(完整版)數(shù)學歸納法典型例題,推薦文檔

1、【知識梳理】數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù) n 的命題的一種方法，在高等數(shù)學中有著重要的用途，因而成為高考的熱點之一。近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學歸納法去證明現(xiàn)代的結論，而且加強了對于不完全歸納法應用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結論，又要求能證明結論的正確性，因此，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式，就顯得特別重要。一般地，證明一個與正整數(shù) n 有關的命題，可按下列步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當 n 取第一個值 n = n 0 時命題成立；（2）（歸納遞推）假設 n = k（）時命題成立，證明當時命題也成立。只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù) n 都成立。上述證明方法叫

2、做數(shù)學歸納法。數(shù)學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對某個正整數(shù)成立，就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學歸納法，這兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)危亲C明命題是否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題?！疽c解析】 1、用數(shù)學歸納法證明有關問題的關鍵在第二步，即 nk1 時為什么成立，nk1 時成立是利用假設 n k 時成立，根據(jù)有關的定理、定義、公式、性質等數(shù)學結論

3、推證出 nk1 時成立，而不是直接代入，否則 nk1 時也成假設了，命題并沒有得到證明。用數(shù)學歸納法可證明有關的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都是用數(shù)學歸納法證明的，學習時要具體問題具體分析。2、運用數(shù)學歸納法時易犯的錯誤（1） 對項數(shù)估算的錯誤，特別是尋找 nk 與 nk1 的關系時，項數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯。（2） 沒有利用歸納假設：歸納假設是必須要用的，假設是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了。（3） 關鍵步驟含糊不清，“假設 nk 時結論成立，利用此假設證明 nk1 時結論也成立”，是數(shù)學歸納法的關鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，對推導的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴謹性、

4、規(guī)范性?！镜湫屠}】例 1. 用數(shù)學歸納法證明：時， 。解析：當時，左邊 ，右邊，左邊=右邊，所以等式成立。假設時等式成立，即有 ，則當 時，由，可知，對一切等式都成立。，所以當 時，等式也成立。例 2.。例 3. 用數(shù)學歸納法證明：對一切大于 1 的自然數(shù) n，不等式 成立。那么當時， ， 時，不等式也成立。由，知，對一切大于 1 的自然數(shù) n，不等式都成立。例 4. 若不等式 對一切正整數(shù) n 都成立，求正整數(shù) a 的最大值，并證明你的結論。解析：取， 。令 ，得，而，所以取，下面用數(shù)學歸納法證明，（1） 時，已證結論正確（2）假設 時，則當 時，有，因為所以所以即時，結論也成立，由（1）

5、（2）可知，對一切，都有，故 a 的最大值為 25。例 5. 用數(shù)學歸納法證明：能被 9 整除。解析：方法一：令，（1） 能被 9 整除。（2）假設能被 9 整除，則 能被 9 整除。由（1）（2）知，對一切，命題均成立。方法二：（1） ，原式 能被 9 整除，（2）若 ， 能被 9 整除，則時 時也能被 9 整除。由（1），（2）可知，對任何， 能被 9 整除。點評：證明整除性問題的關鍵是“湊項”，而采用增項、減項、拆項和因式分解等手段湊出 時的情形，從而利用歸納假設使問題獲證。例 6. 求證：能被 整除， 。解析：（1）當時， ，命題顯然成立。（2）設時，能被整除，時，則當 。由歸納假設，

6、上式中的兩項均能被整除， 故 時命題成立。由（1）（2）可知，對 ，命題成立。例 7. 平面內有 n 個圓，其中每兩個圓都交于兩點，且無三個圓交于一點，求證：這 n 個圓將平面分成 個部分。解析： 時，1 個圓將平面分成 2 部分，顯然命題成立。假設 時， 個圓將平面分成 個部分， 當 時，第 k+1 個圓 交前面 k 個圓于 2k 個點，這 2k 個點將圓 分成 2k 段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了 2k 個區(qū)域，所以這 k+1 個圓將平面分成個部分，即 個部分。故 時，命題成立 。由，可知，對命題成立。點評：用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從 k 個變成 k

7、+1 個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，在實在分析不出來的情況下，將 n=k+1 和 n=k 分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學歸納法證明幾何命題的一大技巧。例 8. 設，是否存在關于自然數(shù) n 的函數(shù) ，使等式 對于 的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結論。解析：當時，由 ，得 ，當時，由 ，得，猜想 。下面用數(shù)學歸納法證明：當時，等式 恒成立。當 時，由上面計算知，等式成立。假設 成立，那么當 時，當 時，等式也成立。由知，對一切 的自然數(shù) n，等式都成立。故存在函數(shù) ，使等式成立。點評：（1）歸納、猜想時，關鍵

8、是尋找滿足條件的 與 n 的關系式，猜想的關系未必對任意的 都滿足條件，故需用數(shù)學歸納法證明。（2）通過解答歸納的過程提供了一種思路：可直接解出 ，即?！灸M試題】1. 用數(shù)學歸納法證明“當 n 為正奇數(shù)時，能被整除”時，第二步歸納假設應寫成a. 假設 時，命題成立b. 假設 時，命題成立c. 假設 時，命題成立d. 假設 時，命題成立2. 證明 ，假設時成立，當1 時，左端增加的項數(shù)是a. 1 項b. 項c. k 項d. 項3. 記凸 k 邊形的內角和為 ，則凸邊形的內角和 （ ）a. b.c. d.4. 某個命題與自然數(shù) n 有關，若 時命題成立，那么可推得當時該命題也成立，現(xiàn)已知當 時，

9、該命題不成立，那么可推得a. 當時，該命題不成立b. 當時，該命題成立c. 當 n=4 時，該命題不成立d. 當 n=4 時，該命題成立5. 用數(shù)學歸納法證明 時，由到時，不等式左邊應添加的項是a. b. c. d.6. （5 分）在數(shù)列中，且，2成等差數(shù)列（表示數(shù)列的前 n 項和），則，分別為；由此猜想。7. （5 分）已知 對一切都成立，那么a=，b=，c=。8. （14 分）由下列各式：，你能得出怎樣的結論？并進行證明。9. （16 分）設數(shù)列滿足， 。（1） 證明： 對一切正整數(shù) n 均成立；（2） 令，判斷 與 的大小，并說明理由。10. （14 分）已知函數(shù) ，設數(shù)列滿足，數(shù)列滿足

10、 ， 。（1） 用數(shù)學歸納法證明 （2） 證明： 。11. （16 分）（2006 年，江西）已知數(shù)列滿足： ，且 。（1） 求數(shù)列 的通項公式；（2） 證明：對一切正整數(shù) n，不等式恒成立?！驹囶}答案】1. b2. d3. b4. c5. c6. ， ， ， 7. ， ， 8. 解：對所給各式進行觀察比較，注意各不等式左邊最后一項的分母特點： ，猜想為，對應各式右端為 。歸納得一般結論當時，結論顯然成立。假設當 時，結論成立，即 成立，則當 時， ，即當時結論也成立。由可知對任意，結論都成立。9. 解：（1）證明略。（2）方法一：， 。方法二：（由（1）的結論）= ， 。方法三：，故，因此。

11、“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development an