奧數(shù)：3-1-3多次相遇和追及問(wèn)題-題庫(kù)

1、-3多次相遇和追及冋題h；-教學(xué)目標(biāo)1. 學(xué)會(huì)畫(huà)圖解行程題2. 能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問(wèn)題3. 能夠利用比例解多人相遇和追及問(wèn)題知識(shí)精講板塊一、由簡(jiǎn)單行程問(wèn)題拓展出的多次相遇問(wèn)題所有行程問(wèn)題都是圍繞路程二速度 時(shí)間”這一條基本關(guān)系式展開(kāi)的，多人相遇與追及問(wèn)題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個(gè)公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問(wèn)題即可迎刃而解.【例1】（難度等級(jí) 甲、乙兩名同學(xué)在 周長(zhǎng)為300米圓形跑道上從同一地點(diǎn)同時(shí)背向練習(xí)跑步，甲每 秒鐘跑3.5米，乙每秒鐘跑 4米，問(wèn)：他們第十次相遇時(shí)，甲還需跑多少米才能回到岀發(fā)點(diǎn)？【解析】 從開(kāi)始到兩人第十次相遇的這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩人共跑的路程是操場(chǎng)

2、周長(zhǎng)的10倍，為300 10 =3000米，因?yàn)榧椎乃俣葹槊棵腌娕?.5米，乙的速度為每秒鐘跑4米，所以這段時(shí)間內(nèi)甲共行了30003.5=1400米，也就 是甲最后一次離 開(kāi)出發(fā) 點(diǎn)繼 續(xù)行了 200米，可 知甲還需行3.5+4300 -200 =100米才能回到出發(fā)點(diǎn).【鞏固】 （難度等級(jí) 甲乙兩人在相距 90米的直路上來(lái)回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米如果他們同時(shí)分別從直路兩端出發(fā)，10分鐘內(nèi)共相遇幾次？【解析】17【鞏固】（難度等級(jí) 甲、乙兩人從 400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn) A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿

3、跑道上的最短路程是多少米？【解析】176二、運(yùn)用倍比關(guān)系解多次相遇問(wèn)題【例2】（難度等級(jí) 探）上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車(chē)從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車(chē)去追他,在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的 時(shí)候，離家恰好是 8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？【解析】畫(huà)一張簡(jiǎn)單的示意圖：4千米龜千米家*二1水明1爸爸圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4 = 4（千米）而爸爸騎的距離是 4+ 8 = 12 （千米）.這就知道，爸爸騎摩托車(chē)的速度是小明騎自行車(chē)速度的124= 3 （倍）.按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行 （千米）.8

4、X3= 24 （千米）但事實(shí)上，爸爸少用了 8分鐘，騎行了 4 + 12= 16少騎行24-16 = 8 （千米）.摩托車(chē)的速度是8吒=1 （千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+ 8 + 16= 32.所以這時(shí)是8點(diǎn)32分?！纠?】（難度等級(jí) 探）甲、乙兩車(chē)分別同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，第一次在離 A地95千米處相遇相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇求 A、B兩地間的距離是多少千米？【解析】畫(huà)線段示意圖（實(shí)線表示甲車(chē)行進(jìn)的路線，虛線表示乙車(chē)行進(jìn)的路線）:第1次相遇第2冼|fl遇可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車(chē)行了一個(gè)A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車(chē)共

5、行了三個(gè)A、B兩地間的距離當(dāng)甲、乙兩車(chē)共行了一個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車(chē)行了95千米，當(dāng)它們共行三個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車(chē)就行了3個(gè)95千米，即95X3=285 （千米），而這 285千米比一個(gè) A、B兩地間的距離多 25千米，可得：95X3-25=285-25=260（千米）.【鞏固】（難度級(jí)別 探）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離 A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離【解析】4X3=12千米，通過(guò)畫(huà)圖，我們發(fā)現(xiàn)甲走了一個(gè)全程多了回來(lái)那一段，就是距B地的3千米，所以全

6、程是12-3=9千米，所以?xún)纱蜗嘤鳇c(diǎn)相距9- （ 3+4） =2千米?！眷柟獭浚y度等級(jí) 探）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離 A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地5千米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離【解析】4千米【鞏固】（難度等級(jí) 探）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離 A地6千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地4千米處第二次相遇，求兩人第 5次相遇地點(diǎn)距 B多遠(yuǎn).【解析】12千米【鞏固】（難度等級(jí) 探）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地

7、同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離 A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求第三次相遇時(shí)共走了多少千米【解析】90千米【鞏固】（難度等級(jí) 探）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離 A地3千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地2千米處第二次相遇，求第 2000次相遇地點(diǎn)與第 2001次相遇地點(diǎn)之間的距離.【解析】4千米【鞏固】（難度等級(jí) 探）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離 A地18千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，

8、在距B地13千米處第二次相遇，求 AB兩地之間的距離.【解析】41千米【例4】（難度等級(jí) 探）如圖，甲和乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始以勻速按相反 的方向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng).【解析】注意觀察圖形，當(dāng)甲、乙第一次相遇時(shí)，甲乙共走完-圈的路程，當(dāng)甲、乙第二次相遇時(shí)，甲乙2共走完1+- = 3圈的路程所以從開(kāi)始到第一、二次相遇所需的時(shí)間比為1 : 3,因而第二次相2 2遇時(shí)乙行走的總路程為第一次相遇時(shí)行走的總路程的3倍，即100X3=300米有甲、乙第二次相遇時(shí)，共行走（1圈一60）+300，為3

9、圈，所以此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為480米.2【鞏固】（難度等級(jí) 探）如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)?A點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)?C點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)60米.求這 個(gè)圓的周長(zhǎng).【解析】360II【鞏固】A、B是圓的直徑的兩端，甲在 A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在C點(diǎn)第一次相遇,在D點(diǎn)第二次相遇.已知 C離A有75米，D離B有55米，求這個(gè)圓的周長(zhǎng)是多少米？【解析】340三、多次相遇與全程的關(guān)系1. 兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個(gè)全程； 第2次相遇，共走3個(gè)全程;第3次相遇，共走5個(gè)全程;第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程；注意：除了第

10、1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程。即甲第1次如果走了 N米，以后每次都走 2N米。2. 同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個(gè)全程；第2次相遇，共走4個(gè)全程；第3次相遇，共走6個(gè)全程；第N次相遇，共走2N個(gè)全程;3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵 多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個(gè)全程多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差【例5】 小明和小紅兩人在長(zhǎng) 100米的直線跑道上來(lái)回跑步，做體能訓(xùn)練，小明的速度為6米/秒，小紅的速度為4米/秒.他們同時(shí)從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘.在這段時(shí)間內(nèi)，他們迎面相遇了多少次？【解析】第一次相遇時(shí)，兩人共跑完了一個(gè)全程，所用時(shí)間為：100 （6 - 4） = 10（秒）此后，兩人每

11、相遇一次，就要合跑 2倍的跑道長(zhǎng)，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，兩人共跑了12 60 -10=710（秒）.求出710秒內(nèi)兩人相遇的次數(shù)再加上第一次相遇，就是相遇的總次數(shù).列 式計(jì)算為：100 （6 4） 10（秒），（12 60-10） （10 2）35|10，共相遇 35*1=36（次）。注：解 決問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清他們首次相遇以及以后每次相遇兩人合跑的路程長(zhǎng).【例6】 A、B兩地間有條公路，甲從 A地出發(fā)，步行到 B地，乙騎摩托車(chē)從 B地出發(fā)，不停地往返于A、B兩地之間，他們同時(shí)出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問(wèn):當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙追上甲幾次？【解

12、析】甲AFEB第一次相遇第一次追上由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在100-80 =20（分鐘）內(nèi)所走的路程恰等于線段FA的長(zhǎng)度再加上線段 AE的長(zhǎng)度，即等于甲在（80 100）分鐘內(nèi)所走的路程，因此，乙的速 度是甲的9倍（=180“20），則BF的長(zhǎng)為AF的9倍，所以，甲從A到B，共需走80 （9）=800 （分 鐘）乙第一次追上甲時(shí)，所用的時(shí)間為100分鐘，且與甲的路程差為一個(gè)AB全程從第一次追上甲時(shí)開(kāi)始，乙每次追上甲的路程差就是兩個(gè)AB全程，因此，追及時(shí)間也變?yōu)?00分鐘（=100 2）,所以，在甲從 A到B的800分鐘內(nèi)，乙共有 4次追上甲，即在第 100分鐘，300分

13、鐘，500分鐘 和700分鐘.【例7】（難度等級(jí) 甲、乙兩人分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的-，二3人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到B地、乙到A地后立即返回已知兩人第二次相遇的地點(diǎn)距第三次相遇的地點(diǎn)是100千米，那么， A、B兩地相距 千米.【解析】由于甲、乙的速度比是 2:3，所以在相同的時(shí)間內(nèi)，兩人所走的路程之比也是2:3 第一次相遇時(shí)，兩人共走了一個(gè) AB的長(zhǎng)，所以可以把 AB的長(zhǎng)看作5份，甲、乙分別走了 2份和3份；第 二次相遇時(shí)，甲、乙共走了三個(gè) AB ,乙走了 2 3=6份；第三次相遇時(shí)，甲、乙共走了五個(gè) AB , 乙走了 2 5=10份.乙第二次和第三次相距 10 6=4

14、 （份）所以一份距離為：100詔=25 （千米）， 那么A、B兩地距離為：5X25= 125 （千米）【鞏固】（難度等級(jí) 探）小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時(shí)出發(fā)，相向而行，兩人第一次在距甲地 3千米處相遇，第二次在距甲地 6千米處相遇（追上也算作相遇）, 則甲、乙兩地的距離為 .【解析】由于兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本題中追上也算相遇，所以?xún)扇说诙蜗嘤隹赡転橛嫦嘤?，也可能為同向追?如果第二次相遇為迎面相遇，如下圖所示，兩人第一次在A處相遇，第二次在 B處相遇由于第一次相遇時(shí)兩人合走 1個(gè)全程，小王走了 3千米；從第一次相遇到第二次

15、相遇，兩人合走2個(gè)全程，所以這期間小王走了 3 2=6千米，由于A、B之間的距離也是 3千米，所以B與乙地的 距離為（6 -3）-：-2 =1.5千米，甲、乙兩地的距離為 6 1.5 = 7.5千米；王AY李I(lǐng)*A甲1乙AB如果第二次相遇為同向追及，如上圖，兩人第一次在A處相遇，相遇后小王繼續(xù)向前走，小李走到甲地后返回， 在B處追上小王.在這個(gè)過(guò)程中，小王走了 6_3 = 3千米，小李走了 63 = 9千 米，兩人的速度比為 3:9 =1:3 所以第一次相遇時(shí)小李也走了9千米，甲、乙兩地的距離為9 3 =12千米.所以甲、乙兩地的距離為 7.5千米或12千米.【鞏固】（難度級(jí)別 探）A, B兩

16、地相距540千米。甲、乙兩車(chē)往返行駛于A , B兩地之間，都是到達(dá)一地之后立即返回，乙車(chē)較甲車(chē)快。設(shè)兩輛車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到兩車(chē)第三次相遇為止，乙車(chē)共走了多少千米？【解析】第一次相遇，甲乙總共走了 2個(gè)全程，第二次相遇，甲乙總共走了4個(gè)全程，乙比甲快，相遇又在P點(diǎn)，所以可以根據(jù)總結(jié)和畫(huà)圖推出：從第一次相遇到第二次相遇，乙從第一個(gè)P點(diǎn)到第二個(gè)P點(diǎn)，路程正好是第一次的路程。 所以假設(shè)一個(gè)全程為 3份，第一次相遇甲走了 2份乙走了 4份。 第二次相遇，乙正好走了 1份到B地，又返回走了 1份。這樣根據(jù)總結(jié)：2個(gè)全程里乙走了 （ 540完）X4=180用=720千米

17、，乙總共走了 720 X3=2160千米?！纠?】（難度級(jí)別 探）小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇， 在離乙村2千米處第二次相遇.問(wèn)他們 兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？【解析】畫(huà)示意圖如下.3.53.5 X= 10.5 （千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5- 2 = 8.5 （千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（3+ 2 + 2）倍的行程.其中張走了3.5 X = 24.5 （千米）

18、，24.5=8.5 + 8.5 + 7.5 （千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5- 7.5=1 （千米）.答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.四、解多次相遇問(wèn)題的工具一一柳卡柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫(huà)時(shí)間-距離圖，再畫(huà)上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相遇的次數(shù)”，相遇的地點(diǎn)”，以及由相遇的地點(diǎn)求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少。如果不畫(huà)圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來(lái)說(shuō)不容易?！纠?】（難度級(jí)別 探）每天中午有一條輪船從哈佛開(kāi)往紐約，且每天同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開(kāi)

19、往哈佛輪船在途中均要航行七天七夜試問(wèn)：某條從哈佛開(kāi)出的輪船在到達(dá)紐約前（途 中）能遇上幾艘從紐約開(kāi)來(lái)的輪船？【解析】這就是著名的柳卡問(wèn)題下面介紹的法國(guó)數(shù)學(xué)家柳卡斯圖姆給出的一個(gè)非常直觀巧妙的解法.從哈佛或紐約開(kāi)出的輪船，就可用圖中的兩組平行線簇來(lái)表示圖中的每條線段分別表示每條船 的運(yùn)行情況.粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點(diǎn)即為與對(duì)方開(kāi)來(lái)輪 船相遇的情況.從圖中可以看出，某天中午從哈佛開(kāi)出的一條輪船（圖中用實(shí)線表示）會(huì)與從紐約開(kāi)出的15艘輪船相遇（圖中用虛線表示）而且在這相遇的15艘船中，有1艘是在出發(fā)時(shí)遇到（從紐約剛到達(dá)哈佛），1艘是到達(dá)紐約時(shí)遇到（剛好從紐約開(kāi)出），剩

20、下13艘則在海上相遇；另外，還可從圖中看到，輪船相遇的時(shí)間是每天中午和子夜.如果不仔細(xì)思考，可能認(rèn)為僅遇到7艘輪船這個(gè)錯(cuò)誤，主要是只考慮以后開(kāi)出的輪船而忽略了已在海上的輪船.【鞏固】（難度級(jí)別 一條電車(chē)線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車(chē)從甲站發(fā)出開(kāi)往乙站，全程要走15分鐘有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車(chē)線路騎車(chē)前往甲站他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車(chē)到達(dá)乙站.在路上他又遇到了 10輛迎面開(kāi)來(lái)的電車(chē). 到達(dá)甲站時(shí),恰好又有一輛電車(chē)從甲站開(kāi)出問(wèn)他從乙站到甲站用了多少分鐘？【解析】先讓學(xué)生用分析間隔的方式來(lái)解答：騎車(chē)人一共看到12輛車(chē)，他出發(fā)時(shí)看到的是 15分鐘前發(fā)的車(chē)，此時(shí)第 4輛車(chē)正

21、從甲發(fā)出.騎車(chē) 中，甲站發(fā)出第 4到第12輛車(chē)，共9輛，有8個(gè)5分鐘的間隔，時(shí)間是 5 8=40 （分鐘）.再引導(dǎo)學(xué)生用柳卡的運(yùn)行圖的方式來(lái)分析：第一步：在平面上畫(huà)兩條平行線分別表示甲站與乙站由于每隔5分鐘有一輛電車(chē)從甲站出發(fā)，所以把表示甲站與乙站的直線等距離劃分，每一小段表示5分鐘.乙站 廿 00八O0& 口D o第二步：因?yàn)殡娷?chē)走完全程要15分鐘，所以連接圖中的 1號(hào)點(diǎn)與P點(diǎn)（注意：這兩點(diǎn)在水平方向上正好有3個(gè)間隔，這表示從甲站到乙站的電車(chē)走完全程要15分鐘），然后再分別過(guò)等分點(diǎn)作一簇與它平行的平行線表示從甲站開(kāi)往乙站的電車(chē).第三步：從圖中可以看出，要想使乙站出發(fā)的騎車(chē)人在途中遇到十輛迎面

22、開(kāi)來(lái)的電車(chē)，那么從P點(diǎn)引出的粗線必須和 10條平行線相交，這正好是圖中從2號(hào)點(diǎn)至12號(hào)點(diǎn)引出的平行線.從圖中可以看出，騎車(chē)人正好經(jīng)歷了從P點(diǎn)到Q點(diǎn)這段時(shí)間，因此自行車(chē)從乙站到甲站用了5 8 =40 （分鐘）.對(duì)比前一種解法可以看出，采用運(yùn)行圖來(lái)分析要直觀得多！【例10】（難度級(jí)別 甲、乙兩人在一條長(zhǎng)為30米的直路上來(lái)回跑步，甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米如果他們同時(shí)分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？【解析】采用運(yùn)行圖來(lái)解決本題相當(dāng)精彩!首先，甲跑一個(gè)全程需 30亠1 =30 （秒），乙跑一個(gè)全程需30“ 0.6 =50 （秒）.與上題類(lèi)似，畫(huà)運(yùn) 行圖如下（實(shí)線

23、表甲，虛線表示乙，那么實(shí)虛兩線交點(diǎn)就是甲乙相遇的地點(diǎn)）一個(gè)周期內(nèi)共有5次 相遇，其中第1, 2, 4, 5次是迎面相遇， 而第3次是追及相 遇.從圖中可以看出，當(dāng)甲跑 5個(gè)全程時(shí)，乙剛好跑 3個(gè)全程，各自到了不同兩端又重新開(kāi)始，這正 好是一周期150秒在這一周期內(nèi)兩人相遇了5次，所以?xún)扇伺?0分鐘，正好是四個(gè)周期，也就相遇了 5 4=20 （次）【例11】（難度等級(jí) 探）（2009年迎春杯復(fù)賽高年級(jí)組 ）A、B兩地位于同一條河上，B地在A地下游100千米處甲船從 A地、乙船從B地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲船到達(dá)B地、乙船到達(dá) A地后，都立即按原來(lái)路線返航水速為2米/秒，且兩船在靜水中的速度相同如果

24、兩船兩次相遇的地點(diǎn)相距20千米，那么兩船在靜水中的速度是 米/秒.【解析】本題采用折線圖來(lái)分析較為簡(jiǎn)便.ADE如圖，箭頭表示水流方向，A： C_； E表示甲船的路線，B_； D_； F表示乙船的路線，兩個(gè)交點(diǎn)M、N就是兩次相遇的地點(diǎn).由于兩船在靜水中的速度相同，所以?xún)纱捻標(biāo)俣群湍嫠俣榷挤謩e相同，那么兩船順?biāo)写湍嫠写玫臅r(shí)間都分別相同，表現(xiàn)在圖中，就是BC和DE的長(zhǎng)度相同，AD和CF的長(zhǎng)度相同.那么根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可以知道， M點(diǎn)距BC的距離與N點(diǎn)距DE的距離相等，也就是說(shuō)兩次相遇地點(diǎn) 與A、B兩地的距離是相等的而這兩次相遇的地點(diǎn)相距20千米，所以第一次相遇時(shí)，兩船分別走了 100 -

25、20亠2= 40千米和100 一 40= 60千米，可得兩船的順?biāo)俣群湍嫠俣戎葹?0 : 40= 3:2而順?biāo)俣扰c逆水速度的差為水速的2倍，即為4米/秒，可得順?biāo)俣葹?4“ 3 2 3 =12米/秒，那么兩船在靜水中的速度為12_2=10米/秒.【例12】（難度等級(jí) 探）A、B兩地相距1000米，甲從 A地、乙從B地同時(shí)出發(fā)，在A、B兩 地間往返鍛煉.乙跑步每分鐘行150米，甲步行每分鐘行 60米.在30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距 B地最近（從后面追上也算作相遇）？最近距離是多少？【解析】甲、乙的運(yùn)行圖如上，圖中實(shí)現(xiàn)表示甲，虛線表示乙，兩條線的交點(diǎn)表示兩人相遇在30分鐘內(nèi)，兩人

26、共行了 （150 60） 30 6300 米，相當(dāng)于6個(gè)全程又300米，由圖可知，第 3次相遇 時(shí)距離 A地最近，此時(shí)兩人共走了3個(gè)全程，即1000 X3 =3000千米，用時(shí)3000- （ 150+60）=100/7 分鐘，甲行了 60 X00/7=6000/7 米, 相遇地點(diǎn)距離 B地1000-6000/7 :- 143米.【鞏固】（難度等級(jí) 探）A、B兩地相距950米甲、乙兩人同時(shí)由 A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí).甲步行，每分鐘走 40米；乙跑步，每分鐘行 150米.則甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距 B地 最近？【解析】 半小時(shí)內(nèi)，兩人一共行走 （40 + 150） X30 =5700米，相當(dāng)于

27、 6個(gè)全程，兩人每合走2個(gè)全程就會(huì)有一次相遇，所以?xún)扇斯灿?3次相遇，而兩人的速度比為 40 :150= 4 :15，所以相同時(shí)間 內(nèi)兩人的行程比為 4 :15，那么第一次相遇甲走了全程的2=，距離B地11/19個(gè)全程;15+419第二次相遇甲走了16/19個(gè)全程，距離 B地3/19個(gè)全程；第三次相遇甲走了24/19個(gè)全程，距離B地5/19個(gè)全程，所以甲、乙兩人第二次迎面相遇時(shí)距離B地最近.【鞏固】（2008年國(guó)際小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）A、B兩地相距950m，甲、乙兩人同時(shí)從 A地出發(fā)，往返 A、B兩 地跑步90分鐘.甲跑步的速度是每分鐘40m ;乙跑步的速度是每分鐘150m .在這段時(shí)間內(nèi)他們面對(duì)面

28、相遇了數(shù)次，請(qǐng)問(wèn)在第幾次相遇時(shí)他們離B點(diǎn)的距離最近？【解析】950 （150 40）5 （分鐘）甲、乙兩人合走一個(gè)全程需要5分鐘，每合走2個(gè)全程相遇一次，所以總共相遇90-：-（5 2） =9次.而甲每10分鐘走40 10 = 400 （ m ）并且與乙相遇一次，因?yàn)?950 3 -400 7 =50 （ m ）也就是當(dāng)甲、乙兩人第 7次相遇時(shí)甲離 B地50 m為最小，在第7次相 遇時(shí)他們離B點(diǎn)距離最近.【鞏固】（難度等級(jí) 探）A、B兩地相距2400米，甲從A地、乙從B地同時(shí)出發(fā)，在A、B兩地間往返鍛煉甲每分鐘跑300米，乙每分鐘跑 240米，在30分鐘后停止運(yùn)動(dòng)甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距 A地

29、最近？最近距離是多少？【解析】第二次，800米五、多次相遇問(wèn)題一一變道問(wèn)題【例13】（難度等級(jí) 探）（仁華入學(xué)試題）甲、乙兩車(chē)同時(shí)從同一點(diǎn) A出發(fā)，沿周長(zhǎng)6千米的圓形 跑道以相反的方向行駛甲車(chē)每小時(shí)行駛65千米，乙車(chē)每小時(shí)行駛 55千米一旦兩車(chē)迎面相遇，則乙車(chē)立刻調(diào)頭；一旦甲車(chē)從后面追上乙車(chē)，則甲車(chē)立刻調(diào)頭，那么兩車(chē)出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離A點(diǎn)有多少米？（每一次甲車(chē)追上乙車(chē)也看作一次相遇）【解析】第一次是一個(gè)相遇過(guò)程，相遇時(shí)間為：6 - （65 55 0.05小時(shí)，相遇地點(diǎn)距離 A點(diǎn)：55 0.05 = 2.75 千米然后乙車(chē)調(diào)頭，成為追及過(guò)程，追及時(shí)間為：6亠（65 -55） =0.6小

30、時(shí)，乙車(chē)在此過(guò)程中走的路程為：55 0.6=33千米，即5圈又3千米，那么這時(shí)距離 A點(diǎn)3-2.75 = 0.25千米.此時(shí)甲車(chē)調(diào)頭，又成為相遇過(guò)程，同樣方法可計(jì)算出相遇地點(diǎn)距離A點(diǎn)0.25 2.75 = 3千米，然后乙車(chē)掉頭，成為追及過(guò)程，根據(jù)上面的計(jì)算，乙車(chē)又要走5圈又3千米，所以此時(shí)兩車(chē)又重新回到了 A點(diǎn)，并且行駛的方向與最開(kāi)始相同.所以，每4次相遇為一個(gè)周期，而11“4=2川3，所以第11次相遇的地點(diǎn)與第 3次相遇的地點(diǎn)是 相同的，與A點(diǎn)的距離是3000米.【例14】（難度等級(jí) 下圖是一個(gè)邊長(zhǎng) 90米的正方形，甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，甲逆時(shí)針每分行75米，乙順時(shí)針每分行 45米.兩人

31、第一次在 CD邊（不包括C, D兩點(diǎn)）上相遇， 是出發(fā)以后的第幾次相遇？【解析】?jī)扇说谝淮蜗嘤鲂?60-：-（75 ,45）=3分，其間乙走了 45 3=135 （米）.由此知，乙每走 135米 兩人相遇一次，依次可推出第7次在CD邊相遇（如圖，圖中數(shù)字表示該點(diǎn)相遇的次數(shù)）【例15】（難度等級(jí) 如圖所示，甲、乙兩人從長(zhǎng)為400米的圓形跑道的 A點(diǎn)背向出發(fā)跑步。跑道右半部分（粗線部分）道路比較泥濘，所以?xún)扇说乃俣榷紝p慢，在正常的跑道上甲、乙速 度均為每秒8米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒4米。兩人一直跑下去，問(wèn)：他們第 99次迎面相遇的地方距 A點(diǎn)還有米。A【解析】 本題中，由于甲、乙兩人

32、在正常道路和泥濘道路上的速度都相同，可以發(fā)現(xiàn)，如果甲、乙各自繞 著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用的時(shí)間分別相同，那么兩人所用的總時(shí)間 也就相同，所以，兩人同時(shí)出發(fā)，跑一圈后同時(shí)回到A點(diǎn)，即兩人在 A點(diǎn)迎面相遇，然后再?gòu)?A點(diǎn)出發(fā)背向而行，可以發(fā)現(xiàn)，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期.在第一個(gè)周期內(nèi)，兩人同時(shí)出發(fā)背行而行，所以在回到出發(fā)點(diǎn)前肯定有一次迎面相遇，這是兩人第一次迎面相遇，然后回到出發(fā)點(diǎn)是第二次迎面相遇；然后再出發(fā)，又在同一個(gè)相遇點(diǎn)第三次相 遇，再回到出發(fā)點(diǎn)是第四次相遇可見(jiàn)奇數(shù)次相遇點(diǎn)都是途中相遇的地點(diǎn)，偶數(shù)次相遇點(diǎn)都是A點(diǎn)本題要求的是第99次迎面相遇的地點(diǎn)與 A點(diǎn)的

33、距離，實(shí)際上要求的是第一次相遇點(diǎn)與A點(diǎn)的距離.對(duì)于第一次相遇點(diǎn)的位置，需要分段進(jìn)行考慮：由于在正常道路上的速度較快，所以甲從出發(fā)到跑完正常道路時(shí)，乙才跑了 2008 4 =100米，此時(shí)兩人相距100米，且之間全是泥濘道路，此 時(shí)兩人速度相同，所以再各跑50米可以相遇所以第一次相遇時(shí)乙跑了 100 50=150米，這就是第一次相遇點(diǎn)與 A點(diǎn)的距離，也是第 99次迎面相遇的地點(diǎn)與 A點(diǎn)的距離.【例16】（難度等級(jí) 探）如圖，學(xué)校操場(chǎng)的400米跑道中套著300米小跑道，大跑道與小跑道有 200 米路程相重甲以每秒 6米的速度沿大跑道逆時(shí)針?lè)较蚺?，乙以每?米的速度沿小跑道順時(shí)針?lè)较蚺?，兩人同時(shí)從兩

34、跑道的交點(diǎn) A處出發(fā)，當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時(shí)，甲共跑了多少米？【解析】根據(jù)題意可知，甲、乙只可能在AB右側(cè)的半跑道上相遇.易知小跑道上 AB左側(cè)的路程為100米,右側(cè)的路程為200米，大跑道上AB的左、右兩側(cè)的路程均 是200米.我們將甲、乙的行程狀況分析清楚.當(dāng)甲第一次到達(dá) B點(diǎn)時(shí)，乙還沒(méi)有到達(dá)B點(diǎn),所以第一次相遇一定在逆時(shí)針的BA某處.而當(dāng)乙第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，所需時(shí)間為 200 4二50秒 ,此時(shí)甲跑了 6 50 =300米,在離B點(diǎn)300-200=100 米處.乙跑出小跑道到達(dá)A點(diǎn)需要100亠4 =25秒，則甲又跑了 6 25 =150米，在A點(diǎn)左邊（100 150） _ 200 =

35、50 米處.所以當(dāng)甲再次到達(dá) B處時(shí)，乙還未到B處，那么甲必定能在 B點(diǎn)右邊某處與乙第二次相遇.從乙再次到達(dá) A處開(kāi)始計(jì)算,還需（400 一 50）“ （6 4）= 3秒,甲、乙第二次相遇，此時(shí)甲共跑了50 25 35=110 秒.所以，從開(kāi)始到甲、乙第二次相遇甲共跑了6 110=660米.【例17】（難度等級(jí) 探）下圖中有兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A,大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲(chóng)同時(shí)從 A點(diǎn)出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個(gè)圓爬行。問(wèn)：當(dāng)小 圓上甲蟲(chóng)爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲(chóng)首次相距最遠(yuǎn)？【解析】我們知道，大小圓只有一個(gè)公共點(diǎn) （內(nèi)切），而在圓上最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)為直徑兩端，所以當(dāng)一只甲

36、蟲(chóng)在 A點(diǎn)，另一只在過(guò) A的直徑另一直徑端點(diǎn) B,所以在小圓甲蟲(chóng)跑了 n圈，在大圓甲蟲(chóng)跑了 m+ 1圈；2于是小圓甲蟲(chóng)跑了 30n,大圓甲蟲(chóng)跑了 48（m+ -）= 48m + 242因?yàn)樗俣认嗤?，所以相同時(shí)內(nèi)路程相同，起點(diǎn)相同，所以 30n = 48m + 24;即5n= 8m+ 4,有不定方程知識(shí)，解出有 n= 4, m = 2,所以小甲蟲(chóng)跑了 2圈后，大小甲蟲(chóng)相距最遠(yuǎn)。【例18】（難度等級(jí) 探）如圖所示，甲沿長(zhǎng)為400米大圓的跑道順時(shí)針跑步，乙則沿兩個(gè)小圓八字形跑步（圖中給出跑動(dòng)路線的次序：1-2 3-4-1-川“）。如果甲、乙兩人同時(shí)從 A點(diǎn)出發(fā)，且甲、乙二人的速度分別是每秒 3米和5米，問(wèn)兩人第三次相遇的時(shí)間是出發(fā)后 秒。4【解析】 從圖中可以看出，甲、乙兩人只有可能在A、B兩點(diǎn)處相遇（本題中，雖然在 B處時(shí)兩人都是順時(shí)針，但是由于兩人的跑道不同，因此在此處的相遇不能看作是追及）從A到B，在大圓周上是半個(gè)圓周，即 200米；在小圓周上是整個(gè)小圓圓周，也是 200米兩人 的速度之比為3:5，那么兩人跑200米所用的時(shí)間之比為 5:3 設(shè)甲跑200米所用的時(shí)間為5個(gè) 時(shí)間單位，則乙跑 200米所用的時(shí)間為 3個(gè)時(shí)間單位.根據(jù)題意可知，1個(gè)時(shí)間單位為40.,200 十3“5秒.3可以看出，只有甲跑的時(shí)間是5個(gè)時(shí)間