初中圓題型總結(jié)Word版

1、傳播優(yōu)秀Word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！圓的基本題型縱觀近幾年全國(guó)各地中考題，圓的有關(guān)概念以及性質(zhì)等一般以填空題，選擇題的形式考查并占有一定的分值；一般在10分15分左右，圓的有關(guān)性質(zhì)，如垂徑定理，圓周角，切線的判定與性質(zhì)等綜合性問題的運(yùn)用一般以計(jì)算證明的形式考查；利用圓的知識(shí)與其他知識(shí)點(diǎn)如代數(shù)函數(shù)，方程等相結(jié)合作為中考?jí)狠S題將會(huì)占有非常重要的地位，另外與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，閱讀理解題，探索存在性問題仍是熱門考題，應(yīng)引起注意.下面究近年來圓的有關(guān)熱點(diǎn)題型，舉例解析如下。一、圓的性質(zhì)及重要定理的考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：（1）垂徑定理；（2）同圓或等圓中的圓心角、弦、弧之間的關(guān)系.(3)圓

2、周角定理及推論 （4）圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)【例1】（江蘇鎮(zhèn)江）如圖，為O直徑，為弦，且，垂足為（1）的平分線交O于，連結(jié)求證：為弧ADB的中點(diǎn)；（2）如果O的半徑為，求到弦的距離；ABDEOCH填空：此時(shí)圓周上存在 個(gè)點(diǎn)到直線的距離為【解析】（1），又，又，為弧ADB的中點(diǎn)（2），為O的直徑，又， 作于，則3.【點(diǎn)評(píng)】 本題綜合考查了利用垂徑定理和勾股定理及銳角三角函數(shù)求解問題的能力.運(yùn)用垂徑定理時(shí)，需添加輔助線構(gòu)造與定理相關(guān)的“基本圖形”.幾何上把圓心到弦的距離叫做弦心距,本題的弦心距就是指線段OD的長(zhǎng).在圓中解有關(guān)弦心距半徑有關(guān)問題時(shí),常常添加的輔助線是連半徑或作出弦心距,把垂徑定理和勾股定理

3、結(jié)合起來解題.如圖,O的半徑為,弦心距為,弦長(zhǎng)之間的關(guān)系為.根據(jù)此公式,在、三個(gè)量中,知道任何兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.平時(shí)在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用這個(gè)基本圖形.【例2】 （安徽蕪湖）如圖，已知點(diǎn)E是圓O上的點(diǎn)，B、C分別是劣弧的三等分點(diǎn)， ，則的度數(shù)為 【解析】由B、C分別是劣弧的三等分點(diǎn)知，圓心角AOB=BOC=COD,又，所以AOD=138.根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半。從而有69.點(diǎn)評(píng)本題根據(jù)同圓或等圓中的圓心角、圓周角的關(guān)系?！緩?qiáng)化練習(xí)】【1】.如圖，O是ABC的外接圓，AD，CE分別是BC，AB上的高，且AD，CE交于點(diǎn)H，求證：AH=AO (1)如圖，在O中，弦ACB

4、D，OEAB，垂足為E，求證：OE=CD(2)如圖，AC，BD是O的兩條弦，且ACBD，O的半徑為，求AB2CD2的值?！?】（第25題）如圖，O是ABC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E，連接CD，且AE=DE，BC=CE（1）求ACB的度數(shù)；（2）過點(diǎn)O作OFAC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FO交BE于點(diǎn)G，DE=3，EG=2，求AB的長(zhǎng)二、直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：1、直線與圓的位置關(guān)系有三種:如果一條直線與一個(gè)圓沒有公共點(diǎn),那么就說這條直線與這個(gè)圓相離.如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn),那么就說這條直線與這個(gè)圓相切,此時(shí)這條直線叫做圓的切線,這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).如果一條直線與一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn),那么

5、就說這條直線與這個(gè)圓相交,此時(shí)這條直線叫做圓的割線,這兩個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn).2、直線與圓的位置關(guān)系的判定；3、弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角；4. 和圓有關(guān)的比例線段（1）相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等；（2）推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)；（3）切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)；（4）推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。5. 三角形的內(nèi)切圓（1）有關(guān)概念：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切

6、圓、圓的外切多邊形；6、圓的切線的性質(zhì)與判定?！纠?】（甘肅蘭州）如圖，四邊形內(nèi)接于O，是O的直徑，垂足為，平分DECBOA（1）求證：是O的切線；（2）若，求的長(zhǎng)【解析】（1）證明：連接，平分，DECBOA，是O的切線（2）是直徑，平分，在中，在中，的長(zhǎng)是1cm，的長(zhǎng)是4cm【點(diǎn)評(píng)】證明圓的切線，過切點(diǎn)的這條半徑為必作輔助線.即經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.【例2】（廣東茂名）如圖，O是ABC的外接圓，且AB=AC，點(diǎn)D在弧BC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作DEBC，DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)AD、BD（1）求證：ADB=E；（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，DE是O的切線？請(qǐng)說明理由（

7、3）當(dāng)AB=5，BC=6時(shí)，求O的半徑（4分）【解析】（1）在ABC中，AB=AC，ABC=CDEBC，ABC=E，E=C又ADB=C， ADB=E（2）當(dāng)點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)時(shí)，DE是O的切線理由是：當(dāng)點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)時(shí)，則有ADBC，且AD過圓心O又DEBC， ADED DE是O的切線（3）連結(jié)BO、AO，并延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)F， 則AFBC，且BF=BC=3又AB=5，AF=4設(shè)O的半徑為，在RtOBF中，OF=4，OB=，BF=3， 3（4）解得，O的半徑是【點(diǎn)評(píng)】 本題綜合運(yùn)用了等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線判定，解題最關(guān)鍵是抓住題中所給的已知條件，構(gòu)造直角三角形，探索出不同的結(jié)論.【例

8、4】 已知：如圖7，點(diǎn)P是半圓O的直徑BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，PC切半圓于C點(diǎn)，CDAB于D點(diǎn)，若PA：PC1：2，DB4，求tanPCA及PC的長(zhǎng)。圖7證明：連結(jié)CB PC切半圓O于C點(diǎn)，PCAB PP，PACPCB AC：BCPA：PC AB是半圓O的直徑，ACB90 又CDAB ABADDB5 【例5】 已知：如圖8，在RtABC中，B90，A的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DEDC，以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作D。求證：（1）AC是D的切線； （2）ABEBAC分析：（1）欲證AC與D相切，只要證圓心D到AC的距離等于D的半徑BD。因此要作DFAC于F（2）只要證ACAFFCABEB，

9、證明的關(guān)鍵是證BEFC，這又轉(zhuǎn)化為證EBDCFD。 證明：（1）如圖8，過D作DFAC，F(xiàn)為垂足 AD是BAC的平分線，DBAB，DBDF 點(diǎn)D到AC的距離等于圓D的半徑 AC是D的切線 （2）ABBD，D的半徑等于BD， AB是D的切線，ABAF 在RtBED和RtFCD中，EDCD，BDFD BEDFCD，BEFC ABBEAFFCAC小結(jié)：有關(guān)切線的判定，主要有兩個(gè)類型，若要判定的直線與已知圓有公共點(diǎn)，可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線與已知圓的公共點(diǎn)沒有給出，可采用“過圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法。此例題屬于后一類【例6】 已知：如圖9，AB為O的弦，P為BA延長(zhǎng)線上

10、一點(diǎn)，PE與O相切于點(diǎn)E，C為中點(diǎn)，連CE交AB于點(diǎn)F。求證：分析：由已知可得PE2PAPB，因此要證PF2PAPB，只要證PEPF。即證PFEPEF。證明一：如圖9，作直徑CD，交AB于點(diǎn)G，連結(jié)ED， CED90 點(diǎn)C為的中點(diǎn)，CDAB，CFGD PE為O切線，E為切點(diǎn) PEFD，PEFCFG CFGPFE，PFEPEF，PEPF PE2PAPB，PF2PAPB 證明二：如圖91，連結(jié)AC、AE圖91 點(diǎn)C是的中點(diǎn)，CABAEC PE切O于點(diǎn)E，PEAC PFECABC，PEFPEAAEC PFEPEF，PEPF PE2PAPB，PF2PAPB【例7】 （1）如圖10，已知直線AB過圓心O

11、，交O于A、B，直線AF交O于F（不與B重合），直線l交O于C、D，交BA延長(zhǎng)線于E，且與AF垂直，垂足為G，連結(jié)AC、AD 圖10 圖101求證：BADCAG； ACADAEAF（2）在問題（1）中，當(dāng)直線l向上平行移動(dòng)，與O相切時(shí)，其它條件不變。 請(qǐng)你在圖101中畫出變化后的圖形，并對(duì)照?qǐng)D10標(biāo)記字母；問題（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由。 證明：（1）連結(jié)BD AB是O的直徑，ADB90 AGCADB90 又ACDB是O內(nèi)接四邊形 ACGB，BADCAG 連結(jié)CF BADCAG，EAGFAB DAEFAC 又ADCF，ADEAFC ，ACADAEA

12、F （2）見圖101 兩個(gè)結(jié)論都成立，證明如下： 連結(jié)BC， AB是直徑，ACB90 ACBAGC90 GC切O于C，GCAABC BACCAG（即BADCAG） 連結(jié)CF CAGBAC，GCFGAC， GCFCAE，ACFACGGFC，EACGCAE ACFE，ACFAEC， AC2AEAF（即ACADAEAF）說明：本題通過變化圖形的位置，考查了學(xué)生動(dòng)手畫圖的能力，并通過探究式的提問加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生證明題的考查，這是當(dāng)前熱點(diǎn)的考題，希望引起大家的關(guān)注。【強(qiáng)化練習(xí)】【1】（第22題）如圖，O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是ACB的平分線與O，AB的交點(diǎn)，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

13、PC=PE（1）求AC、AD的長(zhǎng)；（2）試判斷直線PC與O的位置關(guān)系，并說明理由【2】（第23題）如圖，在ABC中，C=90，ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，O是BEF的外接圓（1）求證：AC是O的切線（2）過點(diǎn)E作EHAB于點(diǎn)H，求證：CD=HF【3】（第25題）如圖，在O中，AB，CD是直徑，BE是切線，B為切點(diǎn)，連接AD，BC，BD（1）求證：ABDCDB；（2）若DBE=37，求ADC的度數(shù)【4】（第24題）如圖，AB為O的直徑，PD切O于點(diǎn)C，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且D=2CAD（1）求D的度數(shù)；（2）若CD=2，求BD的長(zhǎng)【5】（第27題）如圖，RtAB

14、C中，ABC=90，以AB為直徑作半圓O交AC與點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接DE（1）求證：DE是半圓O的切線（2）若BAC=30，DE=2，求AD的長(zhǎng)三、圓與圓的位置關(guān)系的考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn),那么就說這兩個(gè)圓相離,如圖(1)、(2)、(3)所示其中(1)又叫做外離,(2)、(3)又叫做內(nèi)含(3)中兩圓的圓心相同,這兩個(gè)圓還可以叫做同心圓如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn),那么就說這兩個(gè)圓相切,如圖(4)、(5)所示其中(4)又叫做外切,(5)又叫做內(nèi)切如果兩個(gè)圓只有兩個(gè)公共點(diǎn),那么就說這兩個(gè)圓相交,如圖(6)所示【例1】（甘肅蘭州）如圖是北京奧運(yùn)會(huì)自行車比賽項(xiàng)目標(biāo)志，則圖中兩輪所在

15、圓的位置關(guān)系是（）A內(nèi)含B相交C相切D外離【解析】圖中的兩圓沒有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的所有點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，故兩圓外離，選D.【點(diǎn)評(píng)】圓與圓的位置關(guān)系有五種:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含其關(guān)系可以用圓與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來判定, 也可以用數(shù)量關(guān)系來表示圓與圓的位置關(guān)系：如果設(shè)兩圓的半徑為 、,兩圓的圓心距為d,則圓與圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系如下表【例2】（赤峰市）如圖（1），兩半徑為的等圓O1和O2相交于兩點(diǎn)，且O2過點(diǎn)過點(diǎn)作直線垂直于，分別交O1和O2于兩點(diǎn)，連結(jié)（1）猜想點(diǎn)與O1有什么位置關(guān)系，并給出證明；（2）猜想的形狀，并給出證明；（3）如圖（2），若過的點(diǎn)所在的直線不垂

16、直于，且點(diǎn)在點(diǎn)的兩側(cè)，那么（2）中的結(jié)論是否成立，若成立請(qǐng)給出證明O2O1NMBA圖（1）O2O1NMBA圖（2）O2O1NMBA圖（1）【解析】解：（1）在上證明：O2過點(diǎn)，又O1的半徑也是，點(diǎn)在O1上（2）是等邊三角形證明：，O2O1NMBA圖（2）是O2的直徑，是O1的直徑，即，在上，在上連結(jié)，則是的中位線，則是等邊三角形（3）仍然成立證明：由（2）得在O1中弧MN所對(duì)的圓周角為在O2中弧MN所對(duì)的圓周角為當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的兩側(cè)時(shí)，在O1中弧MN所對(duì)的圓周角，在O2中弧MN所對(duì)的圓周角，是等邊三角形注：（2），（3）是中學(xué)生猜想為等腰三角形證明正確給一半分【點(diǎn)評(píng)】相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，

17、又且O2過點(diǎn)，構(gòu)建對(duì)稱性知，O1過O2，再證NAB是等腰三角形；（2）1是的基礎(chǔ)上發(fā)散探究，具有一定的開放性四、圓與多邊形的計(jì)算考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：1、圓與正多邊形的關(guān)系的計(jì)算；2、弧長(zhǎng)、扇形面積、圓錐側(cè)面積全面積的計(jì)算.【例1】（贛州）小芳隨機(jī)地向如圖所示的圓形簸箕內(nèi)撒了幾把豆子，則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是 【解析】設(shè)圓的半徑為1，則圓的面積為，易算得正方形的邊長(zhǎng)為，正方形面積為2，則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是幾何概率，解題的關(guān)鍵是圓與圓內(nèi)接正方形的面積，根據(jù)古典概型，可轉(zhuǎn)化為面積之比.【例2】?jī)赏膱A，大圓半徑為，小圓半徑為，則陰影

18、部分面積為【解析】根據(jù)大、小圓的半徑，可求得圓環(huán)的面積為8，圖中的陰影面積為圓環(huán)面積的一半4.【點(diǎn)評(píng)】有關(guān)面積計(jì)算問題，不難發(fā)現(xiàn)，一些不規(guī)則的圖形可轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形計(jì)算，本題就較好的體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化方法和整體思想.五、圓的綜合性問題的考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：圓的有關(guān)知識(shí)與三角函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等綜合應(yīng)用?！纠?】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過原點(diǎn)O，且與軸、軸分別相交于兩點(diǎn)（1）求出直線AB的函數(shù)解析式；（2）若有一拋物線的對(duì)稱軸平行于軸且經(jīng)過點(diǎn)M，頂點(diǎn)C在M上，開口向下，且經(jīng)過點(diǎn)B，求此拋物線的函數(shù)解析式；（3）設(shè)（2）中的拋物線交軸于D、E兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)

19、P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】（1）設(shè)AB的函數(shù)表達(dá)式為 直線AB的函數(shù)表達(dá)式為 （2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與M相交于一點(diǎn)，依題意知這一點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)C。又設(shè)對(duì)稱軸與軸相交于點(diǎn)N，在直角三角形AOB中，因?yàn)镸經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)，且M的直徑，半徑MA=5，N為AO的中點(diǎn)AN=NO=4，MN=3CN=MC-MN=5-3=2，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，2）設(shè)所求的拋物線為則所求拋物線為（3）令得D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)為D（-6，0）、E（-2，0），所以DE=4又AC=直角三角形的面積假設(shè)拋物線上存在當(dāng)故滿足條件的存在它們是【點(diǎn)評(píng)】 本題是一次函數(shù)、二次函數(shù)與圓的綜合性問題，解題的關(guān)鍵是抓住圖形中的點(diǎn)的

20、坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)數(shù)的方法求出解析式；【例2】（第27題）如圖，在O的內(nèi)接ABC中，ACB=90，AC=2BC，過C作AB的垂線l交O于另一點(diǎn)D，垂足為E設(shè)P是上異于A，C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交l于點(diǎn)F，連接PC與PD，PD交AB于點(diǎn)G（1）求證：PACPDF；（2）若AB=5，=，求PD的長(zhǎng)；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)=x，tanAFD=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）圓的綜合題（1）證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個(gè)角相等或邊長(zhǎng)成比例因?yàn)轭}中因圓周角易知一對(duì)相等的角，那么另一對(duì)角相等就是我們需要努力的方向，因?yàn)樯婕皥A，傾向于找接近圓的角DPF，利用補(bǔ)角在圓內(nèi)作等量代換，等

21、弧對(duì)等角等知識(shí)易得DPF=APC，則結(jié)論易證（2）求PD的長(zhǎng)，且此線段在上問已證相似的PDF中，很明顯用相似得成比例，再將其他邊代入是應(yīng)有的思路利用已知條件易得其他邊長(zhǎng)，則PD可求（3）因?yàn)轭}目涉及AFD與也在第一問所得相似的PDF中，進(jìn)而考慮轉(zhuǎn)化，AFD=PCA，連接PB得AFD=PCA=PBG，過G點(diǎn)作AB的垂線，若此線過PB與AC的交點(diǎn)那么結(jié)論易求，因?yàn)楦鶕?jù)三角函數(shù)或三角形與三角形ABC相似可用AG表示PBG所對(duì)的這條高線但是“此線是否過PB與AC的交點(diǎn)”？此時(shí)首先需要做的是多畫幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，觀察我們的猜想驗(yàn)證得我們的猜想應(yīng)是正確的，可是證明不能靠畫圖，如何求證此線過PB與AC的交點(diǎn)是我們

22、解題的關(guān)鍵常規(guī)作法不易得此結(jié)論，我們可以換另外的輔助線作法，先做垂線，得交點(diǎn)H，然后連接交點(diǎn)與B，再證明HBG=PCA=AFD因?yàn)镃、D關(guān)于AB對(duì)稱，可以延長(zhǎng)CG考慮P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)根據(jù)等弧對(duì)等角，可得HBG=PCA，進(jìn)而得解題思路（1）證明：，DPF=180APD=180所對(duì)的圓周角=180所對(duì)的圓周角=所對(duì)的圓周角=APC在PAC和PDF中，PACPDF（2）解：如圖1，連接PO，則由，有POAB，且PAB=45，APO、AEF都為等腰直角三角形在RtABC中，AC=2BC，AB2=BC2+AC2=5BC2，AB=5，BC=，AC=2，CE=ACsinBAC=AC=2=2， AE=ACcosB

23、AC=AC=2=4，AEF為等腰直角三角形，EF=AE=4，F(xiàn)D=FC+CD=（EFCE）+2CE=EF+CE=4+2=6APO為等腰直角三角形，AO=AB=，AP=PDFPAC，PD=（3）解：如圖2，過點(diǎn)G作GHAB，交AC于H，連接HB，以HB為直徑作圓，連接CG并延長(zhǎng)交O于Q，HCCB，GHGB，C、G都在以HB為直徑的圓上，HBG=ACQ，C、D關(guān)于AB對(duì)稱，G在AB上，Q、P關(guān)于AB對(duì)稱，PCA=ACQ，HBG=PCAPACPDF，PCA=PFD=AFD，y=tanAFD=tanPCA=tanHBG=HG=tanHAGAG=tanBACAG=，y=x本題考查了圓周角、相似三角形、三

24、角函數(shù)等性質(zhì)，前兩問思路還算簡(jiǎn)單，但最后一問需要熟練的解題技巧需要長(zhǎng)久的磨練總結(jié)總體來講本題偏難，學(xué)生練習(xí)時(shí)加強(qiáng)理解，重點(diǎn)理解分析過程，自己如何找到思路【例3】（第24題）如圖，已知：在矩形ABCD的邊AD上有一點(diǎn)O，OA=，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，交AD于M，恰好與BD相切于H，過H作弦HPAB，弦HP=3若點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與C，D不重合），過E作直線EFBD交BC于F，再把CEF沿著動(dòng)直線EF對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G設(shè)CE=x，EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S（1）求證：四邊形ABHP是菱形；（2）問EFG的直角頂點(diǎn)G能落在O上嗎？若能，求出此時(shí)x的值；若不能，請(qǐng)說明理

25、由；（3）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出FG與O相切時(shí)，S的值第3題圖考點(diǎn)：圓的綜合題；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性質(zhì)；垂徑定理；切線的性質(zhì)；切線長(zhǎng)定理；軸對(duì)稱的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值所有專題：壓軸題分析：（1）連接OH，可以求出HOD=60，HDO=30，從而可以求出AB=3，由HPAB，HP=3可證到四邊形ABHP是平行四邊形，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得BA=BH，即可證到四邊形ABHP是菱形（2）當(dāng)點(diǎn)G落到AD上時(shí)，可以證到點(diǎn)G與點(diǎn)M重合，可求出x=2（3）當(dāng)0x2時(shí)，如圖，S=SEGF，只需求出FG，就可得到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)2x3時(shí)，如圖，S=SGEFSSG

26、R，只需求出SG、RG，就可得到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式當(dāng)FG與O相切時(shí)，如圖，易得FK=AB=3，KQ=AQAK=22+x再由FK=KQ即可求出x，從而求出S解答：解：（1）證明：連接OH，如圖所示四邊形ABCD是矩形，ADC=BAD=90，BC=AD，AB=CDHPAB，ANH+BAD=180ANH=90HN=PN=HP=OH=OA=，sinHON=HON=60BD與O相切于點(diǎn)H，OHBDHDO=30OD=2AD=3BC=3BAD=90，BDA=30tanBDA=AB=3HP=3，AB=HPABHP，四邊形ABHP是平行四邊形BAD=90，AM是O的直徑，BA與O相切于點(diǎn)ABD與O相切于點(diǎn)H

27、，BA=BH平行四邊形ABHP是菱形（2）EFG的直角頂點(diǎn)G能落在O上如圖所示，點(diǎn)G落到AD上EFBD，F(xiàn)EC=CDBCDB=9030=60，CEF=60由折疊可得：GEF=CEF=60GED=60CE=x，GE=CE=xED=DCCE=3xcosGED=x=2GE=2，ED=1GD=OG=ADAOGD=3=OG=OM點(diǎn)G與點(diǎn)M重合此時(shí)EFG的直角頂點(diǎn)G落在O上，對(duì)應(yīng)的x的值為2當(dāng)EFG的直角頂點(diǎn)G落在O上時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值為2（3）如圖，在RtEGF中，tanFEG=FG=xS=GEFG=xx=x2如圖，ED=3x，RE=2ED=62x，GR=GEER=x（62x）=3x6tanSRG=，SG

28、=（x2）SSGR=SGRG=（x2）（3x6）=（x2）2SGEF=x2，S=SGEFSSGR=x2（x2）2=x2+6x6綜上所述：當(dāng)0x2時(shí)，S=x2；當(dāng)2x3時(shí)，S=x2+6x6當(dāng)FG與O相切于點(diǎn)T時(shí)，延長(zhǎng)FG交AD于點(diǎn)Q，過點(diǎn)F作FKAD，垂足為K，如圖所示四邊形ABCD是矩形，BCAD，ABC=BAD=90AQF=CFG=60OT=，OQ=2AQ=+2FKA=ABC=BAD=90，四邊形ABFK是矩形FK=AB=3，AK=BF=3xKQ=AQAK=（+2）（3x）=22+x在RtFKQ中，tanFQK=FK=QK3=（22+x）解得：x=3032，S=x2=（3）2=6FG與O相切

29、時(shí)，S的值為6點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、垂徑定理、軸對(duì)稱性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性非常強(qiáng)【例4】（第23題）如圖1，在O中，E是弧AB的中點(diǎn)，C為O上的一動(dòng)點(diǎn)（C與E在AB異側(cè)），連接EC交AB于點(diǎn)F，EB=（r是O的半徑）（1）D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若DC=DF，證明：直線DC與O相切；（2）求EFEC的值；（3）如圖2，當(dāng)F是AB的四等分點(diǎn)時(shí)，求EC的值圓的綜合題.（1）連結(jié)OC、OE，OE交AB于H，如圖1，由E是弧AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論得到OEAB，則HEF+HFE=90，由對(duì)

30、頂相等得HFE=CFD，則HEF+CFD=90，再由DC=DF得CFD=DCF，加上OCE=OEC，所以O(shè)CE+DCE=HEF+CFD=90，于是根據(jù)切線的判定定理得直線DC與O相切；（2）由弧AE=弧BE，根據(jù)圓周角定理得到ABE=BCE，加上FEB=BEC，于是可判斷EBFECB，利用相似比得到EFEC=BE2=（r）2=r2；（3）如圖2，連結(jié)OA，由弧AE=弧BE得AE=BE=r，設(shè)OH=x，則HE=rx，根據(jù)勾股定理，在RtOAH中有AH2+x2=r2；在RtEAH中由AH2+（rx）2=（r）2，利用等式的性質(zhì)得x2（rx）2=r2（r）2，即得x=r，則HE=rr=r，在RtOA

31、H中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AH=，由OEAB得AH=BH，而F是AB的四等分點(diǎn)，所以HF=AH=，于是在RtEFH中可計(jì)算出EF=r，然后利用（2）中的結(jié)論可計(jì)算出EC（1）證明：連結(jié)OC、OE，OE交AB于H，如圖1，E是弧AB的中點(diǎn)，OEAB，EHF=90，HEF+HFE=90，而HFE=CFD，HEF+CFD=90，DC=DF，CFD=DCF，而OC=OE，OCE=OEC，OCE+DCE=HEF+CFD=90，OCCD，直線DC與O相切；（2）解：連結(jié)BC，E是弧AB的中點(diǎn)，弧AE=弧BE，ABE=BCE，而FEB=BEC，EBFECB，EF：BE=BE：EC，EFEC=BE2=（r）2=

32、r2；（3）解：如圖2，連結(jié)OA，弧AE=弧BE，AE=BE=r，設(shè)OH=x，則HE=rx，在RtOAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，在RtEAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（rx）2=（r）2，x2（rx）2=r2（r）2，即得x=r，HE=rr=r，在RtOAH中，AH=，OEAB，AH=BH，而F是AB的四等分點(diǎn)，HF=AH=，在RtEFH中，EF=r，EFEC=r2，rEC=r2，EC=r本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論、切線的判定定理和圓周角定理；會(huì)利用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算，利用相似三角形的知識(shí)解決有關(guān)線段等積的問題【例5】（第26題12分）如圖，O1與O2外切與點(diǎn)D，直線l與兩圓分別相切于點(diǎn)A、B，與直線O1O2相交于點(diǎn)M，且tanAM01=，MD=4（1）求O2的半徑；（2）求ADB內(nèi)切圓的面積；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)P，使