初中數(shù)學(xué)《相似三角形》教案Word版

1、傳播優(yōu)秀Word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！相似三角形一、知識(shí)概述(一)相似三角形1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形溫馨提示：當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)(或幾個(gè))三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且三條對(duì)應(yīng)邊的比相等時(shí)，這兩個(gè)(或幾個(gè))三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個(gè)條件，缺一不可；相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；相似三角形的定義，可得相似三角形的基本性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，其應(yīng)用廣泛2、相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比溫馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要

2、求對(duì)應(yīng)邊成比例相似比具有順序性例如ABCABC的對(duì)應(yīng)邊的比，即相似比為k，則ABCABC的相似比，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有k=k=1相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出3、如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形4、相似三角形的預(yù)備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊，且這條直線與原三角形的兩條邊(或其延長線)分別相交，那么所構(gòu)成的三角形與原三角形相似溫馨提示：定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號(hào)語言：DEBC，ABCADE；這個(gè)定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來的三角形相似

3、的判定定理它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是證明下節(jié)相似三角形三個(gè)判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱為“預(yù)備定理”；有了預(yù)備定理后，在解題時(shí)不但要想到上一節(jié)“見平行，想比例”，還要想到“見平行，想相似”(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理(2)：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理(3)：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似溫馨提示：有平行線時(shí)，用上節(jié)學(xué)習(xí)的預(yù)備定理；已有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?時(shí)，可考慮利用判定定理（1）或判定定理（2）；已有兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，可考慮利用判定定理2或判定定理3但是，在選擇利用判定定理2時(shí)，一對(duì)

4、對(duì)應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等2、直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似溫馨提示：由于直角三角形有一個(gè)角為直角，因此，在判定兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，只需再找一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定兩個(gè)直角三角形相似；如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為“母子相似三角形”，其應(yīng)用較為廣泛如圖，可簡單記為：在RtABC中，CDAB，則ABCCBDACD(三)三角形的重心1、三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心2、三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍二、重點(diǎn)難點(diǎn)疑點(diǎn)突破1、

5、尋找相似三角形對(duì)應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項(xiàng)基本功通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對(duì)應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對(duì)應(yīng)角；相似三角形中，一對(duì)相等的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊；(2)相似三角形中，一對(duì)最長的邊(或最短的邊)一定是對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角；對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角2、常見的相似三角形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對(duì)一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對(duì)

6、相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法如：(1)“平行線型”相似三角形，基本圖形見上節(jié)圖“見平行，想相似”是解這類題的基本思路；(2)“相交線型”相似三角形，如上圖其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀恰耙娨粚?duì)等角，找另一對(duì)等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；(3)“旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖若圖中1=2，B=D(或C=E)，則ADEABC，該圖可看成把第一個(gè)圖中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的溫馨提示：從基本圖形入手能較順利地找到解決問題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線以上“平行線型”是常見的，這類相似三角形的對(duì)應(yīng)元素有較明顯的順序，“相交線型”識(shí)圖較困

7、難，解題時(shí)要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出基本圖形三、解題方法技巧點(diǎn)撥1、尋找相似三角形的個(gè)數(shù)例1、(吉林)將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺成如圖的樣子，假設(shè)圖形中所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)，回答下列問題：(1)圖中共有多少個(gè)三角形？把它們一一寫出來；(2)圖中有相似(不包括全等)三角形嗎？如果有，就把它們一一寫出來分析： (1)在ABC內(nèi)，有五個(gè)三角形，加上ABC與AFG，共有七個(gè)三角形(2)這是依據(jù)相似三角形判定定理來解決的計(jì)數(shù)問題由于“不包括全等”，圖中還剩五個(gè)非直角三角形，考慮到題設(shè)中兩個(gè)三角形擺放的隨意性，1不一定等于2，而B=C=45，3、4都為鈍角，又排除ABD與ACE相似

8、，還剩三個(gè)三角形，這三個(gè)三角形相似解： (1)共有七個(gè)三角形，它們是ABD、ABE、ADE、ADC、AEC、ABC與AFG(2)有相似三角形，它們是ABEDAE，DAEDCA，ABEDCA(或ABEDAEDCA)點(diǎn)撥：解決這類計(jì)數(shù)問題，一定要依據(jù)圖形與定理，全面、周密思考，做到不重不漏，這類題有利于發(fā)散思維的培養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)的形成；有興趣的同學(xué)可繼續(xù)探索一下本題中BD、DE、EC三條線段有何關(guān)系？2、畫符合要求的相似三角形例2、(上海)在大小為44的正方形方格中，ABC的頂點(diǎn)A、B、C在單位正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出一個(gè)A1B1C1，使得A1B1C1ABC(相似比不為1)，且點(diǎn)A1、B1、C1

9、都在單位正方形的頂點(diǎn)上（1）（2）分析：設(shè)單位正方形的邊長為1，則ABC的三邊為，從而根據(jù)相似三角形判定定理2或3可畫A1B1C1，易得點(diǎn)撥：在44的正方形方格中，滿足題設(shè)的A1B1C1只能畫出以上三個(gè)，若正方形方格數(shù)不加限制，則和ABC相似且不全等的三角形可以畫無數(shù)個(gè)3、相似三角形的判定例3、(1)如圖，O是ABC內(nèi)任一點(diǎn)，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點(diǎn)，求證：DEFABC；(2)如圖，正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DF=3CF，寫出圖中所有相似三角形，并證明分析：(1)根據(jù)題設(shè)，觀察圖形易見，DE、EF、FD分別是AOB、BOC、COA的中位線，利用三角形的中位線性質(zhì)可證DEF

10、與ABC的三邊對(duì)應(yīng)成比例；(2)由于正方形的四條邊相等，且BE=CE，DF=3CF，設(shè)出正方形邊長后，圖中所有線段都能求出，故可從三邊是否成比例判定哪些三角形相似點(diǎn)撥：第(1)題，若點(diǎn)O在ABC外，其他條件不變，結(jié)論仍成立；第(2)題也可用判定定理2，先證ABEECF，得出AEF=90后，再證其中任意三角形與AEF相似，顯然，以上證法較簡便4、直角三角形相似的判定例4、求證：若一個(gè)直角三角形的一條直角邊和斜邊上的高與另一個(gè)直角三角形的一條直角邊和斜邊上的高成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似已知：如圖，RtABC和RtABC中，C=C=90，CD、CD分別是兩個(gè)三角形斜邊上的高，且CDCD=ACA

11、C求證：ABCABC分析：判定直角三角形相似的方法除使用一般三角形的判定方法外，還可使用“斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似”這一定理證明ABCABC，只要再證一銳角對(duì)應(yīng)相等即可證明：CD、CD分別是ABC、ABC的高，ACD、ACD是直角三角形5、三角形重心問題例5、已知ABC的重心G到BC邊上的距離為5，那么BC邊上的高為()A5B12C10 D15解析：因?yàn)镚為ABC的重心，所以DGDA=13，因?yàn)镚EBC，AFBC，所以GEAF，所以GEAF=DGDA=13，因?yàn)镚E=5，所以AF=156、相似三角形的綜合運(yùn)用例6、如圖，CD是RtABC斜邊AB上的中線，過點(diǎn)D垂直于AB的直線

12、交BC于E，交AC延長線于F求證：(1)ADFEDB；(2)CD2=DEDF分析：(1)ADF與EDB都是直角三角形，要證它們相似，只要再找一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等即可；(2)注意到CD是斜邊AB的中線，AD=BD=CD，由結(jié)論(1)不難得出結(jié)論(2)證明：(1)DFAB，ADF=BDE=90，又FA=BA，F(xiàn)=B，ADFEDB(2)由(1)得，ADBD=DEDF又CD是RtABC斜邊上的中線，AD=BD=CD故CD2=DEDF點(diǎn)撥：本題綜合考查了直角三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定等這是一道階梯型問題，第(2)題根據(jù)(1)得出有關(guān)比例式，然后使用“等線代換”使問題簡捷獲證其實(shí)第(2)題也可這樣思考：把它

13、轉(zhuǎn)化為比例式，證明這三條線段所在的CDEFDC請(qǐng)同學(xué)們完成這一證明例7、如圖，AD是ABC的角平分線，BEAD于E，CFAD于F求證：分析：待證式中的四條線段不是在兩個(gè)三角形中，無法直接根據(jù)兩個(gè)三角形相似得出，需要插入一個(gè)“中間比”，由題設(shè)易證ABEACF，BDECDF，從中不難找到這個(gè)中間比證明：AD是ABC的角平分線，1=2BEAD，CFAD，3=4=90，ABEACF，點(diǎn)撥：當(dāng)無法直接由兩個(gè)三角形相似得出結(jié)論中的比例式時(shí)，一般可尋找“中間比”幫忙；例8、如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是AB、BC上的點(diǎn)，BM=BN，BPMC于點(diǎn)P求證：(1)PBNPCD；(2)PNPD分析：要證PN

14、PD，即證DPN=90，由已知BPC=90，而BPC與DPN有公共部分CPN，因此只要證明4=5即可這就必須先證明出結(jié)論(1)在PBN與PCD中，易證1=3，以下只要證明夾1、3的兩邊對(duì)應(yīng)成比例證明：(1)在正方形ABCD中，ABCD，ABC=90BPMC，PBMPCB點(diǎn)撥：要注意觀察出圖中存在的“母子相似三角形”基本圖形，從而充分利用它得出1=2及PBMPCB等重要結(jié)論一、本章的兩套定理第一套（比例的有關(guān)性質(zhì)）：合比性質(zhì)：（比例基本定理）涉及概念：第四比例項(xiàng)比例中項(xiàng)比的前項(xiàng)、后項(xiàng)，比的內(nèi)項(xiàng)、外項(xiàng)黃金分割等。二、有關(guān)知識(shí)點(diǎn)：1.相似三角形定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。

15、2.相似三角形的表示方法：用符號(hào)“”表示，讀作“相似于”。3.相似三角形的相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。4.相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形 的判定兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等三邊對(duì)應(yīng)成比例兩角對(duì)應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對(duì)應(yīng)邊相等”的條件改為“對(duì)應(yīng)邊成比例”就可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學(xué)

16、中的用類比的方法，在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上找出新知識(shí)并從中探究新知識(shí)掌握的方法。6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。7.相似三角形的性質(zhì)定理：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。(4)相似三角形的周長比等于相似比。(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。8. 相似三角形的傳遞性如果ABCA1B1C1，A1B1C1A2B2C2，那么ABCA2B2C2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一個(gè)判定定理，也是后面學(xué)習(xí)的相似三角形的判定定理的基礎(chǔ)，這個(gè)定理確定了相似三角形的兩個(gè)基本圖形“A”型和“ 8 ”型。在利用定理證明時(shí)要注意A型圖的比例，