中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第6章 圓第2節(jié)

1、第六章 圓第二節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系考 點 幫易錯自糾易錯點1不能根據(jù)“遇切線,連半徑,見垂直”快速作出輔助線1.2019江蘇無錫如圖,PA是O的切線,切點為A,PO的延長線交O于點B,若P=40,則B的度數(shù)為( B )A.20B.25C.40D.50易錯點2混淆相交、相切、相離的概念2.在RtABC中,C=90,AC=6 cm,BC=8 cm,以點C為圓心、5 cm長為半徑作圓,則此圓和斜邊AB的位置關(guān)系是( A )A.相交B.相切C.相離D.相交或相切易錯點3不能熟練掌握等邊三角形外接圓與內(nèi)切圓的性質(zhì)3.如圖,設(shè)邊長為a的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分別為h,r,R,則下列結(jié)論

2、不正確的是( C )A.h=R+r B.R=2r C.r=34a D.R=33a方 法 幫提分特訓(xùn)1.2020山東棗莊如圖,AB是O的直徑,PA切O于點A,線段PO交O于點C.連接BC,若P=36,則B=27.(第1題)(第2題)2.2020合肥包河區(qū)一模如圖,在等邊三角形ABC中,CD為AB邊上的高,O與邊AC,BC相切.若AB=43,OD=1,則O的半徑是52.3.2020青海如圖,在ABC中,C=90,AC=3,BC=4,則ABC的內(nèi)切圓半徑r=1.4.2020安慶模擬如圖,O為ABC的外接圓,直線MN與O相切于點C,弦BDMN,AC與BD相交于點E.(1)求證:CAB=CBD;(2)若

3、BC=5,BD=8,求O的半徑.(1)證明:如圖,連接OC,交BD于點F.直線MN與O相切于點C,OCMN.又BDMN,OCBD,BC=CD,CAB=CBD.(2)解:如圖,連接OB.由(1)知OCBD,BF=DF=12BD=4.在RtBCF中,BC=5,BF=4,CF=BC2-BF2=3.設(shè)O的半徑為r,則OF=r-3.在RtBOF中,根據(jù)勾股定理,得OF2+BF2=OB2,即 (r-3)2+42=r2,解得r=256,故O的半徑為256.真 題 幫考法與圓有關(guān)的位置關(guān)系(10年4考)1.2018安徽,12如圖,菱形ABOC的邊AB,AC分別與O相切于點D,E.若點D是AB的中點,則DOE=

4、60.2.2020安徽,20如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是半圓O上不同于A,B的兩點,AD=BC,AC與BD相交于點F.BE是半圓O所在圓的切線,與AC的延長線相交于點E.(1)求證:CBADAB;(2)若BE=BF,求證:AC平分DAB.(1)證明:因為AB為半圓O的直徑,所以ACB=BDA=90.在RtCBA與RtDAB中,因為BC=AD,BA=AB,所以RtCBARtDAB.(2)證明:方法一:因為BE=BF,BCEF,所以BC平分EBF.因為AB為半圓O的直徑,BE為切線,所以BEAB.于是,DAC=DBC=CBE=90-E=CAB,故AC平分DAB.方法二:因為BE=BF,所以E

5、=BFE.因為AB為半圓O的直徑,BE為切線,所以BEAB.于是,CAB=90-E=90-BFE=90-AFD=CAD,故AC平分DAB.作 業(yè) 幫基礎(chǔ)分點練(建議用時:60分鐘) 考點1點與圓、直線與圓的位置關(guān)系1.2019蕪湖模擬在公園的O處附近有E,F,G,H四棵樹,位置如圖所示(圖中小正方形的邊長均相等).現(xiàn)計劃修建一座以O(shè)為圓心、OA的長為半徑的圓形水池,要求池中不留樹木,則E,F,G,H四棵樹中需要被移除的為( A )A.E,F,G B.F,G,HC.G,H,E D.H,E,F 2.2020廣東廣州如圖,在RtABC中,C=90,AB=5,cos A=45,以點B為圓心,r為半徑作

6、B,當r=3時,B與AC的位置關(guān)系是( B )A.相離B.相切C.相交D.無法確定 考點2切線的性質(zhì)與判定3.2020廣西桂林如圖,AB是O的弦,AC與O相切于點A,連接OA,OB,若O=130,則BAC的度數(shù)是( B )A.60B.65C.70 D.75 (第3題)(第4題)4.2020黑龍江哈爾濱如圖,AB為O的切線,點A為切點,OB交O于點C,點D在O上,連接AD,CD,OA,若ADC=35,則ABO的度數(shù)為( B )A.25 B.20 C.30 D.355.2019合肥廬陽區(qū)模擬如圖,PA是O的切線,點A為切點,PO與O相交于點B.若點B為OP的中點,過點A作ACOB,則PAC+POC

7、=( B )A.250 B.270 C.275 D.300(第5題)(第6題)6.2020浙江溫州如圖,菱形OABC的頂點A,B,C在O上,過點B作O的切線交OA的延長線于點D.若O的半徑為1,則BD的長為( D )A.1B.2 C.2D.37.2020江蘇南京如圖,在平面直角坐標系中,點P在第一象限,P與x軸、y軸都相切,且經(jīng)過矩形AOBC的頂點C,與BC相交于點D.若P的半徑為5,點A的坐標是(0,8),則點D的坐標是( A )A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)(第7題)(第8題)8.2020山東泰安如圖,PA是O的切線,點A為切點,OP交O于點B,P=10,點C

8、在O上,OCAB,則BAC等于( B )A.20B.25C.30D.509.2020湖南湘西州如圖,PA,PB為O的切線,切點分別為點A,B,PO交AB于點C,PO的延長線交O于點D.下列結(jié)論不一定成立的是( B )A.BPA為等腰三角形 B.AB與PD互相垂直平分 C.點A,B都在以PO為直徑的圓上 D.PC為BPA的邊AB上的中線(第9題)(第10題)10.2020浙江杭州如圖,已知AB是O的直徑,BC與O相切于點B,連接AC,OC.若sinBAC=13,則tanBOC=22.11.2020江蘇泰州如圖,直線ab,垂足為點H,點P在直線b上,PH=4 cm,O為直線b上一動點,若以1 cm

9、為半徑的O與直線a相切,則OP的長為3 cm或5 cm.(第11題)(第12題)12.2020浙江寧波如圖,O的半徑OA=2,B是O上的動點(不與點A重合),過點B作O的切線BC,BC=OA,連接OC,AC.當OAC是直角三角形時,其斜邊長為22或23.13.2020合肥45中一模如圖,D為O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且CDA=CBD.(1)求證:CD是O的切線;(2)若CBD=30,BC=3,求O的半徑.(1)證明:如圖,連接OD.AB是O的直徑,ADB=90,DAO+CBD=90.OA=OD,DAO=ODA.又CDA=CBD,CDO=CDA+ADO=CBD+DAO=90,即ODCD

10、,CD是O的切線.(2)解:由(1)可知COD是直角三角形.CBD=30,COD=2CBD=60,OC=2OD=2OA,AC=OA=OB=13BC=133=1,O的半徑為1.14.2020湖北武漢如圖,在RtABC中,ABC=90,以AB為直徑的O交AC于點D,AE與過點D的切線互相垂直,垂足為點E.(1)求證:AD平分BAE;(2)若CD=DE,求sinBAC的值.(1)證明:如圖,連接OD,OA=OD,OAD=ODA.DE是O的切線,ODDE.又AEDE,AED+EDO=180,AEOD,EAD=ODA,EAD=OAD,AD平分BAE.(2)解:如圖,連接BD.設(shè)CD=a,BC=b.AB為

11、O的直徑,AEDE,BDC=E=90.DCB+CBD=90,CAB+DCB=90,CBD=CAB.由(1)知EAD=CAB,CBD=EAD.又CD=DE,CDBDEA,AD=BC=b,AC=a+b.CDB=CBA=90,DCB=BCA,CDBCBA,CBCA=CDCB,CB2=CDCA,即b2=a(a+b),a2+ab-b2=0,(ab)2+ab-1=0.令ab=m,則m2+m-1=0,解得m=-1+52或m=-1-52(不合題意,舍去),ab=-1+52,sinBAC=sinCBD=ab=5-12.15.2020湖北荊門如圖,AC為O的直徑,AP為O的切線,M是AP上一點,過點M的直線與O交

12、于點B,D,與AC交于點E,連接AB,AD,AB=BE.(1)求證:AB=BM;(2)若AB=3,AD=245,求O的半徑.(1)證明:如圖(1).AP為O的切線,AC為O的直徑,APAC,3+4=90,1+2=90.AB=BE,2=3,1=4,AB=BM.圖(1)(2)方法一:如圖(1),連接BC.AC為直徑,ABC=90,C+3=90.又3+4=90,C=4.又1=4,C=D,1=C=D,AM=AD=245.AB=3, AB=BM=BE,EM=6,AE=EM2-AM2=62-(245)2=185.1=C,EAM=ABC=90,MAECBA,MECA=AEAB,6CA=1853,CA=5,O

13、的半徑為2.5.方法二:如圖(2),連接CD.圖(2)AB=BE,2=3.又2=DEC,3=EDC,DEC=EDC,DC=EC.AC為直徑,ADC=90,ADE+EDC=90,又3+4=90,EDC=3,ADE=4.又1=4,1=ADE,AM=AD=245.AB=3,AB=BM=BE,EM=6,AE=EM2-AM2=62-(245)2=185.設(shè)EC=x,則AC=AE+EC=185+x,DC=x.在RtADC中,AD2+DC2=AC2,(245)2+x2=(185+x)2,解得x=75,AC=185+75=5,O的半徑為2.5. 考點3三角形的外接圓與內(nèi)切圓16.2020浙江金華如圖,O是等邊

14、三角形ABC的內(nèi)切圓,分別切AB,BC,AC于點E,F,D,P是DF上一點,則EPF的度數(shù)是( B )A.65B.60C.58 D.50(第16題)(第17題)17.2019湖北荊門如圖,ABC的內(nèi)心為I,連接AI并延長交ABC的外接圓于點D,連接BD,則線段DI與DB的關(guān)系是( A )A.DI=DBB.DIDBC.DIDBD.不確定 考點4正多邊形與圓的關(guān)系18.2020四川德陽半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為a,b,c,則a,b,c的大小關(guān)系是( A )A.abcB.bacC.acb D.cba 19.2020四川涼山州如圖,等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于

15、O,則ADAB=( B )A.223B.23C.32 D.32320.2020黑龍江綏化如圖,正五邊形ABCDE內(nèi)接于O,點P為DE上一點(點P與點D,E不重合),連接PC,PD,DGPC,垂足為點G,PDG等于54度.全國視野創(chuàng)新練1.新角度2020山東濱州如圖,O是正方形ABCD的內(nèi)切圓,切點分別為E,F,G,H,ED與O相交于點M,則sinMFG的值為55.2.新設(shè)問2020上海在矩形ABCD中, AB=6, BC=8,點O在對角線AC上,O的半徑為2,如果O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點,那么線段AO長的取值范圍是103AO245,C與AB相交.故選A.3.C如圖所示,標記各點,AO

16、為R,OB為r,AB為h,等邊三角形的外心和內(nèi)心為同一點,故點A,O,B共線,AB=AO+OB,即h=R+r,故選項A中的結(jié)論正確.三角形為等邊三角形,CAO=30,根據(jù)垂徑定理可知ACO=90,AO=2OC,即R=2r,故選項B中的結(jié)論正確.在RtACO中,利用勾股定理,可得AO2=AC2+OC2,即R2=(12a)2+r2,由B中關(guān)系可得:(2r)2=(12a)2+r2,解得r=36a,則R=33a,所以故選項C中的結(jié)論錯誤,選項D中的結(jié)論正確.故選C.提分特訓(xùn)1.27PA切O于點A,OAP=90.P=36,AOP=54.又OB=OC,B=OCB=12AOP=27.2.52如圖,設(shè)O與BC

17、相切于點M,連接OM,則OMBC.ABC是等邊三角形,CD是AB邊上的高,DCB=30.在RtBCD中,CD=BCsin B=4332=6,OC=CD-OD=5.在RtOMC中,OM=OCsinOCM=5sin 30=52.3.1在ABC中,C=90,AC=3,BC=4,根據(jù)勾股定理,得AB=5.如圖,設(shè)ABC的內(nèi)切圓與三條邊的切點分別為點D,E,F,連接OD,OE,OF,則ODAB,OEBC,OFAC,可得四邊形EOFC為矩形.根據(jù)切線長定理,得CE=CF,矩形EOFC是正方形,CE=CF=r,AD=AF=AC-FC=3-r,BD=BE=BC-CE=4-r.AD+BD=AB,3-r+4-r=

18、5,解得r=1.4.略1.60連接OA.AB,AC分別與O相切于點D,E,ODAB,OEAC.點D是AB的中點,OA=OB.四邊形ABOC是菱形,AB=BO,AB=BO=AO,ABO是等邊三角形,B=60,BAC=120,DOE=360-90-90-120=60.2.略基礎(chǔ)分點練1.A設(shè)題圖中小正方形的邊長為x,則OA=5x,OE=OF=2x,OG=x,OH=22x,易知OGOE=OFOA,所以點E,F,G在圓O內(nèi),點H在圓O外,因此E,F,G三棵樹需要被移除. 2.B在RtABC中,C=90,AB=5,cos A=45,AC=ABcos A=4,BC =AB2-AC2=3=r.以點B為圓心、

19、BC長為半徑作圓.ACBC,AC與B相切.3.BAC與O相切于點A,ACOA,OAC=90.OA=OB,O=130, OAB=OBA=180-1302 =25,BAC=OAC-OAB=90-25=65.故選B.4.BADC=35,O=2ADC=70.AB是O的切線,OAB=90, ABO=90-O=20.5.B如圖,連接OA,AB.PA是O的切線,點A為切點,OAPA,AOP是直角三角形.點B為OP的中點,AB=OB.又OA=OB,ABO是等邊三角形,AOB= 60.ACOB,OAC=AOB=60.又OA=OC,AOC是等邊三角形,AOC=60,PAC+POC=PAO+OAC+AOB+AOC=

20、90+60+ 60+60=270.6.D連接OB,則OA=OB.四邊形OABC是菱形,OA=AB,OA=OB=AB,OAB是等邊三角形,BOD=60.BD是O的切線,OBBD.在RtOBD中,BD=OBtan 60=3OB=3.故選D.7.A如圖,設(shè)P與y軸的切點為E,與x軸的切點為G,連接PE,PG,則PEy軸,PG x軸.易知四邊形OGPE是正方形,OE=OG=EP=5.延長EP交BC于點F,連接PC,PD,則PFBC,FD=CF.易知四邊形AEFC,PFBG是矩形,FD=CF=AE=OA-OE=8-5=3, BD=BC-CF-FD=2,GB=PF=52-32=4,OB=5+4=9,D(9

21、,2).8.B如圖,連接OA,PA是O的切線,OAAP,PAO=90,AOP=90 -P=80.OA=OB,OAB=OBA=12(180-80)=50.OCAB,BOC=OBA=50.由圓周角定理,得BAC=12BOC=25,故選B.9.BPA,PB為O的切線,PA=PB,BPA是等腰三角形,故A選項中的結(jié)論成立.由圓的對稱性可知,PD垂直平分AB,但AB不一定平分PD,故B選項中的結(jié)論不一定成立.如圖,連接OB,OA,PA,PB為O的切線,OBP=OAP=90,點A,B在以O(shè)P為直徑的圓上,故C選項中的結(jié)論成立.BPA是等腰三角形,PDAB,PC為BPA的邊AB上的中線,故D選項中的結(jié)論成立

22、.故選B.10.22BC與O相切于點B,則ABC=90.設(shè)BC=m,在RtABC中,由sinBAC=13,可知AC=3m,故AB=AC2-BC2=22m,則OB=12AB=2m.在RtBOC中,tanBOC =BCOB=m2m=22.11.3 cm或5 cm直線ab,O為直線b上一動點,O與直線a相切時,切點為H,OH=1 cm.分兩種情況討論.當點O在點H左側(cè),O與直線a相切時,如圖(1),OP=PH-OH=4-1=3(cm);當點O在點H右側(cè),O與直線a相切時,如圖(2),OP=PH+OH=4+1=5(cm).綜上可知,OP的長為3 cm或5 cm.圖(1)圖(2)12.22或23如圖,連接OB.BC是O的切線,OB是O的半徑,OBBC,即BOC是直角三角形.又BC=OA=OB=2,OC=22.當OAC=90時,AOC是直角三角形,斜邊OC=22;當AOC=90時,AOC是直角三角形,故斜邊AC= OA2+OC2=22+(22)2=23.綜上所述,當OAC是直角三角形時,其斜邊長為22或23.1315.略16.B如圖,連接OE,OF,則BEO=BFO=90.ABC是等邊三角形,B=60.在四邊形BEOF中,EOF=360-BEO-BFO-B=120,EPF=12EOF=60.17.A如圖,連接BI,I是ABC的內(nèi)心,BA