二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和題型總結(jié),推薦文檔

1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和題型總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1. 二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y = ax2 + bx + c （ a 何何b c 是常數(shù)， a 0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：a 0最高次數(shù)為 2代數(shù)式一定是整式2. 二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量 x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a 何何b c 是常數(shù)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)， b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng) 例題：例 1、已知函數(shù) y=(m1)xm2 +1+5x3 是二次函數(shù)，求 m 的值。練習(xí)、若函數(shù) y=(m2+2m7)x2+4x+5 是關(guān)于 x 的二次函數(shù)

2、，則 m 的取值范圍為。二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式： y = ax2 的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a 0向上(0 何 0)y 軸x 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小； x = 0 時(shí)， y 有最小值0 a 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； x 0向上(0 何 c)y 軸x 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x 0 時(shí)，y 隨 x 的增大而減?。?x = 0 時(shí)， y 有最小值c a 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小； x 0向上(h 何 0)x=hx h 時(shí)， y 隨 x

3、 的增大而增大； x h 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； x = h 時(shí)， y 有最小值0 a h 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。?x 0向上(h 何 k )x=hx h 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x h 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。?x = h 時(shí)， y 有最小值k a h 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； x 0)【(k0)【( h0)【( h0)【( k0)【(k0)【( h 0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為 x = - b2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 - b4ac - b2 2a 何 4a 當(dāng)x - b2a時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) x = - b 時(shí)， y 有最小值2a-

4、 2 4a2. 當(dāng)a 0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為 x = - b2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 - b4ac - b2 當(dāng) xbb 2a 何 4a -時(shí)， y 隨 x 的增2a2a大而減?。划?dāng) x = - b 時(shí)， y 有最大值2a- 2 4a例題：函數(shù) y=a(xh)2 的圖象與性質(zhì)1. 填表：拋物線(xiàn)開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y = -3(x - 2)2y = 1 (x + 3)2212. 試說(shuō)明函數(shù) y=2(x3)2 的圖象特點(diǎn)及性質(zhì)（開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性、最值）。3. 二次函數(shù) y=a(xh)2 的圖象如圖：已知 a =析式。12，oaoc，試求該拋物線(xiàn)的解二次函數(shù)的增減性1. 二次函數(shù)

5、y=3x26x+5，當(dāng) x1 時(shí)，y 隨 x 的增大而；當(dāng) x 2 時(shí),y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) x 2 時(shí)，y 隨 x 的增大而減少；則 x1 時(shí),y 的值為。3. 已知二次函數(shù) y=x2(m+1)x+1，當(dāng) x1 時(shí)，y 隨x 的增大而增大，則 m 的取值范圍是.154. 已知二次函數(shù) y=2x2+3x+2的圖象上有三點(diǎn) a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)且3x1x2 0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上， a 的值越大，開(kāi)口越小，反之a(chǎn) 的值越小， 開(kāi)口越大； 當(dāng)a 0 的前提下，當(dāng)b 0 時(shí)， - b 0 ，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在 y 軸左側(cè)；2a當(dāng)b = 0 時(shí)， - b = 0

6、 ，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是 y 軸；2a當(dāng)b 0 ，即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在 y 軸的右側(cè)2a 在a 0 時(shí)， - b 0 ，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在 y 軸右側(cè)；2a當(dāng)b = 0 時(shí)， - b = 0 ，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是 y 軸；2a當(dāng)b 0 時(shí)， - b 0 ，在 y 軸的右側(cè)則ab 0 時(shí)，拋物線(xiàn)與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方，即拋物線(xiàn)與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)c = 0 時(shí)，拋物線(xiàn)與 y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線(xiàn)與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0 ； 當(dāng)c 0,b0,c0b.a0,b0,c=0 c.a0,b0,b0,c 0bb -2aca-b+c 0dc0； a+b+c 0a-b+c 0 b2-

7、4ac0 abc 0；其中正確的為（）abcd4. 當(dāng) bbc，且 abc0，則它的圖象可能是圖所示的()6. 二次函數(shù) yax2bxc 的圖象如圖 5 所示，那么 abc，b24ac， 2ab，abc 四個(gè)代數(shù)式中，值為正數(shù)的有()a.4 個(gè)b.3 個(gè)c.2 個(gè)d.1 個(gè)7. 在同一坐標(biāo)系中，函數(shù) y= ax2+c 與y=cx(a0 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大，則二次函數(shù)ykx2+2kx 的圖象大致為圖中的（）abcd二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情

8、況：1. 已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線(xiàn)與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式例題：函數(shù)解析式的求法一、已知拋物線(xiàn)上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為一般式 y=ax2+bx+c，然后解三元方程組求解；1. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) a（0，3）、b（1，3）、c（1，1）三點(diǎn)，求該二次函數(shù)的解析式。2. 已知拋物線(xiàn)過(guò) a（1，0）和 b（4，0）兩點(diǎn)，交 y 軸于 c 點(diǎn)且 bc5，求該二次函數(shù)的解析式。二、已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，或拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)和拋物

9、線(xiàn)上另一點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為頂點(diǎn)式 y=a(xh)2+k 求解。3. 已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，8），求該二次函數(shù)的解析式。4. 已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn) p（2，0）點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式。三、已知拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)解析式為交點(diǎn)式 y=a(xx1) (xx2)。5. 二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) a（1，0），b（3，0），函數(shù)有最小值8，求該二次函數(shù)的解析式。九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1. 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)y = ax2 + bx + c 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是 y

10、 = -ax2 - bx - c ；y = a (x - h)2 + k 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是 y = -a (x - h)2 - k ；2. 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)y = ax2 + bx + c 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是 y = ax2 - bx + c ；y = a (x - h)2 + k 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是 y = a (x + h)2 + k ；3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)y = ax2 + bx + c 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是 y = -ax2 + bx - c ；y = a (x - h)2 + k 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是 y = -a

11、(x + h)2 - k ；4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（即：拋物線(xiàn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180）b2 ；y = ax2 + bx + c 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是 y = -ax2 - bx + c - 2ay = a (x - h)2 + k 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是 y = -a (x - h)2 + k 5. 關(guān)于點(diǎn)(m 何 n)對(duì)稱(chēng)y = a (x - h)2 + k 關(guān)于點(diǎn)(m 何y = -a (x + h - 2m)2 + 2n - kn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換，拋物線(xiàn)的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此 a 永遠(yuǎn)不變求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)

12、題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(xiàn)（或表達(dá)式已知的拋物線(xiàn)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與 x 軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程ax2 + bx + c = 0 是二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 當(dāng)函數(shù)值 y = 0 時(shí)的特殊情況.圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)d = b2 - 4ac 0 時(shí)，圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) a(x ，0，) ，b (x0) (x x ) ，其中1212的 x1 ，x2 是一元二次方程ax2 + bx +

13、 c = 0(a 0)的兩根這兩點(diǎn)間的距離b2 - 4ac aab = x2 - x1 =. 當(dāng)d = 0 時(shí)，圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)d 0 時(shí)，圖象落在 x 軸的上方，無(wú)論 x 為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 ；2 當(dāng)a 0 時(shí)，圖象落在 x 軸的下方，無(wú)論 x 為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：d 0拋物線(xiàn)與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根d = 0拋物線(xiàn)與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根d 0拋物線(xiàn)與 x 軸無(wú)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)

14、數(shù)根.例題：二次函數(shù)與 x 軸、y 軸的交點(diǎn)（二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系）1. 如果二次函數(shù) yx24xc 圖象與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)，其中 c 為整數(shù)，則 c （寫(xiě)一個(gè)即可）2. 二次函數(shù) yx2-2x-3 圖象與 x 軸交點(diǎn)之間的距離為 3. 拋物線(xiàn) y3x22x1 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()a.沒(méi)有交點(diǎn)b.只有一個(gè)交點(diǎn)c.有兩個(gè)交點(diǎn)d.有三個(gè)交點(diǎn)4. 如圖所示，二次函數(shù) yx24x3 的圖象交 x 軸于 a、b 兩點(diǎn)， 交 y 軸于點(diǎn) c， 則abc 的面積為()a.6b.4c.3d.15. 已知拋物線(xiàn) y5x2(m1)xm 與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)在 y 軸同側(cè)，它們的距49離平方等于為

15、 25，則 m 的值為()a.2b.12c.24d.486. 已知拋物線(xiàn) yx2-2x-8，（1） 求證：該拋物線(xiàn)與 x 軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（2） 若該拋物線(xiàn)與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 a、b，且它的頂點(diǎn)為 p，求abp 的面積。十一、函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用何何何何何何何何何何何何何何何何何何何二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線(xiàn)，圖象對(duì)稱(chēng)是關(guān)鍵；開(kāi)口、頂點(diǎn)和交點(diǎn),它們確定圖象現(xiàn)；開(kāi)口、大小由 a 斷,c 與 y 軸來(lái)相見(jiàn),b 的符號(hào)較特別，符號(hào)與 a 相關(guān)聯(lián)；頂點(diǎn)位置先找見(jiàn)，y 軸作為參考線(xiàn)，左同右異中為 0，牢記心中莫混亂；頂點(diǎn)坐標(biāo)最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對(duì)稱(chēng)軸,縱標(biāo)函 數(shù)最值見(jiàn)。

16、若求對(duì)稱(chēng)軸位置,符號(hào)反,一般、頂點(diǎn)、交點(diǎn)式，不同表達(dá)能互換。二次函數(shù)拋物線(xiàn)，選定需要三個(gè)點(diǎn)，a 的正負(fù)開(kāi)口判，c 的大小 y 軸看，的符號(hào)最簡(jiǎn)便，x 軸上數(shù)交點(diǎn)，a、b 同號(hào)軸左邊拋物線(xiàn)平移 a 不變，頂點(diǎn)牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。例題：二次函數(shù)應(yīng)用(一）經(jīng)濟(jì)策略性1. 某商店購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為 16 元的日用品，銷(xiāo)售一段時(shí)間后，為了獲得更多的利潤(rùn)，商店決定提高銷(xiāo)售價(jià)格。經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每件 20 元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，每月能賣(mài) 360 件若按每件 25 元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，每月能賣(mài) 210 件。假定每月銷(xiāo)售件數(shù)y(件）是價(jià)格 x 的一次函數(shù).(1) 試求 y 與x 的之間的關(guān)系式.(2

17、) 在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問(wèn)銷(xiāo)售價(jià)格定為多少時(shí)，才 能使每月獲得最大利潤(rùn)，每月的最大利潤(rùn)是多少？（總利潤(rùn)=總收入總成本）2. 有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以 延長(zhǎng)存活時(shí)間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體重量基 本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷(xiāo)商，按市場(chǎng)價(jià)收購(gòu)了這種活蟹 1000 千克放養(yǎng)在塘內(nèi)， 此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為每千克 30 元，據(jù)測(cè)算，以后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升 1 元， 但是放養(yǎng)一天需各種費(fèi)用支出 400 元，且平均每天還有 10 千克蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價(jià)都是每千克 20 元。（1） 設(shè) x 天后每千克活蟹的

18、市場(chǎng)價(jià)為 p 元，寫(xiě)出 p 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式。（2） 如果放養(yǎng) x 天后將活蟹一次性出售，并記 1000 千克蟹的銷(xiāo)售額為 q 元， 寫(xiě)出 q 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式。（2）該經(jīng)銷(xiāo)商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤(rùn)（利潤(rùn)=銷(xiāo)售總額 收購(gòu)成本費(fèi)用），最大利潤(rùn)是多少？3. 某商場(chǎng)批單價(jià)為 25 元的旅游鞋。為確定 一個(gè)最佳的銷(xiāo)售價(jià)格，在試銷(xiāo)期采用多種價(jià)格進(jìn)性銷(xiāo)售，經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：按每雙 30 元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，每天能賣(mài)出60 雙； 按每雙 32 元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，每天能賣(mài)出 52 雙，假定每天售出鞋的數(shù)量y（雙） 是銷(xiāo)售單位 x 的一次函數(shù)。(1) 求 y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 在鞋不積壓，且不考慮其它因素的情況下，求出每天的銷(xiāo)售利潤(rùn) w（元） 與銷(xiāo)售單價(jià) x 之間的函數(shù)關(guān)系式；(3) 銷(xiāo)售價(jià)格定為多少元時(shí)，每天獲得的銷(xiāo)售利潤(rùn)最多？是多少？“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to lear