y)(x+2y)填空：1、(2x-1)( )=4x2-1 2、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2第一種情況：直接運用公式1.（a+3）(a-3) 2.( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c) 4. (-x+2)(-x-2)第二種情況：運用公式使計算簡便1、 1998

2、2002 2、498502 3、9991001 4、1.010.99 5、30.829.2 6、（100-）（99-）7、（20-）（19-） 第三種情況：兩次運用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2) 2、(a+2)(a-2)(a2+4) 3、(x- )(x2+ )(x+ ) 第四種情況：需要先變形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y) 2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1) 第五種情況：每個多項式含三項1.（a+2b+c）(a+2b-c

3、) 2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z) 4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式： 語言敘述：兩數(shù)的 . 。公式結(jié)構(gòu)特點：左邊： 右邊： 熟悉公式：公式中的a和b既可以表示數(shù)字也可以表示字母，還可以表示一個單項式或者一個多項式。公式變形1、a2+b2=(a+b)2 =(a-b)2 2、（a-b）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)2 3、(a+b)2 +（a-b）2= 4、(a+b)2 -（a-b）2= 一、計算下列各題：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、(0.02x+0.1y)2二、利用完全平方公式計算：（1）1022 （2）1972

4、三、計算：（1） （2）（3）四、計算：（1） （2）（3）五、計算：（1） （2） （3）（4）六、拓展延伸 鞏固提高1、若 ，求k 值。 2、 若是完全平方式，求k 值。3、已知，求的值巧用平方差公式解題平方差公式 用語言可敘述為：兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積等于這兩數(shù)的平方差。在解題過程中，若能靈活運用平方差公式，可使問題化繁為簡，化難為易，復雜問題迎刃而解，現(xiàn)舉例解析如下參考：例1、計算：解析：若先算平方，再求差，則復雜繁瑣，而將看作，將看作，逆用平方差公式，則問題化繁為簡，事半功倍 =例2、計算：解析：先算平方和積，再求差，比較麻煩，而將變形為，再運用平方差公式，則問題迅速獲解=例3、計算

5、：解析：直接計算，數(shù)值較大，可先將分母變形為，再逆用平方差公式，則問題迅捷可解原式=例4、計算：解析：這道題項數(shù)較多，數(shù)值較大，各個括號逐一計算，比較麻煩，令人望而生畏而逆用平方差公式，將各括號展開交錯約分可使問題巧妙獲解原式=例5、試確定的未位數(shù)解析：這個問題看起來比較復雜，項數(shù)多，數(shù)值大，根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，將2變形為（3-1）再連續(xù)運用平方差公式，可使問題柳暗花明，迎刃而解。原式= 因為未位數(shù)是1的任何次冪的未位數(shù)還是1所以未位數(shù)是1計算：（1）、 （2）、 （3）、（4）、試確定的未位數(shù)完全平方公式的變形和應用一、 完全平方公式常見的變式（1）（2）（3）（4）（5）二、完全平方公式變

6、形的應用例1 已知，求的值。解：由變式（1）得： 所以所以 所以例2 已知的值。 解：由變式（3）得： 例3 已知求的值。解：由變式（4）得： 所以 再由變式（2）得： 例4 已知，求的值。解：由題意知 在的兩邊都乘以得： 由變式（5）得： 例1 若為有理數(shù)，且滿足，求的值分析：欲求的值，須求出的值由題知，把已知式子進行配方，再利用非負數(shù)的性質(zhì)便可達到解題目的解：，即，=20=1例2 已知，求的值分析：顯然，本題若按一般方法，即先求出的值，再代入多項式求值，將十分困難而我們發(fā)現(xiàn)，將求值式乘以2，則會出現(xiàn)完全平方式，其中也恰恰含有條件式因此，解決本題的關鍵是如何利用“配方法”將多項式進行變形，從

7、而能夠運用已知條件求解解： ，=19例3 試說明不論為何值時,代數(shù)式的值總是正數(shù).分析：本題實質(zhì)就是證明.觀察代數(shù)式不難發(fā)現(xiàn)，將14拆成4、9與1的和，則立即出現(xiàn)了兩個完全平方式，然后再結(jié)合非負數(shù)的性質(zhì)便可達到目的解: =0,0,0.即代數(shù)式的值總是正數(shù).平方差公式專項練習題a卷：基礎題一、選擇題1平方差公式（a+b）（ab）=a2b2中字母a，b表示（ ） a只能是數(shù) b只能是單項式 c只能是多項式 d以上都可以2下列多項式的乘法中，可以用平方差公式計算的是（ ） a（a+b）（b+a） b（a+b）（ab） c（a+b）（ba） d（a2b）（b2+a）3下列計算中，錯誤的有（ ）（3a+

8、4）（3a4）=9a24；（2a2b）（2a2+b）=4a2b2；（3x）（x+3）=x29；（x+y）（x+y）=（xy）（x+y）=x2y2 a1個 b2個 c3個 d4個4若x2y2=30，且xy=5，則x+y的值是（ ） a5 b6 c6 d5二、填空題5（2x+y）（2xy）=_6（3x2+2y2）（_）=9x44y47（a+b1）（ab+1）=（_）2（_）28兩個正方形的邊長之和為5，邊長之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是_三、計算題9利用平方差公式計算：202110計算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a2）b卷：提高題一、七彩題1（多題思路題

9、）計算： （1）（2+1）（22+1）（24+1）（22n+1）+1（n是正整數(shù)）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）（32008+1）2（一題多變題）利用平方差公式計算：2009200720082 （1）一變：利用平方差公式計算： （2）二變：利用平方差公式計算：二、知識交叉題3（科內(nèi)交叉題）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x1）=5（x2+3）三、實際應用題4廣場內(nèi)有一塊邊長為2a米的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3米，東西方向要加長3米，則改造后的長方形草坪的面積是多少？四、經(jīng)典中考題5下列運算正確的是（ ） aa3+a3=3a6 b（a）3（a）5=a8 c（2a

10、2b）4a=24a6b3 d（a4b）（a4b）=16b2a26計算：（a+1）（a1）=_c卷：課標新型題1（規(guī)律探究題）已知x1，計算（1+x）（1x）=1x2，（1x）（1+x+x2）=1x3，（1x）（1+x+x2+x3）=1x4 （1）觀察以上各式并猜想：（1x）（1+x+x2+xn）=_（n為正整數(shù)） （2）根據(jù)你的猜想計算： （12）（1+2+22+23+24+25）=_ 2+22+23+2n=_（n為正整數(shù)） （x1）（x99+x98+x97+x2+x+1）=_ （3）通過以上規(guī)律請你進行下面的探索： （ab）（a+b）=_ （ab）（a2+ab+b2）=_（ab）（a3+a2

11、b+ab2+b3）=_2（結(jié)論開放題）請寫出一個平方差公式，使其中含有字母m，n和數(shù)字43.從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個邊長為b的小正方形紙板后，將剩下的紙板沿虛線裁成四個相同的等腰梯形，如圖171所示，然后拼成一個平行四邊形，如圖172所示，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，結(jié)果驗證了什么公式？請將結(jié)果與同伴交流一下完全平方公式變形的應用完全平方式常見的變形有:1、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值2、 已知，都是有理數(shù)，求的值。3 已知 求與的值。練一練 a組： 1已知求與的值。 2已知求與的值。3、 已知求與的值。4、 已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，

12、求a2+b2及ab的值b組：5 已知，求的值。6 已知，求的值。7 已知，求的值。8、，求（1）（2）9、試說明不論x,y取何值，代數(shù)式的值總是正數(shù)。c組:10、已知三角形abc的三邊長分別為a,b,c且a,b,c滿足等式，請說明該三角形是什么三角形？ 整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法(b卷)一、請準確填空1、若a2+b22a+2b+2=0,則a2004+b2005=_.2、一個長方形的長為(2a+3b),寬為(2a3b),則長方形的面積為_.3、5(ab)2的最大值是_，當5(ab)2取最大值時，a與b的關系是_.4.要使式子0.36x2+y2成為一個完全平方式，則應加上_.

13、5.(4am+16am)2am1=_.6.2931(302+1)=_.7.已知x25x+1=0,則x2+=_.8.已知(2005a)(2003a)=1000,請你猜想(2005a)2+(2003a)2=_.二、相信你的選擇9.若x2xm=(xm)(x+1)且x0,則m等于a.1b.0c.1d.210.(x+q)與(x+)的積不含x的一次項，猜測q應是a.5b.c.d.511.下列四個算式:4x2y4xy=xy3;16a6b4c8a3b2=2a2b2c;9x8y23x3y=3x5y; (12m3+8m24m)(2m)=6m2+4m+2，其中正確的有a.0個b.1個c.2個d.3個12.設(xm1

14、yn+2)(x5my2)=x5y3,則mn的值為a.1b.1c.3d.313.計算(a2b2)(a2+b2)2等于a.a42a2b2+b4 b.a6+2a4b4+b6 c.a62a4b4+b6 d.a82a4b4+b814.已知(a+b)2=11,ab=2,則(ab)2的值是a.11b.3c.5d.1915.若x27xy+m是一個完全平方式，那么m是a.y2b.y2c.y2d.49y216.若x,y互為不等于0的相反數(shù)，n為正整數(shù),你認為正確的是a.xn、yn一定是互為相反數(shù) b.()n、()n一定是互為相反數(shù)c.x2n、y2n一定是互為相反數(shù) d.x2n1、y2n1一定相等三、考查你的基本功

15、17.計算(1)(a2b+3c)2(a+2b3c)2;(2) ab(3b)2a(bb2)(3a2b3);(3) 21000.5100(1)2005(1)5;(4) (x+2y)(x2y)+4(xy)26x6x.18.(6分)解方程x(9x5)(3x1)(3x+1)=5.四、生活中的數(shù)學19.(6分)如果運載人造星球的火箭的速度超過11.2 km/s(俗稱第二宇宙速度)，則人造星球?qū)昝摰厍虻氖`，成為繞太陽運行的恒星.一架噴氣式飛機的速度為1.8106 m/h,請你推算一下第二宇宙速度是飛機速度的多少倍？五、探究拓展與應用 20.計算.(2+1)(22+1)(24+1)=(21)(2+1)(

16、22+1)(24+1)=(221)(22+1)(24+1)=(241)(24+1)=(281).根據(jù)上式的計算方法，請計算(3+1)(32+1)(34+1)(332+1)的值.“整體思想”在整式運算中的運用 “整體思想”是中學數(shù)學中的一種重要思想，貫穿于中學數(shù)學的全過程，有些問題局部求解各個擊破，無法解決，而從全局著眼，整體思考，會使問題化繁為簡，化難為易，思路清淅，演算簡單，復雜問題迎刃而解，現(xiàn)就“整體思想”在整式運算中的運用，略舉幾例解析如下，供同學們參考：1、當代數(shù)式的值為7時,求代數(shù)式的值.2、 已知，求：代數(shù)式的值。3、已知，求代數(shù)式的值4、已知時，代數(shù)式，求當時，代數(shù)式 的值5、若

17、，試比較m與n的大小6、已知，求的值.平方差公式基礎題一、選擇題1.下列多項式乘法，能用平方差公式進行計算的是( ) a.(x+y)(xy) b.(2x+3y)(2x3z) c.(ab)(ab) d.(mn)(nm) 2.下列計算正確的是( ) a.(2x+3)(2x3)=2x29 b.(x+4)(x4)=x24 c.(5+x)(x6)=x230 d.(1+4b)(14b)=116b2 3.下列多項式乘法，不能用平方差公式計算的是( ) a.(ab)(b+a) b.(xy+z)(xyz) c.(2ab)(2a+b) d.(0.5xy)(y0.5x) 4.(4x25y)需乘以下列哪個式子，才能使用平方差公式進行計算( ) a.4x25y b.4x2+5y c.(4x25y)2 d.(4x+5y)2 5.a4+(1a)(1+a)(1+a2)的計算結(jié)果是( ) a.1 b.1 c.2a41 d.12a4 c.(xy)(x+25y) d.(x5y)(5yx) 平方差公式提高題一、選擇題: 1.下列式中能用平方差公式計算的有( ) (x-y)(x+y), (3a-bc)(-bc-3a), (3-