遼寧省丹東市2019屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試試題（二）理（含解析）

1、遼寧省丹東市2019屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試試題（二）理（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限，則復(fù)數(shù)可?。?）A. 2B. -1C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意首先分析復(fù)數(shù)z的實部和虛部的關(guān)系，然后考查所給的選項即可確定z的值.詳解】不妨設(shè)，則，結(jié)合題意可知：，逐一考查所給的選項：對于選項A：，不合題意；對于選項B：，符合題意；對于選項C：，不合題意；對于選項D：，不合題意；故選：B.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，各個象限內(nèi)復(fù)數(shù)的特征等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2.已知集合，若，則

2、實數(shù)值集合為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】,可以得到，求出集合的子集，這樣就可以求出實數(shù)值集合.【詳解】,的子集有，當(dāng)時，顯然有；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)，不存在，符合題意，實數(shù)值集合為，故本題選D.【點睛】本題考查了通過集合的運算結(jié)果，得出集合之間的關(guān)系，求參數(shù)問題.重點考查了一個集合的子集，本題容易忽略空集是任何集合的子集這一結(jié)論.3.經(jīng)過點作圓的切線，則的方程為（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線存在斜率，點斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，再討論直線不存在斜率時，是否能和圓相切，如果能,寫出直線方程，綜上所述，求出切線

3、方程.【詳解】，圓心坐標(biāo)坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)過點的切線存在斜率，切線方程為，圓心到它的距離為，所以有，當(dāng)過點的切線不存在斜率時，即，顯然圓心到它的距離為，所以不是圓的切線；因此切線方程為,故本題選C。【點睛】本題考查了求圓的切線.本題實際上是過圓上一點求切線，所以只有一條.4.在中，若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可知，點是的中點，由，可以確定點是的中點，以為基底，表示出，最后確定的關(guān)系.【詳解】因為，所以點是的中點，又因為，所以點是的中點，所以有：，因此，故本題選D.【點睛】本題考查了向量加法的幾何意義、平面向量基本定理.解題的關(guān)鍵是對向量式的理解、對向量加法的

4、幾何意義的理解.5.據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載，公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器一商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），其體積為12.6立方寸.若取圓周率，則圖中的值為（ ）A. 1.5B. 2C. 3D. 3.1【答案】C【解析】【分析】由三視圖可知：該幾何體是由一圓柱和長方體組而成，根據(jù)體積，可以求出圖中的值。【詳解】由三視圖可知：該幾何體是由一圓柱和長方體組而成，由題意可知：.【點睛】本題考查了由三視圖還原立體幾何圖形能力，體積運算能力.考查了空間想象能力和運算能力.6.函數(shù)的圖象大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定

5、義域，然后判斷奇偶性，再考慮時，函數(shù)的單調(diào)性，用排除法進(jìn)行選擇.【詳解】函數(shù)的定義定義域為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故可排除B，當(dāng)時，故可排除C;當(dāng)時， ，顯然當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)遞減的，可排除D，故本題選A.【點睛】本題考查了識別函數(shù)的圖象.解決此問題可以從定義域、奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性入手，易采用排除法，有時找特殊點、特殊值也是常用的方法.7.若，則（ ）A. B. C. -1D. 3【答案】A【解析】【分析】由，可求出的值，所求式子可以寫成分母為1的形式，用進(jìn)行代換，分子、分母同時除以，然后把的值代入求值即可.【詳解】,把代入，求得，故本題選A.【點睛】本題考查了兩角和的

6、正切公式、正弦的二倍角公式,解決本題的關(guān)鍵是的代換，變成雙齊次方程，這樣便于求出值來.8.從4男2女共6名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，不同選法共有（ ）A. 156種B. 168種C. 180種D. 240種【答案】B【解析】【分析】先求出從4男2女共6名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊有多少種選法，然后再求出服務(wù)隊中沒有女生有多少種選法，兩數(shù)相減即可.【詳解】從4男2女共6名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊有種選法，服務(wù)隊中沒有女生的選法有種，所以要求服務(wù)隊中至少有1名女生，不同選

7、法共有種選法，故本題選B.【點睛】本題考查了組合問題、分步計算原理.本題采用的是間接法來求解，當(dāng)問題的正面的好多種情況時，可以看它的反面情況，這樣求解起來簡單.9.在中，則的面積為（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)余弦定理可以求出,再利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出，最后用三角形面積公式求出面積.【詳解】由余弦定理可知 ，因為，所以，因此，故本題選C.【點睛】本題考查了余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式.重點考查了運算能力.10.若是函數(shù)的極值點，則的值為（ ）A. -2B. 3C. -2或3D. -3或2【答案】B【解析】【分析】由題意可知，這樣可求出，然后針

8、對的每一個值，進(jìn)行討論，看是不是函數(shù)的極值點.【詳解】，由題意可知，或當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，顯然是函數(shù)的極值點；當(dāng)時，所以函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，沒有極值，不符合題意，舍去，故本題選B.【點睛】本題考查了已知函數(shù)的極值，求參數(shù)的問題.本題易錯的地方是求出的值，沒有通過單調(diào)性來驗證是不是函數(shù)的極值點，也就是說使得導(dǎo)函數(shù)為零的自變量的值，不一定是極值點.11.已知函數(shù)，若是圖象的一條對稱軸，是圖象的一個對稱中心，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】是圖象的一條對稱軸，說明當(dāng)時，函數(shù)有最值；是圖象的一個對稱中心，說明當(dāng)時，函數(shù)值為零，這樣得到二個等式，可

9、以求出的值.【詳解】因為是圖象的一條對稱軸，所以，又因為是圖象的一個對稱中心，所以，得，所以可以表示為：，已知，所以是從1開始的奇數(shù)，對照選項，可以選C.【點睛】本題考查了已知正弦型函數(shù)的對稱軸、對稱中心求參數(shù)問題.重點考查了運算能力.12.雙曲線：的左右焦點分別為，的右支上一點滿足，若坐標(biāo)原點到直線距離是，則的離心率為（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】分別過，作直線的垂線，垂足為，利用中位線性質(zhì)可以求出,在中，可以求出，利用雙曲線的定義，可以求出，在中，利用余弦定理可以得到的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.【詳解】分別過，作直線的垂線，垂足為，顯然, 是的中點,所以=

10、,在中, ,由雙曲線的定義,可知:,在中，,故本題選B.【點睛】本題考查了求雙曲線的離心率.解題的關(guān)鍵是利用雙曲線的定義、中位線的性質(zhì)、余弦定理的綜合使用,考查了運算能力.二、填空題。13.設(shè)，滿足約束條件，則的最大值為_【答案】3【解析】【分析】畫出可行解域，平移直線，找到的最大值.【詳解】畫出如下圖的可行解域：當(dāng)直線經(jīng)過點時,有最大值, 解得, ,所以=3.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，考查了畫圖能力.14.設(shè)函數(shù)，若，則_【答案】【解析】分析】當(dāng)時，解方程，求出的值，判斷是否存在；當(dāng)時，解方程，求出的值，判斷是否存在，最后確定的值.【詳解】當(dāng)時， ，而，故舍去

11、；當(dāng)時， ，所以.【點睛】本題考查了分段函數(shù)求值問題，考查了分類運算能力.15.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.85，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望_【答案】300【解析】【分析】設(shè)沒有發(fā)牙的種子數(shù)為,則有,由題意可知服從二項分布，利用公式可以求出，進(jìn)而求出的數(shù)學(xué)期望.【詳解】設(shè)沒有發(fā)牙的種子數(shù)為,則有,由題意可知服從二項分布，即,.【點睛】本題考查了二項分布.重點考查了這二個公式，一；二是.16.正三棱柱的所有棱長都相等，是中點，則二面角的正切值為_【答案】【解析】【分析】設(shè)正三棱柱的所有棱長2,取的中點,這樣可以證明出，通過側(cè)面與底面

12、垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理可以證明出側(cè)面,也就證明出，這樣過作,利用線面垂直的判定定理，可以證明出所以平面,也就證出，這樣就可以找到二面角的平面角的補角,通過計算可以求出二面角的平面角的補角的正切值，也就求出二面角的平面角的正切值.【詳解】設(shè)正三棱柱的所有棱長2, 取的中點,連接,由題意可知, ,所以,利用勾股定理可以求得,過作,垂足為,連接,如下圖所示:在正三棱柱 中,側(cè)面底面,而側(cè)面底面,所以側(cè)面,平面,所以有,平面,所以平面,而平面,所以,因此是二面角的平面角的補角,在正方形中, 由面積可得,求出,在中, ,所以二面角的正切值為.【點睛】本題考查了求二面角的正切值問題，解決本題的關(guān)鍵是

13、找到二面角的平面角的補角.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演箅步驟。17.數(shù)列中，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可以采用累和法進(jìn)行求解，利用等差數(shù)列的前項和公式，可以求出的通項公式；（2），可以采用裂項相消法求出數(shù)列的前項和.【詳解】解：（1）因為，所以當(dāng)時， .由于滿足，所以求的通項公式為.（2）因為，所以數(shù)列的前項和為 .【點睛】本題考查了累和法求數(shù)列的通項公式、裂項相消法求數(shù)列前項和.解決此類問題的關(guān)鍵是掌握已知所給的通項公式、遞推公式的特征.18.為了進(jìn)一步推動全市學(xué)習(xí)型黨組織、學(xué)習(xí)型社會建設(shè)，某市組織開展“學(xué)習(xí)強國

14、”知識測試，每人測試文化、經(jīng)濟(jì)兩個項目，每個項目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機抽取了100人，分別統(tǒng)計他們文化、經(jīng)濟(jì)兩個項目的測試成績，得到文化項目測試成績的頻數(shù)分布表和經(jīng)濟(jì)項目測試成績的頻率分布直方圖如下：經(jīng)濟(jì)項目測試成績頻率分布直方圖分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)235154035文化項目測試成績頻數(shù)分布表將測試人員的成績劃分為三個等級如下：分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為一般，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為良好，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)秀.（1）在抽取的100人中，經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀的測試人員中女生有14人，經(jīng)濟(jì)項目等級為一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認(rèn)為“經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān)

15、？優(yōu)秀一般或良好合計男生數(shù)女生數(shù)合計（2）用這100人的樣本估計總體，假設(shè)這兩個項目的測試成績相互獨立.（i）從該市測試人員中隨機抽取1人，估計其“文化項目等級高于經(jīng)濟(jì)項目等級”的概率.（ii）對該市文化項目、經(jīng)濟(jì)項目的學(xué)習(xí)成績進(jìn)行評價.附：0.1500.0500.0102.0723.8416.635.【答案】（1）見解析（2）（i）0.32（ii）見解析【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖，可以求出經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀人數(shù)的人數(shù)，同時可以求出男生數(shù)人.經(jīng)濟(jì)項目等級為一般或良好的人數(shù)，同時可求出男生數(shù)，然后填表；計算并結(jié)合給出的附表，可以得出結(jié)論；（2）（i）記“文化項目等級為優(yōu)秀”為事件，“

16、文化項目等級為良好”為事件；“經(jīng)濟(jì)項目等級為良好”為事件；“經(jīng)濟(jì)項目等級為一般”為事件.分別可求出，從該市測試人員中隨機抽取1人，其“文化項目等級高于經(jīng)濟(jì)項目等級”的概率為，計算得出；（ii）記“文化項目等級為一般”為事件，“經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀”為事件，可求出.可以計算出從該市測試人員中隨機抽取1人，其“項目經(jīng)濟(jì)等級高于文化項目等級”的概率為，從這一點上可以看出該市文化項目學(xué)習(xí)成績的更好.通過計算文化項目測試成績良好率估計值，經(jīng)濟(jì)項目測試成績良好率估計值，通過比較，可以得出該市文化項目學(xué)習(xí)成績的更好.通過計算文化項目測試成績平均數(shù)的估計值，經(jīng)濟(jì)項目測試成績平均數(shù)的估計值為，通過比較，可以得出該

17、市文化項目學(xué)習(xí)成績的更好.通過由頻數(shù)分布表可以求出，該市文化項目測試成績中位數(shù)的估計值，和該市文化項目測試成績中位數(shù)的估計值，通過比較可以得出該市文化項目學(xué)習(xí)成績的更好.可以求出該市文化項目測試成績眾數(shù)的估計值和經(jīng)濟(jì)項目測試成績眾數(shù)的估計值，通過比較可以得出該市對經(jīng)濟(jì)項目學(xué)習(xí)研究的更深入.可以求出文化項目測試成績優(yōu)秀率估計值、經(jīng)濟(jì)項目測試成績優(yōu)秀率估計值，通過比較，可以得出該市對經(jīng)濟(jì)項目學(xué)習(xí)研究的更深入.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖，得經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀人數(shù)為.其中女生數(shù)為14人，男生數(shù)為26人.經(jīng)濟(jì)項目等級為一般或良好的60名測試人員中，女生數(shù)為34人，男生數(shù)為26人.作出列聯(lián)表：優(yōu)秀

18、一般或良好合計男生數(shù)262652女生數(shù)143448合計4060100.由于，故有以上的把握認(rèn)為“經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān).（2）（i）記“文化項目等級為優(yōu)秀”為事件，“文化項目等級為良好”為事件；“經(jīng)濟(jì)項目等級為良好”為事件；“經(jīng)濟(jì)項目等級為一般”為事件.則，.從該市測試人員中隨機抽取1人，其“文化項目等級高于經(jīng)濟(jì)項目等級”的概率為.（ii）記“文化項目等級為一般”為事件，“經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀”為事件，則，.從該市測試人員中隨機抽取1人，其“項目經(jīng)濟(jì)等級高于文化項目等級”的概率為.因為，所以該市文化項目學(xué)習(xí)成績的更好.文化項目測試成績良好率估計值為0.9，經(jīng)濟(jì)項目測試成績良好率估計值為0

19、.8，所以該市文化項目學(xué)習(xí)成績的更好.文化項目測試成績平均數(shù)的估計值為 .經(jīng)濟(jì)項目測試成績平均數(shù)的估計值為 .因為，所以該市文化項目學(xué)習(xí)成績的更好.由頻數(shù)分布表知，文化項目測試成績低于40分的頻率為，測試成績低于50分的頻率為.故該市文化項目測試成績中位數(shù)的估計值為.由直方圖知，經(jīng)濟(jì)項目測試成績低于40分的頻率為，測試成績低于50分的頻率為，故該市文化項目測試成績中位數(shù)的估計值為.因為，所以該市文化項目學(xué)習(xí)成績的更好.該市文化項目測試成績眾數(shù)的估計值為45（分）.經(jīng)濟(jì)項目測試成績眾數(shù)的估計值為55（分）.因為，所以該市對經(jīng)濟(jì)項目學(xué)習(xí)研究的更深入.文化項目測試成績優(yōu)秀率估計值為0.35，經(jīng)濟(jì)項目

20、測試成績優(yōu)秀率估計值為0.4，所以該市對經(jīng)濟(jì)項目學(xué)習(xí)研究的更深入.【點睛】本題考查了獨立性檢驗.重點考查了通過用樣本的數(shù)字特征、均值等方面對總體進(jìn)行評估，是一道用數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計知識，為決策者提供參考的一道好題.19.如圖，四棱錐中，平面，是中點，是線段上的點.（1）若是中點，求證：平面；（2）設(shè)與平面所成角為，求最大值.【答案】（1）見證明；（2）【解析】【分析】解法1：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)表示，再證明出平面的法向量是，只要證明出就可以證明平面；（2）設(shè)，則，.可以求出，根據(jù)和二次函數(shù)開口方向，對稱軸，可以求出最大值.解法2：（1）取中點為，連結(jié)，可得，可以證明出平面，同理可以證

21、明出平面.也就可以證明平面平面，因此平面；（2）同解法1；解法3：（1）同解法2；（2）由，可知.可以證明出，也就能證明出平面，則.可以求出.的最小值為到距離等于，所以的最大值.【詳解】解法1：（1）以為坐標(biāo)原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè).則，所以，.因平面，所以，又，所以平面，平面一個法向量為.因為，平面，所以平面.（2），設(shè)，則，.平面的一個法向量為，所以.因為，所以當(dāng)，即時，取得最大值.解法2：（1）取中點為，連結(jié)，則，因為平面，所以平面，同理平面.所以平面平面，因此平面.（2）以為坐標(biāo)原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，.設(shè)，則，.平面

22、的一個法向量為，所以.因為，所以當(dāng)，即時，取得最大值.解法3：（1）同解法2.（2）因為，所以.因為平面，所以，.所以平面，則.設(shè)，則，.的最小值為到距離等于，所以的最大值.【點睛】本題考查了證明線面平行，以及線面角的正弦值最大值問題，通過本題的詳解可以知道利用常規(guī)的立體幾何方法和向量方法都能很好地解決問題,20.經(jīng)過坐標(biāo)原點的兩條直線與橢圓：分別相交于點、和點、，其中直線經(jīng)過的左焦點，直線經(jīng)過的右焦點.當(dāng)直線不垂直于坐標(biāo)軸時，與的斜率乘積為.（1）求橢圓的方程；（2）求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）最大值6.【解析】【分析】（1）設(shè)，由對稱性可知，由，相減得，而直線與直線的斜率乘積

23、為，所以，由題意可知，利用，這樣可求出的值，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題設(shè)不平行于軸，設(shè)：，與聯(lián)立得，由對稱性四邊形是平行四邊形，其面積的等于面積的4倍，于是，利用根與系數(shù)的關(guān)系，和換元法以及求導(dǎo)法，可以求出四邊形面積的最大值.【詳解】解：（1）設(shè)，由對稱性，直線與直線的斜率乘積為.由，相減得.所以，因為，所以，的方程為.（2）由題設(shè)不平行于軸，設(shè)：，與聯(lián)立得.，.由對稱性四邊形是平行四邊形，其面積的等于面積的4倍，于是 .設(shè)，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時，取最大值6.【點睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓內(nèi)接四邊形面積最大問題，解決本題的關(guān)鍵是理解掌握橢圓對稱性質(zhì).21.已知，設(shè)函數(shù).（1）討論單調(diào)性；（2）若當(dāng)時，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)的不同取值，進(jìn)行分類討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，且時，于是等價于，顯然若，時，不等式不成立；當(dāng)若，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，得，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，可以證明出當(dāng)時，當(dāng)時，可以通過找到零點，證明出不恒大于零.【詳解】解：（1）.當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，.