醫(yī)用高等數(shù)學(xué)全冊(cè)完整教學(xué)課件

1、醫(yī)用高等數(shù)學(xué)全冊(cè)完整教學(xué)課件,第一章,函數(shù),極限,研究的主要對(duì)象,研究的基礎(chǔ)和方法,函數(shù)與極限,函數(shù)是變量之間相互聯(lián)系、相互制約關(guān)系的抽象表示，是事物運(yùn)動(dòng)、變化及相互影響的復(fù)雜關(guān)系在數(shù)量方面的反映；極限刻畫了變量的變化趨勢(shì)，是研究函數(shù)的重要方法本章內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限和函數(shù)的連續(xù)性等基本概念，以及它們的主要性質(zhì),二、初等函數(shù),三、分段函數(shù),一、函數(shù)的概念,第一節(jié) 函數(shù),四、函數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì),一、函數(shù)的概念,變量：在過(guò)程中可取不同數(shù)值的量,常量：在某過(guò)程中始終保持同一數(shù)值的量,常用字母 表示,常用字母 表示,例如：人的身高，在研究少兒發(fā)育成長(zhǎng)的過(guò)程中是變量，而在研究成人的健康狀況時(shí)通常認(rèn)為是

2、常量,注意：一個(gè)量究竟是常量還是變量，不是絕對(duì)的，要根據(jù)具體過(guò)程和具體條件來(lái)確定,函數(shù)概念的歷史,最早提出函數(shù),概念的是17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家,萊布尼茨:“函數(shù)”一詞表示冪，如,1718年，萊布尼茨的學(xué)生、瑞士數(shù)學(xué)家伯努利把函數(shù)定義為“由某個(gè)變量及任意的一個(gè)常數(shù)結(jié)合而成的數(shù)量。,伯努利所強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)要用公式,函數(shù)概念的歷史,1755年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉把函數(shù)定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)?！?。在歐拉的定義中，就不強(qiáng)調(diào)函數(shù)需要用公式表示了。他認(rèn)為“函數(shù)是隨意畫出的一條曲線,1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西給

3、出了類似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在者一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨這而確定時(shí)，則將最初的表示叫自變量，其他各表示叫做函數(shù)。,函數(shù)概念的歷史,1834年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基進(jìn)一步提出函數(shù)的,的定義,的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每一個(gè),都有確定的值，并且隨著,一起變化。函數(shù)可以由解析式,給出，也可以由幾個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法。函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的。”，這個(gè)定義指出了對(duì)應(yīng)關(guān)系（條件）的必要性，利用這個(gè)關(guān)系，可以來(lái)求出每一個(gè),的對(duì)應(yīng)值,1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立,與,之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是無(wú)關(guān)緊要的

4、，所以他的定義是：“如果,對(duì)于,的每一個(gè)值,總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng),則,是,的函數(shù)。”，這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性,因此，這個(gè)定義曾被比較長(zhǎng)期的使用著,自從德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾的集合論被大家接受后，用集合對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)定義函數(shù)概念競(jìng)賽現(xiàn)在課本里用的了,按照一定的規(guī)律,定義域,自變量,因變量,則稱 是 的函數(shù),記為,因變量與自變量之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律稱為函數(shù)關(guān)系,所有函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域,與自變量的值相對(duì)應(yīng)的因變量的值稱為函數(shù)值,定義1-1 設(shè),是同一變化過(guò)程中的兩個(gè)變量,如果對(duì),于變量,的每一個(gè)允許的取值,變量,總有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng),在實(shí)際問(wèn)題中的定義域是由實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義決定的,2)

5、定義域,3)對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法,公式法,圖像法,列表法,使表達(dá)式或?qū)嶋H問(wèn)題有意義的自變量集合,1) 函數(shù)的兩個(gè)要素,定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)律,注意,例11,在出生后16個(gè)月期間內(nèi)，正常嬰兒的體重近似滿足以下關(guān)系式,公式法,例12,監(jiān)護(hù)儀自動(dòng)記錄了某患者一段時(shí)間內(nèi)體溫,的變化曲線，如下圖（圖像法）所示,例13,某地區(qū)統(tǒng)計(jì)了某年112月中當(dāng)?shù)亓餍行猿鲅獰岬陌l(fā)病率，見(jiàn)表1-1（表格法,二、函數(shù)的幾種簡(jiǎn)單特性,1有界性,設(shè)函數(shù),在區(qū)間,內(nèi)有定義，如果存在一個(gè)正數(shù),使對(duì)所有的,恒有,則稱函數(shù),在,內(nèi)是有界的如果不存在這樣的正數(shù),則稱,在,內(nèi)是無(wú)界的,例如,在,一，+）內(nèi)是有界的,在,1，+）內(nèi)是有界的，但在（o

6、，1）內(nèi)是無(wú)界的,2單調(diào)性,設(shè),是函數(shù),的定義區(qū)間,內(nèi)的任意兩點(diǎn),且,若,則稱,在,內(nèi)是單調(diào),遞增的；若,則稱,在,內(nèi)是單調(diào)遞,減的,增函數(shù),減函數(shù),例如,在（一，）內(nèi)是單調(diào)遞增的,在,，）內(nèi)是單調(diào)遞減的，而在（0，）內(nèi)是單調(diào)遞增的,3奇偶性,如果對(duì)于函數(shù),定義域內(nèi)的任意點(diǎn),恒有,則稱,是偶函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù),定義域內(nèi)的任意點(diǎn),恒有,則稱,為,奇函數(shù)偶函數(shù)的圖像是關(guān)于,軸對(duì)稱的，而奇函數(shù)的圖,像是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的,偶函數(shù),奇函數(shù),例如,都是偶函數(shù)；而,都是奇函數(shù),4周期性,對(duì)于函數(shù),如果存在正的常數(shù),使得,恒成立，則稱,為周期函數(shù)，滿足這,個(gè)等式的最小正數(shù),稱為函數(shù)的周期,例如,都是周期函數(shù)

7、，周期為,也都是周期函數(shù)，周期為,周期為,周期為,5). 反函數(shù)（ inverse function,的反函數(shù)記成,其反函數(shù),減,減),1) yf (x) 單調(diào)遞增,且也單調(diào)遞增,性質(zhì),2) 函數(shù),對(duì)稱,2) 函數(shù),與其反函數(shù),的圖形關(guān)于直線,對(duì)稱,例如,對(duì)數(shù)函數(shù),互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,指數(shù)函數(shù),反三角函數(shù)講解,三、初等函數(shù),1基本初等函數(shù),1）常數(shù)函數(shù),為任意實(shí)數(shù),2）冪函數(shù),為任意實(shí)數(shù),3）指數(shù)函數(shù),4）對(duì)數(shù)函數(shù),5）三角函數(shù),6）反三角函數(shù),等,三角函數(shù)中常用公式,和差化積公式,積化和差公式,注：在后面的極限及微積分計(jì)算中可能會(huì)用到,2、復(fù)合函數(shù),定義1-2,設(shè)變量,是變量,的函數(shù)

8、，變量,又是變量,的函數(shù)，即,如果變量,的某些值通過(guò)變量,可以確定變量,的值，則稱,是,的復(fù)合函數(shù),記為,變量,稱為中間變量。復(fù)合函數(shù)的概念可以推廣到由多個(gè)函數(shù)，通過(guò)多個(gè)中間變量傳遞而構(gòu)成的情形,例14,試通過(guò),求,關(guān)于,的復(fù)合函數(shù),解：自變量、中間變量依次代入得,例15,設(shè),試求,解,如果由兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域?yàn)榭占?，則此復(fù)合函數(shù)無(wú)意義（或稱它們不能復(fù)合）例如，由,復(fù)合而成的函數(shù),因,其定義域?yàn)榭占?，即函?shù),無(wú)意義,在后面的很多計(jì)算問(wèn)題中，往往需要把復(fù)合函數(shù)的中間變量找出來(lái)，把它“分解”為若干個(gè)基本初等函數(shù)或由它們通過(guò)四則運(yùn)算而得到的簡(jiǎn)單函數(shù)形式，以便于利用公式進(jìn)行計(jì)算,例16,將

9、下列復(fù)合函數(shù)“分解”為簡(jiǎn)單函數(shù),解,練習(xí)將下列復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù),解 (1) 最外層是二次方，即,次外層是正弦，即,從外向里第三層是冪函數(shù),最里層是多項(xiàng)式，即,所以，分解得,最外層是對(duì)數(shù)，即,次外層是正切，即,從外向里第三層是指數(shù)函數(shù)，即,最里層是簡(jiǎn)單函數(shù)，即,所以，分解得,3初等函數(shù),定義1-2,由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算以及函數(shù)復(fù)合所得到的僅用一個(gè)解析式表達(dá)的函數(shù)，稱為初等函數(shù),初等函數(shù),四、分段函數(shù),對(duì)于其定義域內(nèi)自變量,不同的值,要用兩個(gè)或兩個(gè)以,上解析式表示的函數(shù)稱為分段函數(shù),例18,設(shè),求,解,稱為符號(hào)函數(shù),它的定義域?yàn)?值域,例1-9 函數(shù),絕對(duì)值函數(shù),函

10、數(shù)圖像,主要內(nèi)容,常量變量 函數(shù)的概念,基本初等函數(shù) 復(fù)合函數(shù) 分段函數(shù) 初等函數(shù),函數(shù)的性質(zhì)：有界性單調(diào)性奇偶性周期性,作業(yè),思考與練習(xí) 1（1,3） 3. 4,反三角函數(shù),課前復(fù)習(xí),1)什么樣的函數(shù)有反函數(shù),一一對(duì)應(yīng)函數(shù)有反函數(shù),沒(méi)有,因?yàn)樗皇且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù),2)互為反函數(shù)圖象之間有什么關(guān)系,關(guān)于直線y=x對(duì)稱,4)正弦函數(shù)y=sinx在 上有反函數(shù)嗎,3)正弦函數(shù)y=sinx ,余弦函數(shù)y=cosx, 正切函數(shù)y=tanx在定義域上有反函數(shù)嗎,余弦函數(shù)y=cosx在0， 上有反函數(shù)嗎,正切函數(shù)y=tanx在 上有反函數(shù)嗎,1,1,正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎,沒(méi)有,因?yàn)樗皇且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，同一個(gè)

11、三角函數(shù)值會(huì)對(duì)應(yīng) 許多角,正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎,正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎,有,因?yàn)樗且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)， 同一個(gè)三角函數(shù)值只對(duì)應(yīng)一個(gè)角,知識(shí)整和,一、反正弦函數(shù),1、定義：正弦函數(shù) 的反函數(shù),叫反正弦函數(shù)，記作 (本義反函數(shù),習(xí)慣記作 (矯正反函數(shù),理解和掌握 符號(hào),1）、 表示一個(gè)角,2）、這個(gè)角的范圍是,3）、這個(gè)角的正弦值是 即,2、反正弦函數(shù)y=arcsinx,x-1，1 的圖象與性質(zhì),1)定義域:-1，1,2)值域,3)奇偶性,是奇函數(shù),其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,4)單調(diào)性,是增函數(shù),例1、求下列各式的值,解,設(shè),則,1,1,沒(méi)有,因?yàn)樗皇且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對(duì)應(yīng) 許多角,余弦函

12、數(shù) 有反函數(shù)嗎,余弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎,有,因?yàn)樗且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)， 同一個(gè)三角函數(shù)值只對(duì)應(yīng)一個(gè)角,知識(shí)整和,二、反余弦函數(shù),1、定義：余弦函數(shù) 的反函數(shù),叫反余弦函數(shù)，記作 (本義反函數(shù),習(xí)慣記作 (矯正反函數(shù),理解和掌握 符號(hào),1）、 表示一個(gè)角,2）、這個(gè)角的范圍是,3）、這個(gè)角的余弦值是 即,y=arccosx,x-1，1 y0,1,1,2、反余弦函數(shù)y=arccosx,x-1，1的圖象與性質(zhì),1)定義域,1，1,2)值域,0,3)奇偶性,非奇非偶函數(shù),4)單調(diào)性,是減函數(shù),證明,證明,找錯(cuò)題,沒(méi)有,因?yàn)樗皇且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對(duì)應(yīng) 許多角,正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎,正弦函數(shù) 有

13、反函數(shù)嗎,有,因?yàn)樗且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)， 同一個(gè)三角函數(shù)值只對(duì)應(yīng)一個(gè)角,知識(shí)整和,三、反正切函數(shù),1、定義：正切函數(shù) 的反函數(shù),叫反正切函數(shù)，記作 (本義反函數(shù),習(xí)慣記作 (矯正反函數(shù),理解和掌握 符號(hào),1）、 表示一個(gè)角,2）、這個(gè)角的范圍是,3）、這個(gè)角的正切值是 即,2、反正切函數(shù)y=arctanx,xR的圖象與性質(zhì),知識(shí)整和,1)定義域R,2)值域,3)奇偶性,是奇函數(shù),arctan(-x)=-arctanx(xR) 其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,4)單調(diào)性,是增函數(shù),第一章,一、極限的概念,第二節(jié),極限的概念,第一章,一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限,第二節(jié),自變量變化過(guò)程的六種形式,二、自變

14、量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,本節(jié)內(nèi)容,函數(shù)的極限,定義14,當(dāng)自變量,的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，如果,函數(shù),無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù),就稱當(dāng),趨于無(wú)窮大時(shí),函數(shù),以,為極限(或收斂于A)，記為,或,注意,和,當(dāng),若,時(shí)，函數(shù),不趨于某一個(gè)常數(shù),此時(shí)我們就稱,時(shí)，函數(shù),的極限不存在（或,稱為發(fā)散）例如函數(shù),時(shí)，它們的極限不存在（或 發(fā)散,解:(右圖) 所以,0,1,y,xx,單側(cè)極限,當(dāng)自變量,的變化沿,軸正方向無(wú)限增大（或沿,軸負(fù)方向絕對(duì)值無(wú)限增大）時(shí)，函數(shù),無(wú)限趨近于一,個(gè)常數(shù),則稱,為函數(shù),的單側(cè)極限，記為,或,例1-10 求 當(dāng) 時(shí)的單側(cè)極限,解,練習(xí)、當(dāng) 時(shí)，討論函數(shù) 的極限 解：(右圖) 當(dāng) 時(shí)，

15、 當(dāng) 時(shí)， 所以 練習(xí)、當(dāng) 時(shí)，討論函數(shù) 的極限。 解:(右圖) 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 所以,x,0,y,y,前面的極限定義是用描述性語(yǔ)言,比較粗糙,考察函數(shù)y=x2，當(dāng)x無(wú)限趨近于2時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì),1)圖象,當(dāng)xx0時(shí),函數(shù)f(x)的極限,一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限,2)列表,從任何一方面看，當(dāng) x2時(shí)，函數(shù)yx2的 極限是4記作,強(qiáng)調(diào)：x2，包括分別從左、右兩側(cè)趨近于2,鄰域,在極限定義的過(guò)程中，鄰域是常用的一個(gè)概念設(shè),是某一定點(diǎn),是大于零的某實(shí)數(shù)，開(kāi)區(qū)間,稱為點(diǎn),的,鄰域，點(diǎn),稱為鄰域的中心,稱為鄰域的半徑,定義15設(shè)函數(shù),在點(diǎn),的某鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn),可以除外），當(dāng)自變量,以任意

16、方式無(wú)限趨近于定點(diǎn),時(shí)，若函數(shù),無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù),就稱當(dāng),趨,近于,時(shí)，函數(shù),以,為極限(或收斂于A)，記為,或,如果當(dāng),時(shí),不趨近一個(gè)常數(shù)，則稱當(dāng),時(shí),的極限不存在（或稱為發(fā)散）例如,注,推論:左右極限不存在或左右極限存在不相等,練習(xí) 給定函數(shù),討論,時(shí),的極限是否存在,解: 利用定理,因?yàn)?顯然,所以,存在,3數(shù)列的極限,數(shù)列是按自然數(shù)順序依次排列的一串?dāng)?shù),數(shù)列中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，其中,稱為第n項(xiàng),也稱為數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列可簡(jiǎn)記為,以下給出幾個(gè),數(shù)列的例子,數(shù)列實(shí)際上就是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),因此，考察當(dāng),無(wú)限增大時(shí)數(shù)列的變化趨勢(shì)，即數(shù)列的極,限時(shí)，可類比函數(shù),當(dāng)自變量,時(shí)的情形由,此

17、,當(dāng),無(wú)限增大時(shí)，若,無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù),則稱當(dāng),趨于無(wú)窮大時(shí),以,為極限(或收斂于A)，記為,或,當(dāng),無(wú)限增大時(shí)，若不存在上述常數(shù),則稱當(dāng),趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列,極限不存在(或發(fā)散,例如，對(duì)于上面4個(gè)數(shù)列，（1）、（2）的極限存在,和,而（3）、（4）的極限不存在對(duì)于（3）可記為,4判別極限存在的法則,法則1（夾逼法則） 若在同一極限過(guò)程中，三個(gè)函數(shù),及,之間有如下關(guān)系,且,則,法則2：（單調(diào)有界原理）： 單調(diào)增加（減少）有上（下）界的數(shù)列必定有極限,第一章,一、 極限的四則運(yùn)算法則,二、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則,第二節(jié),極限運(yùn)算法則,一、 極限的四則運(yùn)算法則,分別為A和 B,即,定理 1.1

18、 . 若,注意,在自變量的同一變化過(guò)程中極限,一、 極限的四則運(yùn)算法則,分別為A和 B,即,定理 1.1 . 若,說(shuō)明: 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘,相加的情形,特別地,k 為常數(shù),推論 1,n 為正整數(shù),在自變量的同一變化過(guò)程中極限,例1,解,2、求極限方法舉例,小結(jié),解,例2,消去零因子法,例3 求,解: 原式,解：原式,又例 : 求,例4,解,無(wú)窮小因子分出法,結(jié)論,a00，b00，m,n0,解： 1）m=n, 原式,2）mn, 原式,3）mn，原式,定理,設(shè)函數(shù)y=f(u)及u=(x)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y= f (x), 在x0某個(gè)去心鄰域, 若 且(x) l , 則復(fù)合函數(shù)y= f (x)在

19、xx0時(shí) 的極限為,二、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則,說(shuō)明,又稱變量代換法,1,例6. 求,解: 令,推論,1,練習(xí). 求,解: 令,原式,說(shuō)明,又稱變量代換法,1,3. 冪指函數(shù)的極限運(yùn)算,證明,內(nèi)容小結(jié),1. 極限運(yùn)算法則,1) 極限四則運(yùn)算法則,2) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則,注意使用條件,2. 求函數(shù)極限的方法,1) 分式函數(shù)極限求法,時(shí), 用代入法,要求分母不為 0,時(shí), 對(duì),型 , 約去公因子,時(shí) , 分子分母同除最高次冪,抓大頭,2) 復(fù)合函數(shù)極限求法,設(shè)中間變量,思考及練習(xí),1,是否存在 ? 為什么 ,答: 不存在,否則由,利用極限四則運(yùn)算法則可知,存在,與已知條件,矛盾,問(wèn),復(fù)習(xí)回顧

20、,1. 極限運(yùn)算法則,1) 極限四則運(yùn)算法則,2) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則,注意使用條件,2. 求函數(shù)極限的方法,1) 分式函數(shù)極限求法,時(shí), 用代入法,要求分母不為 0,時(shí), 對(duì),型 , 約去公因子,時(shí) , 分子分母同除最高次冪,抓大頭,2) 復(fù)合函數(shù)極限求法,設(shè)中間變量,定理,設(shè)函數(shù)y=f(u)及u=(x)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y= f (x), 在x0某個(gè)去心鄰域, 若 且(x) l , 則復(fù)合函數(shù)y= f (x)在 xx0時(shí) 的極限為,二、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則,第二節(jié),兩個(gè)重要極限,第一章,一、 兩個(gè)重要極限,極限 的直觀理解 (1)方法:(圖像觀察法) 作函數(shù) 圖像(右圖). 從圖像中可見(jiàn):

21、 在x=0的附近(左右兩側(cè)),曲線 幾乎重合, 即當(dāng) 時(shí),sinx和x等價(jià),其比值為1,故,x,0,y,1,1,0,y,x,說(shuō)明利用復(fù)合函數(shù)求極限的運(yùn)算法則,此結(jié)論可推廣到,說(shuō)明利用復(fù)合函數(shù)求極限的運(yùn)算法則,此結(jié)論可推廣到,例2. 求,解,例3. 求,解,解: 原式,說(shuō)明,1）分子、分母含有三角函數(shù)且在自變量指定的變化趨 勢(shì)下是“ ” 型,2）公式中的“ ”可以是趨向于零的代數(shù)式,3）注意三角函數(shù)有關(guān)公式的應(yīng)用,一、 兩個(gè)重要極限,極限 的直觀解釋 通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法來(lái)理解. 通過(guò)取一系列|x|趨于無(wú)窮大的數(shù)值,觀察 值的變化情況（取 ）. 從上表中可見(jiàn): 即當(dāng) , 即有,函數(shù)的圖像如下,利用

22、變量替換和復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則,說(shuō)明: 此極限也可寫為,例1. 求,解: 令,則,說(shuō)明 ：若利用,則,原式,例2 求,解,則,例3. 求,解一,解二,說(shuō)明,2. 兩個(gè)重要極限,或,作業(yè) p29 : 12,練習(xí) 求,解：原式,其他幾個(gè)重要極限,第一章,二、 無(wú)窮大,三 、 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,一、 無(wú)窮小,無(wú)窮小與無(wú)窮大,為,一、 無(wú)窮?。O限為0的量,定義1 . 若,時(shí), 函數(shù),則稱函數(shù),例如,函數(shù),為,時(shí)的無(wú)窮小,函數(shù),時(shí)的無(wú)窮小,為,時(shí)的無(wú)窮小量(dimensionless)，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小,一、 無(wú)窮?。O限為0的量,定義1 . 若,時(shí), 函數(shù),則稱函數(shù),為,時(shí)的無(wú)窮小量(dimensi

23、onless)，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小,2：無(wú)窮小必須指明x的趨向,當(dāng),時(shí)就不是無(wú)窮小,為,函數(shù),時(shí)的無(wú)窮小,一、 無(wú)窮小（極限為0的量,定義1 . 若,時(shí), 函數(shù),則稱函數(shù),為,時(shí)的無(wú)窮小量(dimensionless)，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小,注意,3:除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無(wú)窮小,因?yàn)?顯然 C 只能是 0,3:無(wú)窮小不是很小的數(shù),除0外,所有的無(wú)窮小都是變量,根據(jù)無(wú)窮小量的定義以及極限的定義和運(yùn)算法則，可以證明無(wú)窮小量有如下性質(zhì),性質(zhì)1 有限個(gè)（相同類型的）無(wú)窮小量的和、差、積以及常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量,利用極限的四則運(yùn)算得到,兩個(gè)無(wú)窮小的商仍為無(wú)窮小量嗎,根據(jù)無(wú)窮小量的定義以及極限的定義

24、和運(yùn)算法則，可以證明無(wú)窮小量有如下性質(zhì),性質(zhì)1 有限個(gè)（相同類型的）無(wú)窮小量的和、差、積以及常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量,利用極限的四則運(yùn)算得到,無(wú)限個(gè)無(wú)窮小的和,積仍為無(wú)窮小量嗎,根據(jù)無(wú)窮小量的定義以及極限的定義和運(yùn)算法則，可以證明無(wú)窮小量有如下性質(zhì),性質(zhì)1 有限個(gè)無(wú)窮小量的和、差、積以及常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量,性質(zhì)2 有界函數(shù)與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量,性質(zhì)2 ：有界函數(shù)與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量,略證,其中(x) 為,時(shí)的無(wú)窮小量,定理 1.2 ( 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系,證,即,為無(wú)窮小量,對(duì)自變量的其它變化過(guò)程類似可證,附注,具有極限的函數(shù)可表示為極限與無(wú)窮小量的和

25、,反之,如果一個(gè)函數(shù)可表示為常數(shù)和無(wú)窮小量之和,則這個(gè)常數(shù)就是這個(gè)函數(shù)的極限,兩個(gè)無(wú)窮小量之間趨于零的速度的快慢,這與它們各自趨于零的速度有關(guān).為了便于考察,是無(wú)窮小量，但是它們的商一般來(lái)說(shuō)是不確定的,為了比較兩個(gè)無(wú)窮小量趨于零的速度的快慢. 我們引入了階的概念,2無(wú)窮小量的階,兩個(gè)相同類型的無(wú)窮小量，它們的和、差、積仍,定義,若,則稱 是比 高階的無(wú)窮小,如,故有,記作,定義,若,則稱 是比 高階的無(wú)窮小,若,若,若,或,記作,則稱 是比 低階的無(wú)窮小,則稱 是 的同階無(wú)窮小,則稱 是 的等價(jià)無(wú)窮小,記作,若,例如,若,或,則稱 是 的等價(jià)無(wú)窮小,記作,時(shí),當(dāng),利用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)計(jì)算極限,二

26、、 無(wú)窮大,定義1.8,時(shí)為無(wú)窮大,記作,無(wú)窮大量是一類沒(méi)有極限的變量,三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,若,為無(wú)窮大,為無(wú)窮小,若,為無(wú)窮小, 且,則,為無(wú)窮大,則,據(jù)此定理 , 關(guān)于無(wú)窮大的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為 無(wú)窮小來(lái)討論,定理2. 在自變量的同一變化過(guò)程中,說(shuō)明,解,商的法則不能用,例4,內(nèi)容小結(jié),1. 無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義,2. 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系,3. 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,第五節(jié),幾點(diǎn)注意,1） 無(wú)窮?。?大）是變量,不能與很小（大）的數(shù)混淆， 零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)； 無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的,2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小,3） 無(wú)界變量未必是無(wú)窮大,P28 練習(xí)

27、題1.2 ： 4,作業(yè)來(lái)了,兩個(gè)重要極限,極限 的直觀理解 (1)方法一:(圖像觀察法) 作函數(shù) 圖像(右圖). 從圖像中可見(jiàn): 在x=0的附近(左右兩側(cè)),曲線 幾乎重合, 即當(dāng) 時(shí),sinx和x等價(jià),其比值為1,故,主頁(yè),下頁(yè),x,0,y,1,1,兩個(gè)重要極限,極限 的直觀理解 (2)方法二:(數(shù)值計(jì)算法) 通過(guò)取一系列x趨于0的數(shù)值,觀察 值的變化情況. 從上表中可見(jiàn): 即當(dāng) ,即有,上頁(yè),下頁(yè),兩個(gè)重要極限,極限 的理論解釋 證明:因 ,所以考慮 即可.如下圖所示: 根據(jù)面積的大小有: 即: ,又 所以 此函數(shù)的圖像如下圖,上頁(yè),下頁(yè),x,0,y,A,B,C,x,y,0,y=1,兩個(gè)重

28、要極限,極限 的直觀解釋 通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法來(lái)理解. 通過(guò)取一系列|x|趨于無(wú)窮大的數(shù)值,觀察 值的變化情況（取 ）. 從上表中可見(jiàn): 即當(dāng) ,即有,上頁(yè),下頁(yè),兩個(gè)重要極限,極限 理論解釋 證明:考慮數(shù)列 的極限,可以證明此數(shù)列是單調(diào)有界數(shù)列,故極限存在,且 同樣可以證明: 此函數(shù)的圖像如下,上頁(yè),主頁(yè),x,y,0,y=e,1,一、引例,二、導(dǎo)數(shù)的定義,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,五、單側(cè)導(dǎo)數(shù),第一節(jié),導(dǎo)數(shù)的概念,第二章,一、 引例,1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度,設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,自由落體運(yùn)動(dòng),2.切線問(wèn)題,割線的極

29、限位置切線位置,播放,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2. 曲線的切線斜率,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線,割線 M N 的極限位置 M T,當(dāng) 時(shí),割線 M N 的斜率,切線 MT 的斜率,兩個(gè)問(wèn)題的共性,瞬時(shí)速度,切線斜率,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之

30、比，當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)的極限,類似問(wèn)題還有,加速度,角速度,線密度,是速度增量與時(shí)間增量之比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限,變化率問(wèn)題,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義1 . 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),存在,并稱此極限為,記作,即,則稱函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定義,運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線斜率,不存在,就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn) 不可導(dǎo),若極限,求導(dǎo)步驟,注,記作,若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù),記作,注意:在以上兩式的極限過(guò)程中，x當(dāng)成常量，x, h是變 量,就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo),導(dǎo)函數(shù)定義為,簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù),例1.

31、 求函數(shù),C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù),解,即,例2. 求函數(shù),解,說(shuō)明,對(duì)一般冪函數(shù),為常數(shù),例如,例3. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù),解,則,即,類似可證得,例4,解,例5. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù),解,即,三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,若,切線與 x 軸垂直,切線方程,法線方程,幾何意義,例7. 問(wèn)曲線,哪一點(diǎn)處,的切線與直線,平行 ? 寫出其切線方程，和法線方程,解,令,得,對(duì)應(yīng),則在點(diǎn)(1,1) , (1,1) 處與直線,平行的切線方程分別為,即,平行的法線方程分別為,四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理1,注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo),反例,在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo),右導(dǎo)數(shù),左導(dǎo)數(shù),五、 單側(cè)導(dǎo)數(shù)

32、,定理. 函數(shù),在點(diǎn),且,可導(dǎo)的充分必要條件,是,存在,例8,分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí),分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求,解,內(nèi)容小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì),3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo),5. 已學(xué)求導(dǎo)公式,6. 判斷可導(dǎo)性,不連續(xù), 一定不可導(dǎo),直接用導(dǎo)數(shù)定義,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等,2,增量比的極限,切線的斜率,思考與練習(xí),1. 函數(shù) 在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù),區(qū)別,是函數(shù),是數(shù)值,聯(lián)系,注意,有什么區(qū)別與聯(lián)系 ,與導(dǎo)函數(shù),作業(yè),P34 1 , 3, 4, 5(2,3), 6,第二節(jié),2021/2/3,復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義,定義1 . 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),存在,并稱此極限為,記作,即,則稱函數(shù),若,的

33、某鄰域內(nèi)有定義,2021/2/3,此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù),記作,注意:在以上兩式的極限過(guò)程中，x當(dāng)成常量，x, h是變 量,導(dǎo)函數(shù)定義為,簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù),2021/2/3,復(fù)習(xí),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì),2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義,3 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo),4. 已學(xué)求導(dǎo)公式,5. 判斷可導(dǎo)性,不連續(xù), 一定不可導(dǎo),直接用導(dǎo)數(shù)定義,增量比的極限,切線的斜率,2021/2/3,第二節(jié),二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題,一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則,函數(shù)的求導(dǎo)法則,2021/2/3,解決求導(dǎo)問(wèn)題的思路,構(gòu)造性定義,求導(dǎo)法則,其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式,證明中利用了 兩個(gè)重要

34、極限,初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題,本節(jié)內(nèi)容,2021/2/3,一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則,定理1,的和,差,積,商 (除分母,為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo),且,2021/2/3,推論,C為常數(shù),2021/2/3,例1,解,2021/2/3,推論,C為常數(shù),3,最常用,2021/2/3,例2. 求證,證,類似可證,2021/2/3,解,函數(shù)的求導(dǎo)法則的練習(xí),2021/2/3,解,法一,法二,注,在進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算中,且也能提高結(jié)果的準(zhǔn),這樣使求導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單,盡量先化簡(jiǎn)再求導(dǎo),確性,2021/2/3,二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理2,y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),2021/2/3,例3. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解:

35、1) 設(shè),則,類似可求得,利用,則,2021/2/3,在點(diǎn) x 可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,定理3,在點(diǎn),可導(dǎo),復(fù)合函數(shù),且,在點(diǎn) x 可導(dǎo),2021/2/3,例如,關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形,2021/2/3,解,設(shè) y = sinu u= x2,例5. 求 的導(dǎo)數(shù),解 設(shè),例4,2021/2/3,2021/2/3,例6,2021/2/3,練習(xí). 設(shè),求,解,練習(xí) 設(shè),解,2021/2/3,作業(yè),P 40 1，3,第三節(jié),2021/2/3,四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題,1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （36,2021/2/3,2. 有限次四

36、則運(yùn)算的求導(dǎo)法則,C為常數(shù),3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),由定義證,說(shuō)明: 最基本的公式,其它公式,用求導(dǎo)法則推出,且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),2021/2/3,內(nèi)容小結(jié),求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則,注意: 1,2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),1,思考與練習(xí),對(duì)嗎,2021/2/3,練習(xí),練習(xí),解,一、 函數(shù)連續(xù)性的定義,第二節(jié),函數(shù)的連續(xù)性,第一章,重點(diǎn)是:初等函數(shù)的連續(xù)性,可見(jiàn) , 函數(shù),在點(diǎn),一、 函數(shù)連續(xù)性的定義,定義,在,的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù),1,在點(diǎn),即,2) 極限,3,設(shè)函數(shù),連續(xù)必須具備下列條件,存在,且,有定義,存在,對(duì)應(yīng)函數(shù)的左右極限的定義，我

37、們定義函數(shù)的左連續(xù)和右連續(xù)(單側(cè)連續(xù),可見(jiàn) , 函數(shù),在點(diǎn),二、 間斷點(diǎn),1,在點(diǎn),2) 極限,3,不連續(xù),不存在,無(wú)定義,不連續(xù),而點(diǎn),則稱函數(shù) f (x) 在點(diǎn),稱為f(x)的間斷點(diǎn),間斷點(diǎn)類型： 第一類間斷點(diǎn)（左右極限存在，但是不連續(xù)） 可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn)（左右極限至少有一個(gè)不存在） 無(wú)窮間斷點(diǎn)，振動(dòng)間斷點(diǎn),自習(xí),解,在其定義域內(nèi)連續(xù),二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則,定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積,利用極限的四則運(yùn)算法則證明,商(分母不為 0) 運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù),例如,定理2. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的,三、初等函數(shù)的連續(xù)性,基本

38、初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù),連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù),一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),例如,的連續(xù)區(qū)間為,端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù),一元初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，其圖形是一條連續(xù)不斷的曲線,四 、用連續(xù)性求極限,由對(duì)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性,一、最值定理,二、介值定理,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),注意: 若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立,一、最值定理,定理1-3.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),即: 設(shè),則,使,值和最小值,或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷,在該區(qū)間上一定有最大,證明略,點(diǎn),例如,無(wú)最大值和最小值,也無(wú)最大值和最小值,又如,二、介值定理,定理1-4. ( 零點(diǎn)定理,至少有一點(diǎn),且,使,證明略,推論

39、在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界,推論. ( 介值定理,設(shè),且,則對(duì) A 與 B 之間的任一數(shù) C,一點(diǎn),證: 作輔助函數(shù),則,且,故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn),使,即,推論: 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),使,至少有,必取得介于最小值與,最大值之間的任何值,例. 證明方程,一個(gè)根,證: 顯然,又,故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn),使,即,在區(qū)間,內(nèi)至少有,內(nèi)容小結(jié),內(nèi)容小結(jié),左連續(xù),右連續(xù),函數(shù)的間斷點(diǎn)，即為不連續(xù)點(diǎn),作業(yè)：p18: 5, 8, 9, 10，11, 13, 15, 17,一、引例,二、導(dǎo)數(shù)的定義,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,五、單側(cè)導(dǎo)數(shù),第一節(jié),導(dǎo)數(shù)的概念,第二

40、章,一、 引例,1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度,設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,自由落體運(yùn)動(dòng),2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,播放,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,2. 曲線的切線斜率,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線

41、,割線 M N 的極限位置 M T,當(dāng) 時(shí),割線 M N 的斜率,切線 MT 的斜率,兩個(gè)問(wèn)題的共性,瞬時(shí)速度,切線斜率,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比，當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)的極限,類似問(wèn)題還有,加速度,角速度,線密度,是速度增量與時(shí)間增量之比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限,變化率問(wèn)題,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義1 . 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),存在,并稱此極限為,記作,即,則稱函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定義,運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線斜率,不存在,就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn) 不可導(dǎo),若,也稱,在,若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新

42、函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù),記作,注意,就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo),的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大,若極限,不存在,就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn) 不可導(dǎo),若極限,求導(dǎo)步驟,若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù),記作,注意:在以上兩式的極限過(guò)程中，x當(dāng)成常量，x, h是變 量,就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo),導(dǎo)函數(shù)定義為,簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù),例1. 求函數(shù),C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù),解,即,例2. 求函數(shù),解,說(shuō)明,對(duì)一般冪函數(shù),為常數(shù),例如,例3. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù),解,則,即,類似可證得,例4,解,例5. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù),解,即,三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,若,切線與 x 軸垂直,切線方程,法線方程,幾何意義,例7. 問(wèn)曲線,哪一點(diǎn)處,

43、的切線與直線,平行 ? 寫出其切線方程，和法線方程,解,令,得,對(duì)應(yīng),則在點(diǎn)(1,1) , (1,1) 處與直線,平行的切線方程分別為,即,平行的法線方程分別為,四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理1,注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo),反例,在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo),右導(dǎo)數(shù),左導(dǎo)數(shù),五、 單側(cè)導(dǎo)數(shù),定理. 函數(shù),在點(diǎn),且,可導(dǎo)的充分必要條件,是,存在,例8,分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí),分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求,解,內(nèi)容小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì),3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo),5. 已學(xué)求導(dǎo)公式,6. 判斷可導(dǎo)性,不連續(xù), 一定不可導(dǎo),直接用導(dǎo)數(shù)定義,看左右導(dǎo)數(shù)是否存

44、在且相等,2,增量比的極限,切線的斜率,思考與練習(xí),1. 函數(shù) 在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù),區(qū)別,是函數(shù),是數(shù)值,聯(lián)系,注意,有什么區(qū)別與聯(lián)系 ,與導(dǎo)函數(shù),作業(yè),P57: 2,5(1), 8, 9,第二節(jié),2021/2/3,復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義,定義1 . 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),存在,并稱此極限為,記作,即,則稱函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定義,2021/2/3,此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù),記作,注意:在以上兩式的極限過(guò)程中，x當(dāng)成常量，x, h是變 量,導(dǎo)函數(shù)定義為,簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù),2021/2/3,復(fù)習(xí),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì),2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義,3 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo),4. 已學(xué)求導(dǎo)公式,5. 判斷可導(dǎo)性,不

45、連續(xù), 一定不可導(dǎo),直接用導(dǎo)數(shù)定義,增量比的極限,切線的斜率,2021/2/3,第二節(jié),二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題,一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則,函數(shù)的求導(dǎo)法則,2021/2/3,解決求導(dǎo)問(wèn)題的思路,構(gòu)造性定義,求導(dǎo)法則,其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式,證明中利用了 兩個(gè)重要極限,初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題,本節(jié)內(nèi)容,2021/2/3,一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則,定理1,的和,差,積,商 (除分母,為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo),且,2021/2/3,推論,C為常數(shù),2021/2/3,例1,解,2021/2/3,推論,C為常數(shù),3,最常用,2021/2/3,例2. 求證,證,類似可

46、證,2021/2/3,解,函數(shù)的求導(dǎo)法則的練習(xí),2021/2/3,解,法一,法二,注,在進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算中,且也能提高結(jié)果的準(zhǔn),這樣使求導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單,盡量先化簡(jiǎn)再求導(dǎo),確性,2021/2/3,二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理2,y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),2021/2/3,例3. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解: 1) 設(shè),則,類似可求得,利用,則,2021/2/3,在點(diǎn) x 可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,定理3,在點(diǎn),可導(dǎo),復(fù)合函數(shù),且,在點(diǎn) x 可導(dǎo),2021/2/3,例如,關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形,2021/2/3,解,設(shè) y = sinu u

47、= x2,例5. 求 的導(dǎo)數(shù),解 設(shè),例4,2021/2/3,2021/2/3,例6,2021/2/3,練習(xí). 設(shè),求,解,練習(xí) 設(shè),解,2021/2/3,作業(yè),P 58 11, 12, 13,第三節(jié),2021/2/3,四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題,1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （36,2021/2/3,2. 有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則,C為常數(shù),3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),由定義證,說(shuō)明: 最基本的公式,其它公式,用求導(dǎo)法則推出,且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),2021/2/3,內(nèi)容小結(jié),求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則,注意: 1,2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),1,思考與練習(xí),

48、對(duì)嗎,2021/2/3,練習(xí),練習(xí),解,2021/2/3,第二節(jié),一、高階導(dǎo)數(shù)的概念,七：高階導(dǎo)數(shù),第二章,2021/2/3,一、高階導(dǎo)數(shù)的概念,速度,即,加速度,即,引例：變速直線運(yùn)動(dòng),2021/2/3,定義,一、高階導(dǎo)數(shù)的定義,記作,2021/2/3,三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù),二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),2021/2/3,例1,解,例2 設(shè),求,解,2021/2/3,例2. 設(shè),求,解,一般地,2021/2/3,類似可證,2021/2/3,二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則,C為常數(shù),萊布尼茨(Leibniz) 公式,2021/2/3,常

49、用高階導(dǎo)數(shù)公式,2021/2/3,內(nèi)容小結(jié),1) 逐階求導(dǎo)法,2) 利用歸納法,3) 間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,4) 利用萊布尼茨公式,高階導(dǎo)數(shù)的求法,如下列公式,2021/2/3,作業(yè)：P 58,16, 17,2021/2/3,初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題,1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （36,2021/2/3,2. 有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則,C為常數(shù),3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),注意: 1,搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),2021/2/3,第四節(jié),四、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),五、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,六、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo),

50、2021/2/3,顯函數(shù): 因變量是由其自變量的某個(gè)算式來(lái)表示. 比如,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例如,可確定 y 是 x 的函數(shù),有些函數(shù)，它們自變量與因變量的對(duì)應(yīng)法則是由一個(gè)方程所確定,若由方程,可確定 y 是 x 的函數(shù),函數(shù)為隱函數(shù) （implicit function,則稱此,y 是 x 的隱函數(shù),2021/2/3,2021/2/3,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若由方程,可確定 y 是 x 的函數(shù),例如,解得,可確定 y 是 x 的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化,函數(shù)為隱函數(shù) （implicit function,則稱此,y 是 x 的隱函數(shù),把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯化,2021/2/3,一、

51、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若由方程,可確定 y 是 x 的函數(shù),問(wèn)題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo),隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo),函數(shù)為隱函數(shù) （implicit function,則稱此,隱函數(shù)求導(dǎo)方法,兩邊對(duì) x 求導(dǎo)( 注意 y = y(x),含導(dǎo)數(shù) 的方程,2021/2/3,例1,解一,顯函數(shù),求由方程,的導(dǎo)數(shù),確定的函數(shù),2021/2/3,求由方程,的導(dǎo)數(shù),確定的函數(shù),例1,解二,對(duì)上述恒等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo),2021/2/3,例2. 求由方程,在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù),解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo),得,因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故,確定的隱函數(shù),在隱函數(shù)求導(dǎo)

52、時(shí)，最后結(jié)果中容許出現(xiàn)y,2021/2/3,例3. 求橢圓,在點(diǎn),處的切線方程,解: 橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo),故切線方程為,即,2021/2/3,練習(xí),2021/2/3,例4. 求,的導(dǎo)數(shù),解: 兩邊取對(duì)數(shù) , 化為隱式,兩邊對(duì) x 求導(dǎo),2021/2/3,1) 對(duì)冪指函數(shù),可用對(duì)數(shù),五、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,注意,求導(dǎo)法求導(dǎo),2021/2/3,例5. 求,的導(dǎo)數(shù),解: 兩邊取對(duì)數(shù) , 化為隱式,兩邊對(duì) x 求導(dǎo),2021/2/3,例如,兩邊取對(duì)數(shù),兩邊對(duì) x 求導(dǎo),2.由若干個(gè)函數(shù)的積、商及方根組成的函數(shù)，也可以用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo),2021/2/3,又如,對(duì) x 求導(dǎo),兩邊取對(duì)數(shù),2021/2/3

53、,六、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若參數(shù)方程,可確定一個(gè) y 與 x 之間的函數(shù),可導(dǎo), 且,則,時(shí), 有,時(shí), 有,此時(shí)看成 x 是 y 的函數(shù),關(guān)系,2021/2/3,2021/2/3,作業(yè),P58 13,14,22 (1),(2,2021/2/3,內(nèi)容小結(jié),1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則,直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo),2. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,適用于冪指函數(shù)及某些用連乘, 連除表示的函數(shù),3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法,2021/2/3,4. 設(shè),由方程,確定,解,方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo),得,再求導(dǎo), 得,當(dāng),時(shí),故由 得,再代入 得,求,2021/2/3,解,5,2021/2/3,備用題,2021/2/3,1. 設(shè)由方程,確

54、定函數(shù),求,解: 方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo) , 得,故,2021/2/3,解,所求切線方程為,2021/2/3,解,2021/2/3,2021/2/3,第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性 與極值,一、單調(diào)性的判別法 二、函數(shù)的極值及其求法 三、函數(shù)的最值,2021/2/3,一、單調(diào)性的的充分條件,定理,2021/2/3,問(wèn)題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào),導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),方法,二、單調(diào)區(qū)間求法,2021/2/3,確定某個(gè)函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是,1）確定函數(shù)的定義域,這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域分為若干個(gè)區(qū)間,3）確定,在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而判斷,

55、2021/2/3,例2,解,2021/2/3,2021/2/3,注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性,例如,2021/2/3,1、函數(shù)極值的定義,三、函數(shù)的極值及其求法,2021/2/3,定義,在其中當(dāng),時(shí),1,則稱 為 的極大值點(diǎn),稱 為函數(shù)的極大值,2,則稱 為 的極小值點(diǎn),稱 為函數(shù)的極小值,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),三、函數(shù)的極值及其求法,1、函數(shù)極值的定義,2021/2/3,注意,為極大值點(diǎn),為極小值點(diǎn),不是極值點(diǎn),2) 對(duì)常見(jiàn)函數(shù), 極值可能出現(xiàn),1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).極大值 不一定大于極小值，反之也是,在導(dǎo)數(shù)為 0（駐點(diǎn)）

56、 或?qū)?shù)不存在的點(diǎn),2021/2/3,定理 1 (極值第一判別法,且在空心鄰域,內(nèi)有導(dǎo)數(shù),2021/2/3,求極值的步驟,不是極值點(diǎn)情形,2021/2/3,定理4(第二充分條件,證,同理可證(2,2021/2/3,例2,解,圖形如下,2021/2/3,注意,2021/2/3,定理1(必要條件,定義,注意,例如,2021/2/3,極值是一個(gè)局部概念， 它一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，不可能在端點(diǎn)的位置,函數(shù)的極值不是唯一的,極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系 即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值 與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最??； 并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小,20

57、21/2/3,四、函數(shù)的最值,最值出現(xiàn)在：極值點(diǎn)，端點(diǎn),2021/2/3,步驟,1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)最大，就是最大值； 那個(gè)最小就是最小值,極值點(diǎn)出現(xiàn)的地方,2021/2/3,特別,當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),當(dāng) 在 上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到,若在此點(diǎn)取極大 值 , 則也是最大 值,小,對(duì)應(yīng)用問(wèn)題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn),是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn),小,2021/2/3,2021/2/3,2021/2/3,一,極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值,駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn),函數(shù)的極值

58、必在臨界點(diǎn)取得,判別法,第一充分條件,第二充分條件,注意使用條件,四、小結(jié),2021/2/3,三,注意最值與極值的區(qū)別,最值是整體概念而極值是局部概念,實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟,2021/2/3,二、微分運(yùn)算法則,三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用,第三節(jié),一、微分的概念及幾何意義,函數(shù)的微分,第二章,2021/2/3,導(dǎo)數(shù)與微分,一、導(dǎo)數(shù)的概念 1.自變量的增量： 2.函數(shù)的增量： 3.導(dǎo)數(shù)的定義,描述函數(shù)變化快慢,描述函數(shù)變化程度,2021/2/3,一、微分的概念,引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少,設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 x , 面積為 A , 則,面積的增量為,關(guān)于x 的線性主部