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文檔簡(jiǎn)介

1、要點(diǎn)梳理 1.等差數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列 ,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列, 這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ,通常用字母 表示. 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,那么它的通項(xiàng)公式是,6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和,從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它相鄰前面一項(xiàng),的差是同一個(gè)常數(shù),公差,d,an=a1+(n-1)d,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),3.等差中項(xiàng) 如果 ,那么A叫做a與b的等差中項(xiàng). 4.等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+ ,(n, mN*). (2)若an為等差數(shù)列,且k+l=m+n,(k,l,m, nN*),則 . (3)若an是等差數(shù)列,公差為d,則a2n也是

2、等 差數(shù)列,公差為 . (4)若an,bn是等差數(shù)列,則pan+qbn是,2d,ak+al=am+an,n-m)d,等差,數(shù)列,5)若an是等差數(shù)列,則ak,ak+m, ak+2m,(k,mN*)是公差為 的等差數(shù)列. 5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,其前n項(xiàng)和Sn= 或Sn= . 6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn= . 數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和公式Sn=f(n)是n的 ,即Sn=,md,An2+Bn,(A2+B20,二次函數(shù)或一次函數(shù)且不含常數(shù),項(xiàng),7.在等差數(shù)列an中,a10,d0,則Sn存在最 值;若a10,d0,則Sn存在最 值. 8.

3、等差數(shù)列與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì) (1)若an是等差數(shù)列,則 也成 數(shù)列, 其首項(xiàng)與an首項(xiàng)相同,公差是an公差的 . (2)Sm,S2m,S3m分別為an的前m項(xiàng),前2m項(xiàng), 前3m項(xiàng)的和,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成 數(shù)列,小,等差,等差,大,3)關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì) 若項(xiàng)數(shù)為2n,則S偶-S奇= , = . 若項(xiàng)數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇= an,S奇- S偶= , (4)兩個(gè)等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和Sn、Tn之間 的關(guān)系為: =,nd,n,an,基礎(chǔ)自測(cè) 1.(2009遼寧)an為等差數(shù)列,且a7-2a4=-1,a3=0, 則公差d= ()

4、A.-2 B. C. D.2 解析 根據(jù)題意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1, a1=1.又a3=a1+2d=0,d,B,2.已知數(shù)列an中,a1=1, 則a10等于( ) A. B. C. D.以上都不對(duì) 解析 由a1=1, 得 為等差數(shù)列.,B,3.(2009福建)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且 S3=6,a3=4,則公差d等于 () A.1B. C.2D.3 解析 設(shè)an首項(xiàng)為a1,公差為d, 則S3=3a1+ d=3a1+3d=6, a3=a1+2d=4,a1=0,d=2,C,4.已知等差數(shù)列an的前13項(xiàng)之和為39,則a6+a7+a8 等于() A.6B.9C.1

5、2D.18 解析 由S13= =13a7=39得a7=3, a6+a7+a8=3a7=9,B,5.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若 則 等于() A.1B.-1C.2D. 解析 由等差數(shù)列的性質(zhì),A,題型一 等差數(shù)列的判定 【例1】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=pn2+qn (p、qR,且p、q為常數(shù)). (1)當(dāng)p和q滿足什么條件時(shí),數(shù)列an是等差數(shù)列; (2)求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)p和q,數(shù)列an+1-an是等差數(shù) 列. (1)由定義知,an為等差數(shù)列,an+1-an 必為一個(gè)常數(shù). (2)只需推證(an+2-an+1)-(an+1-an)為一個(gè)常數(shù),思維啟迪,題型分類 深度剖析,1)解 an+

6、1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn) =2pn+p+q, 要使an是等差數(shù)列,則2pn+p+q應(yīng)是一個(gè)與n無關(guān)的 常數(shù),所以只有2p=0,即p=0, . 故當(dāng)p=0 , 時(shí),數(shù)列an是等差數(shù)列. (2)證明 an+1-an=2pn+p+q, an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, (an+2-an+1)-(an+1-an)=2p為一個(gè)常數(shù). an+1-an是等差數(shù)列,探究提高 證明或判斷一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列,通常有兩種方法:(1)定義法:an+1-an=d;(2)等差中項(xiàng)法:2an+1=an+an+2.就本例而言,第(2)問中,需證明(an+2-an+1)-(an+1-

7、an)是常數(shù),而不是證an+1-an為常數(shù),知能遷移1 設(shè)兩個(gè)數(shù)列an,bn滿足bn= 若bn為等差數(shù)列,求證: an也為等差數(shù)列,證明 由題意有a1+2a2+3a3+nan= 從而有a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 = bn-1,(n2,由-,得nan= 整理得an= 其中d為bn的公差(n2). 從而an+1-an= (n2). 又a1=b1,a2= d+b1,a2-a1= d, 所以an是等差數(shù)列,題型二 等差數(shù)列的基本運(yùn)算 【例2】在等差數(shù)列an中, (1)已知a15=33,a45=153,求a61; (2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8; (3)已知前3項(xiàng)和為12,前

8、3項(xiàng)積為48,且d0, 求a1. 在等差數(shù)列中,五個(gè)重要的量,只要已知三個(gè)量,就可求出其他兩個(gè)量,其中a1和d是兩個(gè)最基本量,利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,先求出a1和d,思維啟迪,解 (1)方法一 設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d,依條件得 33=a1+14d a1=-23, 153=a1+44d d=4. a61=-23+(61-1)4=217. 方法二 由 由an=am+(n-m)d, 得a61=a45+16d=153+164=217,解方程組得,2)a6=10,S5=5, 解方程組得a1=-5,d=3, a8=a6+2d=10+23=16,a1+5d=10 5a1+10d=5,S8=8 =44.

9、(3)設(shè)數(shù)列的前三項(xiàng)分別為a-d,a,a+d,依題意有 (a-d)+a+(a+d)=12 (a-d)a(a+d)=48, a=4 a=4 a(a2-d2)=48 d=2. d0,d=2,a-d=2. 首項(xiàng)為2.a1=2,方程思想是解決數(shù)列問題的基本思想,通過公差列方程(組)來求解基本量是數(shù)列中最基本的方法,同時(shí)在解題中也要注意數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,探究提高,知能遷移2 設(shè)an是一個(gè)公差為d (d0)的等差數(shù)列,它的前10項(xiàng)和S10=110且a1,a2,a4成等比數(shù)列. (1)證明a1=d; (2)求公差d的值和數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (1)證明 因?yàn)閍1,a2,a4成等比數(shù)列,故 =a1a4. 而an

10、是等差數(shù)列,有a2=a1+d,a4=a1+3d. 于是(a1+d)2=a1(a1+3d), 即 +2a1d+d2= +3a1d.化簡(jiǎn)得a1=d. (2)解 因?yàn)镾10=110,S10=10a1+ d, 所以10a1+45d=110. 由(1)a1=d,代入上式得55d=110, 故d=2,an=a1+(n-1)d=2n. 因此,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n,n=1,2,3,題型三 等差數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用 【例3】 (12分)在等差數(shù)列an中,已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時(shí),Sn取得最大值,并求出它的最大值. (1)由a1=20及S10=S15可求得d,進(jìn)而

11、求得通項(xiàng),由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為正,或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),利用二次函數(shù)求最值的方法求解.(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì),判斷出數(shù)列從第幾項(xiàng)開始變號(hào),思維啟迪,解 方法一 a1=20,S10=S15, 1020+ d=1520+ d, d= 4分 an=20+(n-1) 8分 a13=0. 即當(dāng)n12時(shí),an0,n14時(shí),an0. 10分 當(dāng)n=12或13時(shí),Sn取得最大值,且最大值為 S12=S13=1220+ =130. 12分,方法二 同方法一求得d= 4分 Sn=20n+ = = 8分 nN+,當(dāng)n=12或13時(shí),Sn有最大值, 且最大值為S12=S13=130. 12分 方法三

12、同方法一得d= 4分 又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. 8分 5a13=0,即a13=0. 10分 當(dāng)n=12或13時(shí),Sn有最大值, 且最大值為S12=S13=130. 12分,探究提高 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值,常用的方法: (1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng); (2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng),便可求得和的最值; (3)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù)) 為二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值,知能遷移3 在等差數(shù)列an中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n項(xiàng)和為Sn. (1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值時(shí)n的

13、值; (2)求Tn=|a1|+|a2|+|an|. 解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d, a16+a17+a18=3a17=-36,a17=-12, d= =3, an=a9+(n-9)d=3n-63,an+1=3n-60, an=3n-630 an+1=3n-600 S20=S21= 當(dāng)n=20或21時(shí),Sn最小且最小值為-630,令,得20n21,2)由(1)知前20項(xiàng)小于零,第21項(xiàng)等于0,以后 各項(xiàng)均為正數(shù). 當(dāng)n21時(shí),Tn=-Sn= 當(dāng)n21時(shí),Tn=Sn-2S21,綜上,Tn,n21,nN*) (n21,nN*,方法與技巧 1.等差數(shù)列的判斷方法有 (1)定義法:an

14、+1-an=d (d是常數(shù))an是等差數(shù)列. (2)中項(xiàng)公式:2an+1=an+an+2 (nN*)an是等差數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))an是等差數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式:Sn=An2+Bn (A、B為常數(shù))an是等差數(shù)列,思想方法 感悟提高,2.方程思想和基本量思想:在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時(shí)可以考慮化歸為a1和d等基本量,通過建立方程(組)獲得解. 3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式本身可以由累加法得到. 4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn= 很像梯形面積公式,其推導(dǎo)方法也與梯形面積公式的推導(dǎo)方法完全一樣. 5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=na1+ d可以變形為 類似于勻加速直

15、線運(yùn)動(dòng)的路程公式,只要把d理解為加速度,失誤與防范 1.如果p+q=r+s,則ap+aq=ar+as,一般地,ap+aqap+q,必須是兩項(xiàng)相加,當(dāng)然可以是ap-t+ap+t=2ap. 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式通常是n的一次函數(shù),除非公差d=0. 3.公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的二次函數(shù),且常數(shù)項(xiàng)為0.若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù),則該數(shù)列不是等差數(shù)列,它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列. 4.公差d= 類似于由兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率的計(jì)算. 5.當(dāng)d不為零時(shí),等差數(shù)列必為單調(diào)數(shù)列. 6.從一個(gè)等差數(shù)列中,每隔一定項(xiàng)抽出一項(xiàng),組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列,一、選擇題 1.(2008廣

16、東)記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若 a1= ,S4=20,則S6等于 () A.16B.24C.36D.48 解析 S4=2+6d=20,d=3,故S6=3+15d=48,D,定時(shí)檢測(cè),2.(2009安徽)已知an為等差數(shù)列,a1+a3+ a5=105,a2+a4+a6=99,則a20等于 () A.-1B.1C.3D.7 解析 由已知得a1+a3+a5=3a3=105, a2+a4+a6=3a4=99,a3=35,a4=33,d=-2. a20=a3+17d=35+(-2)17=1,B,3.(2009湖南)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和, 已知a2=3,a6=11,則S7等于 ( ) A

17、.13B.35C.49D.63 解析 a1+a7=a2+a6=3+11=14. S7,C,4.(2009寧夏、海南)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 Sn,且4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,若a1=1,則S4= () A.7B.8C.15D.16 解析 設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則由4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,得4a2=4a1+a3.4a1q=4a1+a1q2.q2-4q+4=0. q=2,S4,C,5.已知等差數(shù)列an的公差為d (d0),且a3+a6 +a10+a13=32,若am=8,則m為() A.12B.8 C.6 D.4 解析 由等差數(shù)列性質(zhì)a3+a6+a10+a13 =(a3+a13)+

18、(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32, a8=8.m=8,B,6.各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列an中,若 -an-1-an+1=0 (nN*,n2),則S2 009等于() A.0 B.2 C.2 009 D.4 018 解析 =an-1+an+1=2an,an0,an=2. Sn=2n,S2 009=22 009=4 018,D,二、填空題 7.(2009遼寧)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且 6S5-5S3=5,則a4= . 解析 由題意知6 +45d=15(a1+3d)=15a4=5,故a4=,8.(2009全國)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, 若a5=5a3,則 = . 解析 設(shè)等差數(shù)列的公差為d,首項(xiàng)為a1, 則由a5=5a3知a1,9,9.已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a2a4= 76,則S7S3等于 . 解析,21,三、解答題 10.在數(shù)列an中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0 (n2). (1)求證:數(shù)列 是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列an的通項(xiàng). (1)證明 因?yàn)?anan-1+an-an-1=0 (n2), 整理得 =3 (n2). 所以數(shù)列 是以1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列. (2)解 由(1)可得 =1+3(n-1)=3n-2, 所以an,11.已知數(shù)列an中,a1= ,an=2- (

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