降落傘的選擇ppt課件

1、降落傘的選擇,海南大學(xué)信息學(xué)院 數(shù)學(xué)系 舒興明117562750,問題：為了向?yàn)?zāi)區(qū)空投一批救災(zāi)物資，共2000kg，需要選購一些降落傘，已知空投的高度為500m，要求降落傘落地時(shí)的速度不能超過20米/秒，降落傘的傘面為半徑為r的半球面，用每根長L共16根繩子連接的重m位于球心正下方球面處，如下圖,每個(gè)降落傘的價(jià)格由三部分組成，傘面費(fèi)用為C1由半徑r決定；見下表；繩索費(fèi)用C2由繩索總長度及單價(jià)4元/米決定；固定費(fèi)用為C3為200元,降落傘在降落過程中除了受到重力外，受到空氣的阻力，可以認(rèn)為與降落傘的速度和傘面積的乘積成正比，為了確定阻力系數(shù)，用半徑r=3m，載重m=30

2、0kg的降落傘從500m高空作降落試驗(yàn)，測得各個(gè)時(shí)刻的高度，見下表,試確定降落傘的選購方案，即共需要多少個(gè)傘，每個(gè)傘的半徑多大？在滿足空投要求下，使費(fèi)用最低,問題分析： 每種降落傘的價(jià)格一定，選擇不同半徑的降落傘，需要滿足空投條件，那么就與每種降落傘的最大載重能力有關(guān)，要求選擇方案，必須先求出空氣阻力系數(shù)k,然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程，得出最大載重量，然后利用線性規(guī)劃的方法求解最優(yōu)方案,基本假設(shè),1）救災(zāi)物資可以任意分割； （2）降落傘落地時(shí)的速度不超過20米/秒； （3）降落傘以及繩子質(zhì)量可以忽略的； （4）降落傘在降落過程中，只受到重力和一個(gè)非重力因素的空 氣阻力,5）空氣阻力系數(shù)k是定值，與其它因

3、素?zé)o關(guān),變量設(shè)置,M(r) ：表示半徑為r的傘在滿足空投條件下的最大載重量； f ：空氣阻力； k ：空氣阻力系數(shù)； t ：降落傘開始下降開始計(jì)時(shí)的時(shí)間； H(t) ：降落傘下降到t時(shí)刻時(shí)的時(shí)間； m ：降落傘負(fù)重重量； g ：重力加速度； s ：降落傘傘面面積； n(r) ：選購半徑為r的降落傘的個(gè)數(shù),模型建立,一）確定空氣阻力系數(shù)k,降落傘在下降過程中，受到重力和空氣阻力的作用，且初速度為0,I,1、確定降落傘的高度與時(shí)間的關(guān)系式,此微分方程為一階可分離變量的方程，求解得到,II,設(shè)降落傘從降落位置到t時(shí)刻的下降距離為H(t),則,III,即,IV,高度x與時(shí)間的關(guān)系式為,2、由已知數(shù)據(jù)擬

4、合阻力系數(shù)k,已知，r=3，降落傘是半個(gè)球面，其面積為,重力加速度g=9.8,m=300。另一方面，落地速度不超過20m/s，故有,于是求得k滿足,通過觀測值的擬合，得到K =2.9377。(附擬合的lingo程序,sets: shuju/1.11/:t,x0,x,y; endsets min=sum(shuju(i):y(i); for(shuju(i):x(i)=500-m*g*t(i)/k/s-m2*g*exp(-k*s*t(i)/m)/k2/s2+m2*g/k2/s2); s=2*pi*r2; for(shuju(i):y(i)=(x(i)-x0(i)2); data: r=3;g=9

5、.8;pi=3.1416;m=300; t=0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30; x0=500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1; enddata,這里也可以用matlab中的非線性擬合函數(shù),先編寫擬合表達(dá)式的M文件,function x=jiangluosan(k,t) r=3;s=2*pi*r2;m=300;g=9.8; x=500-m*g*t/k/s-m2*g/k2/s2*exp(-k*s*t/m)+m2*g/k2/s2,再調(diào)用擬合函數(shù),t;x ans = 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 500 47

6、0 425 372 317 264 215 160 108 55 1 beta,r=nlinfit(t,x,jiangluosan,2.8) beta = 2.9377 r = 0 -2.7977 0.3783 -0.4628 -2.5475 -2.4886 1.5977 -0.3110 0.7814 0.8740 -0.0334,兩種擬合的計(jì)算結(jié)果一樣,3、擬合程度的F檢驗(yàn),clear y=500 472.7977 424.6217 372.4628 319.5475 266.4885 213.4023 160.3109 107.2185 44.1298 1.03334; y1=500 47

7、0 425 372 317 264 215 160 108 55 1,p=kruskalwallis(y,y1) p = 0.9476,由此可知，擬合顯著,二）求半徑為r的降落傘滿足空投條件的最大載重量M(r,由方程（II,由于,所以當(dāng)其它參數(shù)不變時(shí)，v是m的單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)v達(dá)到最大時(shí)，m也達(dá)到最大,降落傘下降的最大速度v(t)與載重量M（r )的關(guān)系可以看出，在g,k,r,s給定情況下，v是M的函數(shù)，M也是v的函數(shù)。v(t)是m的增函數(shù),證明過程說明，載重M(r )越大，降落傘的下降速度越大，當(dāng)下降的極限速度達(dá)到最大值20m/s時(shí)，降落傘就達(dá)到最大載重量M（r）。則由(II)和（IV)可以得

8、到聯(lián)合方程組,消去t，得到,V,將H=500,v=20,s=2*pi*r2，g=9.8， K = 2.9377 ，帶入(V)，得到,三）計(jì)算每種降落傘的單價(jià)（元,記c1i表示規(guī)格i的降落傘的傘面費(fèi)，c2i為繩索費(fèi)，c3i為固定費(fèi)用。則,將ri分別帶入上方程，得到各規(guī)格的成本,四）求解降落傘的選購最佳方案,利用lingo來求解,sets: banjing/1.5/:c,n,m; endsets min=sum(banjing:c*n,sum(banjing:m*n)=2000; for(banjing:gin(n); data: c=446 596.3 821.5 1176.81562; m=1

9、50.6769235.4326339.0230461.4470602.7075; enddata,Global optimal solution found at iteration: 33 Objective value: 4929.000,N( 3) 6.000000,模型結(jié)果的解釋： 即選用半徑為3的降落傘6把，最小費(fèi)用為4929元,模型的檢驗(yàn)和推廣,對不同半徑的降落傘在滿足空投條件下的最大載重量的求解驗(yàn)證,5.9952 5.9952 5.9952 5.9952 5.9952,1）可以看出Mr/s為常量，而k,g為常量，故降落傘后期運(yùn)動(dòng)是勻速運(yùn)動(dòng)的充要條件是mg=f=kvs，即m/s=k

10、v/g，所以降落傘后期作勻速運(yùn)動(dòng)。 （2）v=mg/s/k，這樣看來，后期勻速運(yùn)動(dòng)速度大小只與載重量和傘面積有關(guān)，與高度無關(guān)。 （3）對于其他的空投重量，可以用類似的規(guī)劃模型求解。 （4）在氣象條件理想，降落傘面半徑一定時(shí)，能夠研究最低空投高度與載重量的關(guān)系？ （5）最好去掉整數(shù)要求，作靈敏度分析，以和假設(shè)檢驗(yàn)呼應(yīng),附件，計(jì)算的lingo程序,sets: shuju/1.11/:t,x0,x,y; endsets min=sum(shuju(i):y(i); for(shuju(i):x(i)=500-m*g*t(i)/k/s-m2*g*exp(-k*s*t(i)/m)/k2/s2+m2*g/

11、k2/s2); s=2*pi*r2; for(shuju(i):y(i)=(x(i)-x0(i)2); data: r=3;g=9.8; pi=3.1416;m=300; t=0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30; x0=500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1; enddata,min=f12+f22; s=2*3.1416*r2; h=500;v=20;g=9.8; r=3;k=2.9377; y1=exp(-k*s*t/m); f1=v-m*g/k/s-m*g/s/k*y1; f2=h-m*t*g/k/s+m2*g*y1/k2/s2-m2*g/k2/s2,sets: banjing