初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題含答案,推薦文檔

1、初三數(shù)學(xué) 二次函數(shù) 知識點(diǎn)總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1. 二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y = ax2 + bx + c （ a ， b c 是常數(shù)， a 0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù) a 0 ，而b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量 x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a ， b c 是常數(shù)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)， b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式： y = ax2 的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越

2、小。a 的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上(0， 0)y 軸x 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x 0 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小； x = 0 時(shí)， y 有最小值0 a 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； x 0向上(0， c)y 軸x 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x 0 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小； x = 0 時(shí)， y 有最小值c a 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小； x 0向上(h ， 0)x=hx h 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x h 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小； x = h 時(shí)， y 有最小值0 y = a (x - h)2 的性質(zhì)：左

3、加右減。a h 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小； x 0向上(h ， k )x=hx h 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x h 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小； x = h 時(shí)， y 有最小值 k a h 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小； x 0) (k0) h0) h0) (k0) (h0) (k 0 時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為 x = - 2a ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 - 2a ， 4a當(dāng) x - b 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；2a當(dāng) x = - b2a4ac - b2時(shí)， y 有最小值4abb4ac - b2 b2. 當(dāng) a 0 時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為 x = - 2a ，頂點(diǎn)坐

4、標(biāo)為 - 2a ， 4a 當(dāng) x -2a時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；當(dāng) x = -2a時(shí)， y 有最大值4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式： y = ax2 + bx + c （ a ， b ， c 為常數(shù)， a 0 ）；2. 頂點(diǎn)式： y = a(x - h)2 + k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a 0 ）；3. 兩根式（交點(diǎn)式）： y = a(x - x1)(x - x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式， 只有拋物線與 x 軸有交點(diǎn)，即b2

5、 - 4ac 0 時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù) a 當(dāng) a 0 時(shí)，拋物線開口向上， a 的值越大，開口越小，反之 a 的值越小，開口越大； 當(dāng) a 0 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方，即拋物線與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)c = 0 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0 ； 當(dāng)c 0 時(shí)，圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) a(x ，0，) ，b (x0) (x x ) ，其中的 x ，x 是一元121212二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0)

6、的兩根. 當(dāng)d = 0 時(shí)，圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)d 0 時(shí)，圖象落在 x 軸的上方，無論 x 為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 ；2 當(dāng) a 0 時(shí)，圖象落在 x 軸的下方，無論 x 為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 2. 拋物線 y = ax2 + bx + c 的圖象與 y 軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0 ， c) ；二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題1. 二次函數(shù) y = x2 - 4x - 7 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()a.(2,11)b.（2，7）c.（2，11）d. （2，3）2. 把拋物線 y = -2x2 向上平移 1 個(gè)單位，得到的拋物線是（）a. y = -2(x +1)2b. y = -2(x

7、 -1)2c. y = -2x2 +1d. y = -2x2 -13. 函數(shù)y = kx2 - k 和y = k (k 0) 在x同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中 的 ( )4. 已知二次函數(shù) y = ax2 + bx + c(a 0) 的圖象如圖所示,則下列結(jié)論: a,b 同號; 當(dāng) x = 1 和 x = 3 時(shí),函數(shù)值相等; 4a + b = 0 當(dāng) y = -2 時(shí), x 的值只能取 0.其中正確的個(gè)數(shù)是()a.1 個(gè)b.2 個(gè)c. 3 個(gè)d. 4 個(gè)5. 已知二次函數(shù) y = ax2 + bx + c(a 0) 的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于 x 的一元

8、二次方程 ax2 + bx + c = 0 的兩個(gè)根分別是 x = 1.3和x = （12）.b.-2.3c.-0.3d.-3.36. 已知二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的圖象如圖所示，則點(diǎn)(ac, bc) 在（）a. 第一象限b第二象限c第三象限d第四象限7. 方程2x - x2 = 2 的正根的個(gè)數(shù)為（）xa.0 個(gè)b.1 個(gè)c.2 個(gè).3 個(gè)8. 已知拋物線過點(diǎn) a(2,0),b(-1,0),與 y 軸交于點(diǎn) c,且 oc=2.則這條拋物線的解析式為a. y = x2 - x - 2c. y = x2 - x - 2 或 y = -x2 + x + 2b. y = -x2

9、+ x + 2d. y = -x2 - x - 2 或 y = x2 + x + 2二、填空題9. 二次函數(shù) y = x2 + bx + 3 的對稱軸是 x = 2 ，則b =。10. 已知拋物線 y=-2（x+3）+5，如果 y 隨 x 的增大而減小，那么 x 的取值范圍是.11. 一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點(diǎn)（1，2），當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù)值 y 隨自變量 x 的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是（只寫一個(gè)即可）。12. 拋物線 y = 2(x - 2)2 - 6 的頂點(diǎn)為 c，已知直線 y = -kx + 3 過點(diǎn) c，則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為。13. 二次函

10、數(shù) y = 2x2 - 4x -1的圖象是由 y = 2x2 + bx + c 的圖象向左平移 1 個(gè)單位,再向下平移 2個(gè)單位得到的,則 b=,c=。14. 如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在線段 ab 上離中心 m 處 5 米的地方，橋的高度是( 取 3.14).三、解答題：15. 已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是 x + 3 = 0 ,圖象經(jīng)過(1,-6),且與 y 軸的交點(diǎn)為(0, - 52(1) 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;(2) 當(dāng) x 為何值時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為 0?(3) 當(dāng) x 在什么范圍內(nèi)變化時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大?).第

11、 15 題圖16. 某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升高度 h（米）和時(shí)間 t（秒）符合關(guān)系式 h = v t - 1 gt 2 （0t2），其02中重力加速度 g 以 10 米/秒 2 計(jì)算這種爆竹點(diǎn)燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升，（1） 這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后，經(jīng)過多少時(shí)間離地 15 米？（2） 在爆竹點(diǎn)燃后的 1.5 秒至 1.8 秒這段時(shí)間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由.17. 如圖，拋物線 y = x2 + bx - c 經(jīng)過直線 y = x - 3 與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn) a、b，此拋物線與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 c，拋物線頂點(diǎn)為 d.（1） 求此拋物線的解析式；（2） 點(diǎn) p

12、為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使 sdapc ： sdacd = 5 ：4 的點(diǎn) p的坐標(biāo)。18. 紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）當(dāng)每噸售價(jià)為260 元時(shí)，月銷售量為45 噸該建材店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降 10 元時(shí)，月銷售量就會增加 7. 5 噸綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用 100 元設(shè)每噸材料售價(jià)為 x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為 y（元）（1） 當(dāng)每噸售價(jià)是 240 元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；（2） 求出 y 與x 的函數(shù)關(guān)系式

13、（不要求寫出 x 的取值范圍）；（3） 該建材店要獲得最大月利潤，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？（4） 小靜說：“當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額也最大”你認(rèn)為對嗎？請說明理由二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練1、心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力 y 與提出概念所用的時(shí)間 x（分）之間滿足函數(shù)關(guān)系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0x30).（1） 當(dāng) x 在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？當(dāng) x 在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步減弱？（2） 第 10 分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少？（3） 第幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？2、如圖,已知abc 是一等腰三角形鐵板余料,其中 ab=ac=20cm,bc=

14、24cm.若在abc上截出一矩形零件 defg,使 ef 在 bc 上,點(diǎn) d、g 分別在邊 ab、ac 上.問矩形 defg 的最大面積是多少?dgabefc3、如圖,abc 中,b=90,ab=6cm,bc=12cm.點(diǎn) p 從點(diǎn) a 開始,沿 ab 邊向點(diǎn) b 以每秒1cm 的速度移動(dòng);點(diǎn) q 從點(diǎn) b 開始,沿著 bc 邊向點(diǎn) c 以每秒 2cm 的速度移動(dòng).如果 p,q同時(shí)出發(fā),問經(jīng)過幾秒鐘pbq 的面積最大?最大面積是多少?cqapb4、如圖，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下 4 米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為 2.5 米時(shí)，達(dá)到最大高度 3.5 米，然后準(zhǔn)確落入籃圈.

15、已知籃圈中心到地面的距離為 3.05 米.(1) 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式;(2) 該運(yùn)動(dòng)員身高 1.8 米，在這次跳投中，球在頭頂上方 0.25 米處出手，問：球出手時(shí)， 他跳離地面的高度是多少.y (0,3.5)3.05m ox 4 m 5、如圖，要建一個(gè)長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，如果用 50 m 長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場，設(shè)它的長度為 x m.(1) 要使雞場面積最大，雞場的長度應(yīng)為多少 m？(2) 如果中間有 n(n 是大于 1 的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場的長應(yīng)為多少xm？比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？6、某商場以每件 2

16、0 元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量 m(件)與每件的銷售價(jià) x(元)滿足關(guān)系：m=1402x.(1) 寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤 y 與每件的銷售價(jià) x 間的函數(shù)關(guān)系式;(2) 如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)圖像特征與 a、b、c、符號的關(guān)系1、已知二次函數(shù) y = ax2 + bx + c ，如圖所示，若a 0 ，那么它的圖象大致是 （）xxxxyyyyabcd2、已知二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的圖象如圖所示，則點(diǎn)(ac, bc) 在 （）a第一象限b第二象限c第三象限d第

17、四象限y0x3、已知二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的圖象如下， 則下列結(jié)論正確的是（）aab 0bbc 0da - b + c 0；c0；b2-4ac0，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）a0 個(gè)b1 個(gè)c2 個(gè)d3 個(gè)c在（5、）二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖像如圖 1，則點(diǎn) m（b， a ）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限6、二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的圖象如圖所示，則（）a、a 0 ， b2 - 4ac 0 c、a 0 ， b2 - 4ac 0 ， b2 - 4ac 0 d、a 07、已知二次函數(shù) y=ax 2 +bx+c 的圖象如圖所示，那么下列判斷不

18、正確的是（）a、ac0b、a-b+c0c、b=-4a d、關(guān)于 x 的方程 ax 2 +bx+c=0 的根是 x1=-1，x2=58、已知二次函數(shù) y=ax 2 +bx+c（a0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：b 2 -4ac0；abc0；8a+c0；9a+3b+c0其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）a、1b、2c、3d、4一，選擇題、二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題參考答案1a 2c3a4b5d6b7c8c二、填空題、9 b = -410 x -3 11如 y = -2x2 + 4, y = 2x + 4 等（答案不唯一）12113-871415三、解答題515(1)設(shè)拋物線的解析式為 y = ax2 + bx

19、+ c ,由題意可得- b = -32aa + b + c = -6c = -521512 - 3x -解得 a = -, b = -3, c = -所以 y = -x2222(2) x = -1 或-5(2) x -316（1）由已知得，15 = 20t - 1 10 t 2 ，解得t = 3, t= 1 當(dāng)t = 3 時(shí)不合題意，舍去。所以當(dāng)爆212竹點(diǎn)燃后 1 秒離地 15 米（2）由題意得， h = -5t 2 + 20t -5(t - 2)2 + 20 ，可知頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)t = 2 ，又拋物線開口向下，所以在爆竹點(diǎn)燃后的 1.5 秒至 108 秒這段時(shí)間內(nèi)，爆竹在上升9 + 3b -

20、 c = 017（1）直線 y = x - 3 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) a（3，0），b（0，3） 則-c = -3b = -2解得c = 3所以此拋物線解析式為 y = x2 - 2x - 3 （2）拋物線的頂點(diǎn) d（1，4），與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)c（1，0）.設(shè) p (a, a2 - 2a - 3) ，則( 1 4 a2 - 2a - 3 ) : ( 1 4 4) = 5 : 4 .化簡得22a2 - 2a - 3 = 5當(dāng) a2 - 2a - 3 0 時(shí)， a2 - 2a - 3 = 5 得 a = 4, a = -2p（4，5）或 p（2，5）當(dāng) a2 - 2a - 3 0 時(shí)， -a2 +

21、 2a + 3 = 5 即 a2 + 2a + 2 = 0 ，此方程無解綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，5）或（2，5）18（1） 45 + 260 - 240 7.5 =60（噸）（2） y = (x - 100)(45 + 260 - x 7.5) ，化簡得：1010y = - 3 x2 + 315x - 24000 （3） y = - 3 x 2 + 315x - 24000 = - 3 (x - 210)2 + 9075 444紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸 210 元（4） 我認(rèn)為，小靜說的不對 理由：方法一：當(dāng)月利潤最大時(shí)，x 為 210 元，而對于月銷售額w

22、 = x(45 + 260 - x 7.5) = - 3 (x -160)2 + 19200 來說，104當(dāng) x 為 160 元時(shí)，月銷售額 w 最大當(dāng) x 為 210 元時(shí)，月銷售額 w 不是最大小靜說的不對方法二：當(dāng)月利潤最大時(shí)，x 為 210 元，此時(shí)，月銷售額為 17325 元； 而當(dāng) x 為 200 元時(shí)，月銷售額為 18000 元1732518000， 當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額 w 不是最大小靜說的不對二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練參考答案1 、 （1）0x13，13x30；（2）59；（3）13.202 -1222、過 a 作 ambc 于 m,交 dg 于 n,則 am=16cm.設(shè) de

23、=xcm,s 矩形=ycm2,則由adgabc,故 an = dg ,即16 - x = dg ,故3 dg= (16-x).ambc16242y=dgde=3 (16-x)x=-3 (x2-16x)=-3 (x-8)2+96,222從而當(dāng) x=8 時(shí),y 有最大值 96.即矩形 defg 的最大面積是 96cm2. 3、設(shè)第 t 秒時(shí),pbq 的面積為 ycm2.則ap=tcm,pb=(6-t)cm;y=pbbq=(6-t)又 bq=2t.112t=(6-t)t=-t2+6t=-(t-3)2+9,22當(dāng) t=3 時(shí),y 有最大值 9.故第 3 秒鐘時(shí)pbq 的面積最大,最大值是 9cm2.

24、4、解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為 y=ax2+bx+c.由圖知圖象過以下點(diǎn)：(0，3.5)，(1.5，3.05).-b2a= 0,a = -0.2,c = 3.5,3.05 = 1.52 a + 1.5b + c,得 = 0,bc = 3.5.拋物線的表達(dá)式為 y=0.2x2+3.5.(2)設(shè)球出手時(shí)，他跳離地面的高度為 h m，則球出手時(shí)，球的高度為h+1.8+0.25=(h+2.05) m,h+2.05=0.2(2.5)2+3.5,h=0.2(m).5、解：(1)依題意得雞場面積 y= - 1 x2 + 50 x.33y= 1 x2+ 50 x= - 1 (x250x)333= 1 (x25)2+ 625 ,33當(dāng) x=25 時(shí)，y 最大= 625 ,3即雞場的長度為 25 m 時(shí)，其面積最大為 625 m2.3(2)如中間有幾道隔墻，則隔墻長為 50 - x m.ny= 50 - x x= 1 x2+ 50 x nnn= 1 (x250x) = 1 (x25)2+ 625 ,nnn當(dāng) x=25 時(shí)，y 最大= 625 ,n625即雞場的長度為 25 m 時(shí)，雞場面積為m2.n結(jié)論：無論雞場中間有多少道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，其長都是 25 m. 6