(完整版)三角函數(shù)公式大全 (2),推薦文檔

1、trigonometric1. 誘導(dǎo)公式sin(-a) = - sin(a)cos(-a) = cos(a) sin(/2 - a) = cos(a) cos(/2 - a) = sin(a) sin(/2 + a) = cos(a) cos(/2 + a) = - sin(a) sin( - a) = sin(a)cos( - a) = - cos(a)sin( + a) = - sin(a)cos( + a) = - cos(a)2. 兩角和與差的三角函數(shù)sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos()sin(b)cos(a + b) = cos(a)cos(b) - s

2、in(a)sin(b)sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)tan(a + b) = tan(a) + tan(b) / 1 - tan(a)tan(b)tan(a - b) = tan(a) - tan(b) / 1 + tan(a)tan(b)3. 和差化積公式sin(a) + sin(b) = 2sin(a + b)/2cos(a - b)/2sin(a) - sin(b) = 2sin(a - b)/2cos(a + b)/2cos(a) + cos(b) = 2c

3、os(a + b)/2cos(a - b)/2cos(a) - cos(b) = - 2sin(a + b)/2sin(a - b)/24. 積化和差公式sin(a)sin(b) = - 1/2cos(a + b) - cos(a - b)cos(a)cos(b) = 1/2cos(a + b) + cos(a -b)sin(a)cos(b) = 1/2sin(a + b) + sin(a - b)5. 二倍角公式sin(2a) = 2sin(a)cos(a)cos 2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1= 1 - 2sin2a6. 半角公式sin2a = （1 cos

4、 2a）/ 2cos2a = （1 + cos 2a）/ 2tan a = 1 cos 2a /sin 2a = sin 2a / 1 + cos 2a 7. 萬(wàn)能公式sin(a) = 2tan(a/2) / 1+tan2(a/2)cos(a) = 1-tan2(a/2) / 1+tan2(a/2)tan(a) = 2tan(a/2) / 1-tan2(a/2)三角函數(shù)公式求助編輯百科名片三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任何角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的。其定義城為整個(gè)實(shí)數(shù)城。另一種定義是在直角三角形中，但并不

5、完全?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮敖列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。目錄公式分類 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 平常針對(duì)不同條件的常用的兩個(gè)公式 一個(gè)特殊公式 坡度公式 銳角三角函數(shù)公式 二倍角公式三倍角公式 三倍角公式 半角公式 萬(wàn)能公式其他 四倍角公式 五倍角公式六倍角公式 七倍角公式八倍角公式 九倍角公式十倍角公式n 倍角公式 半角公式 兩角和公式三角和公式 和差化積積化和差 雙曲函數(shù) 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（六公式） 萬(wàn)能公式 其它公式內(nèi)容規(guī)律公式分類 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 平常針對(duì)不同條件的常用的兩個(gè)公式一個(gè)特殊公式 坡度公式銳角三角函數(shù)公式 二倍角公式三倍角公式 三倍角公式 半角

6、公式萬(wàn)能公式 其他四倍角公式 五倍角公式 六倍角公式 七倍角公式 八倍角公式 九倍角公式 十倍角公式 n 倍角公式 半角公式 兩角和公式 三角和公式 和差化積 積化和差雙曲函數(shù) 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（六公式） 萬(wàn)能公式 其它公式內(nèi)容規(guī)律展開編輯本段公式分類同角三角函數(shù)的基本關(guān)系倒數(shù)關(guān)系：tan cot=1 sin csc=1 cossec=1 商的關(guān)系：sin/cos=tan=sec/csc平方關(guān)系：平常針對(duì)不同條件的常用的兩個(gè)公式一個(gè)特殊公式（sina+sin）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-）證明：（sina+sin）*（sina-sin）=2 sin(+a)/2 cos

7、(a-)/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-)/2=sin（a+）*sin（a-） 坡度公式我們通常把坡面的鉛直高度 h 與水平高度 l 的比叫做坡度（也叫坡比），用字母 i 表示，即 i=h / l,坡度的一般形式寫成 l : m 形式，如 i=1:5.如果把坡面與水平面的夾角記作a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a.銳角三角函數(shù)公式正弦： sin= 的對(duì)邊/ 的斜邊余弦：cos= 的鄰邊/ 的斜邊正切：tan= 的對(duì)邊/ 的鄰邊余切：cot= 的鄰邊/ 的對(duì)邊二倍角公式正弦sin2a=2sinacosa 余弦正切tan2a=（2tana）/（1-tan2(a)） 三倍角公式

8、三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式推導(dǎo)sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sin3a cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosa-1)cosa-2(1-cosa)cosa=4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sina)=4sina(3/2)-

9、sina=4sina(sin60-sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosacosa-(3/2)2=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30

10、)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a) 現(xiàn)列出公式如下：sin2=2sincos tan2=2tan/(1-tan ） cos2=cos-sin=2cos-1=1-2sin可別輕視這些字符，它們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)起到重要作用，包括在一些圖像問題和函數(shù)問題中三倍角公式sin3=3sin-4sin=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4cos- 3cos=4coscos(/

11、3+)cos(/3-) tan3=tan()*(-3+tan()2)/(-1+3*tan()2)=tan a tan(/3+a) tan(/3-a)半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos)tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin萬(wàn)能公式sin=2tan(/2)/1+tan(/2) cos=1-tan(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan&s(/2)其他sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n

12、=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0四倍角公式sin4a=-4*(cosa*sina*(2*sina2-1) cos4a=1+(-8*cosa2+8*cosa4)tan4a=(4*tana-4*tana3)/(1-6*tana2+tana4)五倍角公式sin5a=16sina5-20sina3+5sinacos5a=16cosa5-20cosa3+5cosa tan5a=tana

13、*(5-10*tana2+tana4)/(1-10*tana2+5*tana4)六倍角公式sin6a=2*(cosa*sina*(2*sina+1)*(2*sina-1)*(-3+4*sina2) cos6a=(-1+2*cosa)*(16*cosa4-16*cosa2+1)tan6a=(-6*tana+20*tana3-6*tana5)/(-1+15*tana-15*tana4+tana6)七倍角公式sin7a=-(sina*(56*sina2-112*sina4-7+64*sina6) cos7a=(cosa*(56*cosa2-112*cosa4+64*cosa6-7) tan7a=ta

14、na*(-7+35*tana2-21*tana4+tana6)/(-1+21*tana2-35*tana4+7*tana6)八倍角公式sin8a=-8*(cosa*sina*(2*sina2-1)*(-8*sina2+8*sina4+1) cos8a=1+(160*cosa4-256*cosa6+128*cosa8-32*cosa2)tan8a=-8*tana*(- 1+7*tana2-7*tana4+tana6)/(1-28*tana2+70*tana4-28*tana6+tana8)九倍角公式sin9a=(sina*(-3+4*sina2)*(64*sina6-96*sina4+36*si

15、na2-3) cos9a=(cosa*(-3+4*cosa2)*(64*cosa6-96*cosa4+36*cosa2-3) tan9a=tana*(9-84*tana2+126*tana4-36*tana6+tana8)/(1- 36*tana2+126*tana4-84*tana6+9*tana8)十倍角公式sin10a=2*(cosa*sina*(4*sina2+2*sina-1)*(4*sina2-2*sina-1)*(- 20*sina2+5+16*sina4)cos10a=(-1+2*cosa2)*(256*cosa8-512*cosa6+304*cosa4- 48*cosa2+1

16、)tan10a=-2*tana*(5-60*tana2+126*tana4-60*tana6+5*tana8)/(- 1+45*tana2-210*tana4+210*tana6-45*tana8+tana10)n 倍角公式根據(jù)棣美弗定理，(cos+ i sin)n = cos(n)+ i sin(n)為方便描述，令 sin=s，cos=c考慮 n 為正整數(shù)的情形：cos(n)+ i sin(n) = (c+ i s)n = c(n,0)*cn + c(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + c(n,4)*c(n- 4)*(i s)4 + . +c(n,1)*c(n-1)*(i s)1 +

17、c(n,3)*c(n-3)*(i s)3 +c(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + =比較兩邊的實(shí)部與虛部實(shí)部：cos(n)=c(n,0)*cn + c(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + c(n,4)*c(n-4)*(i s)4 +. i*(虛部)：i*sin(n)=c(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + c(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + c(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . 對(duì)所有的自然數(shù) n：1. cos(n)：公式中出現(xiàn)的 s 都是偶次方，而 s2=1-c2(平方關(guān)系)，因此全部都可以改成以 c(也就是 cos)表示。2. sin(n)：(1)

18、 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)：公式中出現(xiàn)的 c 都是偶次方，而 c2=1-s2(平方關(guān)系)， 因此全部都可以改成以 s(也 就是 sin)表示。(2) 當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)：公式中出現(xiàn)的 c 都是奇次方，而 c2=1-s2(平方關(guān)系)， 因此即使再怎么換成 s，都至少會(huì)剩 c(也就是 cos)的一次方無法消掉。(例. c3=c*c2=c*(1-s2)，c5=c*(c2)2=c*(1-s2)2)半角公式tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa) sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)

19、=sin(a)/(1+cos(a)半角公式兩角和公式兩角和公式cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin(+)=sincos+cossin sin(-)=sincos -cossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) cot(a+b) = (cotacotb-1)/(cotb+cota) cot(a-b) = (cotacotb+1)/(cotb-cota)三角和公式sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)

20、=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)和差化積sin+sin =2sin(+)/2 cos(-)/2和差化積公式sin-sin=2cos(+)/2 sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos= -2sin(+)/2sin(-)/2tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb=tan(a+b)(1-tanatanb) tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb=tan(a-b)(1

21、+tanatanb)積化和差sinsin=-cos(+)-cos(-) /2 coscos=cos(+)+cos(-)/2 sincos=sin(+)+sin(-)/2 cossin=sin(+)-sin(-)/2雙曲函數(shù)sh a = ea-e(-a)/2 ch a = ea+e(-a)/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一：設(shè) 為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2k+）= sin cos（2k+）= cos tan（2k+）= tan cot（2k+）= cot 公式二：設(shè) 為任意角，+ 的三角函數(shù)值與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（+）= -s

22、in cos（+）= -cos tan（+）= tan cot（+）= cot 公式三：任意角 與 - 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-）= -sin cos（-）= cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到 - 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-）= sin cos（-）= -cos tan（-）= -tancot（-）= -cot公式五：利用公式-和公式三可以得到 2- 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2-）= -sin cos（2-）= cos tan（2-）= -tan cot（2-）= -cot 公式六：/2 及 3/2

23、 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（/2+）= cos cos（/2+）= -sin tan（/2+）= -cot cot（/2+）= -tan sin（/2-）= cos cos（/2-）= sin tan（/2-）= cot cot（/2-）= tan sin（3/2+）= -cos cos（3/2+）= sin tan（3/2+）= -cot cot（3/2+）= -tan sin（3/2-）= -cos cos（3/2-）= -sin tan（3/2-）= cot cot（3/2-）= tan(以上 kz)asin(t+)+ bsin(t+) =(a+2abcos(-) sint +

24、 arcsin (asin+bsin) / a2 +b2+2abcos(-) 表示根號(hào),包括中的內(nèi)容三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（六公式）公 式 一 ： sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (-)=-tan 公式二：sin(/2-) = cos cos(/2-) = sin 公 式 三 ： sin(/2+) = cos cos(/2+) = -sin 公式四：sin(-) = sincos(-) = -cos公 式 五 ： sin(+) = -sin cos(+) = -cos 公 式 六 ： tana= sina/cosatan（/2+）=cot tan（/2）=cot ta

25、n（）=tan tan（+）=tan誘導(dǎo)公式 記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限萬(wàn)能公式萬(wàn)能公式sin=2tan(/2)/1+(tan(/2) cos=1-(tan(/2)/1+(tan(/2)tan=2tan(/2)/1-(tan(/2)其它公式三角函數(shù)其它公式(1) (sin)2+(cos)2=1（平方和公式） (2)1+(tan)2=(sec)2 (3)1+(cot)2=(csc)2證明下面兩式，只需將一式,左右同除(sin)2，第二個(gè)除(cos)2 即可(4)對(duì)于任意非直角三角形，總有tana+tanb+tanc=tanatanbtanc 證：a+b=-ctan(a+b)=tan(-c)

26、(tana+tanb)/(1-tanatanb)=(tan-tanc)/(1+tantanc)整理可得tana+tanb+tanc=tanatanbtanc 得證同樣可以得證,當(dāng) x+y+z=n(nz)時(shí)，該關(guān)系式也成立由 tana+tanb+tanc=tanatanbtanc 可得出以下結(jié)論(5)cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1 (6)cot(a/2)+cot(b/2)+cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2) (7)(cosa)2+(cosb)2+(cosc)2=1-2cosacosbcosc (8)（sina)2+(sinb)2+(sin

27、c)2=2+2cosacosbcosc 其他非重點(diǎn)三角函數(shù)csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)(seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2冪級(jí)數(shù)展開式sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1)(k-1)*(x(2k-1)/(2k-1)!+ x rcos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1)k*(x(2k)/(2k)!+ x r arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + (|x|1)arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (

28、|x|1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 - (x1)無限公式sinx=x(1-x2/2)(1-x2/42)(1-x2/92) cosx=(1-4x2/2)(1-4x2/92)(1-4x2/252)tanx=8x1/(2-4x2)+1/(92-4x2)+1/(252-4x2)+ secx=41/(2-4x2)-1/(92-4x2)+1/(252-4x2)-+ (sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8 (1/4)tan/4+(1/8)tan/8+(1/16)tan/16+=1/arctan x = x - x3/3 + x5/5 - (x1)和自變量數(shù)列求和有

29、關(guān)的公式sinx+sin2x+sin3x+sinnx=sin(nx/2)sin(n+1)x/2)/sin(x/2) cosx+cos2x+cos3x+cosnx=cos(n+1)x/2)sin(nx/2)/sin(x/2)tan(n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+cosnx) sinx+sin3x+sin5x+sin(2n-1)x=(sinnx)2/sinx cosx+cos3x+cos5x+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)編輯本段內(nèi)容規(guī)律三角函數(shù)看似很多，很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就

30、會(huì)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個(gè)公式之間有強(qiáng)大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵所在。三角函數(shù)本質(zhì)：根據(jù)三角函數(shù)定義推導(dǎo)公式根據(jù)右圖，有sin=y/ r; cos=x/r; tan=y/x; cos=x/y深刻理解了這一點(diǎn)，下面所有的三角公式都可以從這里出發(fā)推導(dǎo)出來，比如以推導(dǎo)sin(a+b) = sinacosb+cosasinb 為例： 推導(dǎo)：首先畫單位圓交 x 軸于 c，d，在單位圓上有任意 a，b 點(diǎn)。角 aod 為，bod 為 ，旋轉(zhuǎn) aob 使 ob 與 od 重合，形成新 aod。a(cos,sin),b(cos，sin),a(cos(-),sin(-) oa=oa=ob=od=1,d(1,0)cos(-)-12+sin(-)2=(cos-cos)2+(sin-sin)2和差化積及積化和差用還原法結(jié)合上面公式可推出（換(a+b)/2 與(a-b)/2） 單位圓定義單位圓六個(gè)三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為一中心為原點(diǎn)的單位圓來定義。單位圓定義在實(shí)際計(jì)算上沒有大的價(jià)值；實(shí)際上對(duì)多數(shù)