高等數學曲面及其方程PPT課件

1、1,復習,3.兩向量的數量積,4.兩向量的夾角,2,5.兩向量的向量積,6.兩向量互相平行垂直的條件,7. 向量的混合積,3,衛(wèi)星接收裝置 (旋轉拋物面,化工廠或熱電廠的冷卻塔 (旋轉雙曲面,4,第三節(jié) 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋轉曲面,三、柱面,四、二次曲面,5,一、曲面方程的概念,平面解析幾何中,如果某曲線c上的點與一個二元方程f(x,y)=0的解建立了如下的關系：(1) 曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2) 以這個方程的解為坐標的點都在曲線上， 那么，這個方程叫做曲線的方程， 這條曲線叫做方程的曲線,6,任何曲面都可以看作是點的幾何軌跡,曲面 S 與三元方程,則方程(1

2、)就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程(1)的圖形,有下述關系,曲面S上任一點的坐標都滿足方程(1,不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程(1,空間解析幾何中,7,解,2,若球心在原點，則,球面的方程為,半徑為 R 的球面方程,3,例1 求到點M0 (x0, y0, z0) 的距離等于R的點的軌跡方程,設軌跡上的動點為M(x,y,z,即,則,以下給出幾例常見的曲面,8,解,例2 求到A (1,2,3),B(2,-1,4)兩點距離相等的點的軌跡方程,設軌跡上的動點為M(x,y,z,即,整理得,即為所求點的軌跡方程,線段 的垂直平分面,有,9,配方得,半徑為 的球面,解,原方程表示球心在點,一般地

3、，三元二次方程,1) x2, y2, z2項系數相同,2) 缺 xy , yz , zx 項,其圖形可能是一個球面，或點，或虛軌跡,特點,10,以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題,2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀,討論旋轉曲面,討論柱面、二次曲面,1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程,11,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線分別稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸,12,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸,13,二、旋轉曲面,定義

4、：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸,14,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸,15,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸,16,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸,17,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉

5、一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸,18,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸,19,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸,20,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸,21,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定

6、直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸,22,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸,23,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸,24,1、yOz面上曲線C 繞 z 軸旋轉所成曲面的方程,就是所求旋轉曲面的方程,5,點M1(0,y1,z1)在曲線C,則,25,當曲線 C 繞 y 軸旋轉時，方程如何,思考,26,2、注意：繞哪個軸旋轉，哪個變量不變,1. yoz平面上的母線 繞oz軸旋轉得旋轉曲面,2. yoz平

7、面上的母線 繞oy軸旋轉得旋轉曲面,3. xoy平面上的母線 繞ox軸旋轉得旋轉曲面,27,解,這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面,一周,求所形成的旋轉曲面的方程,將zOx平面上的雙曲線,例4,繞 x 軸旋轉得,繞 z 軸旋轉得,分別繞 x 軸和 z 軸旋轉,28,旋轉面-圓錐面,29,兩邊平方,例5 建立頂點在原點, 旋轉軸為z 軸, 半頂角為,的圓錐面方程,解,在yOz面上的直線 L的方程為,L繞z 軸旋轉時,圓錐面的方程為,的大小與圓錐面的張口大小有何關系,思考,30,旋轉橢球面,旋轉拋物面,31,特點,曲面方程 中若除一個變量外，另外兩個變量能寫成平方和的形式，則該曲面是旋轉曲面,例,32,例

8、6 試判斷方程,表示何種曲面?并作圖,yOz 面上的拋物線,繞 z 軸旋轉所得旋轉曲面,或 zOx 面上的拋物線,繞 z 軸旋轉所得旋轉曲面,解,33,播放,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線,34,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線,觀察柱面的形成過程,35,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線,觀察柱面的形成過程,36,定義,三、柱面,

9、沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線,觀察柱面的形成過程,37,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線,觀察柱面的形成過程,38,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線,觀察柱面的形成過程,39,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線,觀察柱面的形成過程,40,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形

10、成的曲面稱為柱面,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線,觀察柱面的形成過程,41,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線,觀察柱面的形成過程,42,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線,觀察柱面的形成過程,43,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線,觀察柱面的形成過程,44,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線C

11、叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線,觀察柱面的形成過程,45,柱面舉例,拋物柱面,平面,46,母線平行于 z 軸的柱面方程為,一般地，已知準線方程,注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母線平行于z軸的柱面,一般地，在空間直角坐標下,缺z,表示母線？，準線為？的柱面,缺y,表示母線？，準線為？的柱面,缺x,表示母線？，準線為？的柱面,二元方程的幾何圖形為柱面,47,問,1） 表示什么曲面,2） 表示什么曲面,回顧,1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空間的一張曲面S,2. 表示一張球面,3. 表示空間的一張平面,4. yoz平面上的母線 繞oz軸旋轉得旋轉曲面,48,四、二次

12、曲面,三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面,目的：利用截痕法討論二次曲面的形狀,即：用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌,5. xoy平面上的準線方程 母線平行于 z 軸的,柱面方程為,其基本類型有,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,49,一）橢球面,橢球面與三個坐標面的交線,橢球面與平面 的交線為橢圓,同理與平面x=x1和y=y1 的交線也是橢圓,50,截痕法,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,a,b,c,橢球面,51,橢球面的幾種特殊情況,旋轉橢球面,由橢圓 或 繞z軸旋轉而成,球面,方程可寫為,52,截痕法,用z = a截曲面,用y = b截曲面,用x = c截曲面,1. 橢圓拋物面,二）拋物面,53,得點（0，0，0,實際上,54,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,截痕法,馬鞍面,2. 雙曲拋物面,55,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,截痕法,馬鞍面,2. 雙曲拋物面,56,單葉雙曲面,雙葉雙