(完整版)正余弦定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及高考考試題型(最新整理)

1、一、知識(shí)點(diǎn)（一）正弦定理：= 2r, 其中 r 是三角形外接圓半徑.- 9 -abcsin asin bsin ca=2rsina, b=2rsinb, c=2rsinca2 = b2 + c2 - 2bc cos a（二）余弦定理： b2 = a2 + c2 - 2ac cos bc2 = a2 + b2 - 2ab cos cb2 + c2 - a2a2 + c2 - b2a2 + b2 - c2由此可得： cos a =2ab, cos b =2ac, cos c =. .2ab111注： a 2 b2 + c2 a 是鈍角； a 2 = b2 + c2 a 是直角； a 2 b2 +

2、c2 a 是銳角；（三）三角形面積公式：（1） sa abc = 2 ab sin c = 2 bc sin a = 2 ac sin b.二、例題講解（一）求邊的問題331、在abc 中，角 a, b,c 的對(duì)邊分別為a, b, c ， a =p, a =33, b = 1，則c = （）a、1b、2c、- 1d、32、 在abc 中， a, b, c 分別為a, b, c 的對(duì)邊.如果a, b, c 成等差數(shù)列， b = 30，abc 的面積為 ，那么b = （）332a、 1 +32b、1 +c、 2 +32d、 2 +3、在abc 中，角 a, b,c 所對(duì)的邊長分別為a, b, c

3、，若c = 120， c =2a ，則（）a、a bb、a bc、a = bd、a 與b 的大小關(guān)系不能確定33334、在abc 中， a = 10 ， b = 60, c = 45,則c 等于（）a、10 +b、10(- 1)c、+ 1d、1035、若abc 的周長等于 20，面積是10， a= 60，則 bc 邊的長是（）a、5b、6c、7d、85135136、已知銳角三角形的邊長分別為 2、3、 x ，則 x 的取值范圍是（）a、1 x 5b、 x c、0 x d、 x sin b 是 a b 的（）a、充分不必要條件b、必要不充分條件c、充要條件d、既不充分也不必要條件10、若 abc

4、 的內(nèi)角， a, b, c 滿足6 sin a = 4 sin b = 3sin c ，則cos b =153a. b44113 15cd161611、在dabc 中，角 a, b, c 所對(duì)的邊分 a, b, c 若 a cos a = b sin b ，則sin a cos a + cos2 b =a- 12b 12c -1d112、已知在abc 中， a = 10, b = 5 6, a = 45,則 b =。313、在abc 中， b =3, c = 3, b = 30，則 a =。14、已知a, b, c 分別是abc 的三個(gè)內(nèi)角 a, b,c 所對(duì)的邊，若a = 1, b =則si

5、n c =。， a + c = 2b ,15、在abc 中， (b + c): (c + a): (a + b) = 4 : 5 : 6 ，則abc 的最大內(nèi)角的度數(shù)是 16、已知(a + b + c)(b + c - a) = 3bc ，則a = 217、在dabc 中，角 a, b,c 所對(duì)的邊分別為a, b, c ，若 a =， b = 2 ，sin b + cos b = 2 ,則角 a 的大小為.（三）判斷三角形形狀的問題1、在 abc 中，若a=cos abcos b=ccos c，則 abc 是（）a、直角三角形b、等邊三角形c、鈍角三角形d、等腰直角三角形2、在dabc 中，已

6、知2 sin a cos b = sin c ，那么dabc 一定是（）a、直角三角形b、等腰三角形c、等腰直角三角形d、正三角形3、abc 中， a = 2b cos c ，則此三角形一定是（）a、等腰三角形b、直角三角形c、等腰直角三角形d、等腰或直角三角形4、在abc 中，若 a cos a = b cos b ，則abc 的形狀是（）a、等腰三角形b、直角三角形c、等腰直角三角形d、等腰或直角三角形5、在abc 中，若cos a =acos b b= sin cc，則abc 是（）a、有一內(nèi)角為 30的直角三角形b、等腰直角三角形c、有一內(nèi)角為 30的等腰三角形d、等邊三角形6、在ab

7、c 中， b cos a = a cos b ，則三角形為（）a、直角三角形b、銳角三角形c、等腰三角形d、等邊三角形37、在abc 中，已知 b = 30, b = 50, c = 150 ，那么這個(gè)三角形是（）a、等邊三角形b、直角三角形c、等腰三角形d、等腰三角形或直角三角形8、abc 中， sin2 a = sin2 b + sin2 c ，則abc 為（）a、直角三角形b、等腰直角三角形c、等邊三角形d、等腰三角形9、已知關(guān)于 x 的方程 x2 - x cos a cos b + 2 sin2 c = 0 的兩根之和等于兩根之積的一半，2則dabc 一定是（）a、直角三角形b、鈍角三

8、角形c、等腰三角形d、等邊三角形10、abc 中，tan a =tan bsin asin b，則三角形為。（四）三角形的面積的問題31、在abc 中， ab =, ac = 1, a = 30，則abc 面積為（）333333a、b、c、或d、或242422、已知abc 的三邊長 a = 3, b = 5, c = 6 ，則abc 的面積為（）14141515a、b、 2c、d、 23、在abc 中， a = sin10 ， b = sin 50 ， c= 70，那么abc 的面積為（）1111a、b、c、d、64321684、在abc 中， a = 2 ， a = 30, c = 45，則

9、abc 的面積 sdabc 等于（）12233a、b、2c、+ 1d 、 ( 2+ 1)5、 dabc 中， b = 120, ac = 7, ab = 5 ，則dabc 的面積為6、已知dabc 的一個(gè)內(nèi)角為 120o，并且三邊長構(gòu)成公差為 4 的等差數(shù)列，則dabc 的面積為(五)綜合應(yīng)用1、 在abc 中，角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c.()(1) 若 sin a6 2cosa, 求 a 的值；1(2) 若 cosa ，b3c，求 sinc 的值32、在銳角abc 中，a、b、c 分別為角 a、b、c 所對(duì)的邊，且3a = 2c sin a()確定角 c 的大小：73 3（）若

10、 c,且abc 的面積為,求 ab 的值。213、設(shè)abc 的內(nèi)角 a、b、c 所對(duì)的邊分別為 a、b、c，已知 a1，b2，cosc .4(1) 求abc 的周長；(2) 求 cos(ac)的值4.在dabc 中， bc =（）求 ab 的值。p5, ac = 3, sin c = 2 sin a（）求sin(2 a -) 的值。45、 abc 的內(nèi)角 a、b、c 的對(duì)邊分別為 a、b、c，asinacsinc(1)求 b；(2)若 a75，b2，求 a，c.2asincbsinb.6、在dabc 中， a、b 為銳角，角 a、b、c 所對(duì)的邊分別為 a、b、c ，且sin a =（i） 求

11、 a + b 的值；2（ii） 若 a - b =-1 ，求 a、b、c 的值。, sin b =510510一、知識(shí)點(diǎn)（一）正弦定理： a=b=解三角形復(fù)習(xí)c= 2r, 其中 r 是三角形外接圓半徑.sin asin bsin ca=2rsina, b=2rsinb, c=2rsinca2 = b2 + c2 - 2bc cos a（二）余弦定理： b2 = a2 + c2 - 2ac cos bc2 = a2 + b2 - 2ab cos cb2 + c2 - a2a2 + c2 - b2a2 + b2 - c2由此可得： cos a =2ab, cos b =2ac, cos c =.2

12、ab注： a 2 b2 + c2 a 是鈍角； a 2 = b2 + c2 a 是直角； a 2 b2 + c2 a 是銳角；（三）三角形面積公式：（1） sa abc= 1 ab sin c = 1 bc sin a = 1 ac sin b.222題型一：正余弦定理的基本應(yīng)用：（四種題型：）（1）已知兩角一邊用正弦定理；（2）已經(jīng)兩邊及一邊對(duì)角用正弦定理；（3） 已知兩邊及兩邊的夾角用余弦定理；（4）已知三邊用余弦定理例 1、在dabc 中，已知a = 20, a = 30o c = 45o 求 b, b, c例 2已知下列各三角形中的兩邊及一角，判斷三角形是否有解，并作出解答（1） a

13、= 23, b = 6, a = 30o（2） a = 2, b =2, a = 45o（3） a = 5, b = 3, a = 120o（4） a = 3, b = 4, a = 60o例 3（1）在dabc 中，已知b 2 + c 2 = a 2 + bc ，則 a= ；3（2） 若abc 的周長等于 20，面積是10， a= 60，則邊 bc = （3） 、已知銳角三角形的邊長分別為 2、3、 x ，則 x 的取值范圍是= （4） 在abc 中，已知a 2 = b 2 + c 2 + bc ，則a = 題型二：判斷三角形的形狀例 4（1）在dabc 中，若b = a cos c 試判斷

14、dabc 的形狀。（2） 在dabc 中，若a cos a = b cos b 試判斷dabc 的形狀。（3） 在dabc 中，若a cos b = b cos a 試判斷dabc 的形狀。例 5（1） 在dabc 中，已知b 2 + c 2 = a 2 + bc ，且sin b sin c = 3 ，判斷三角形的形狀；4（2） 在dabc 中， (a + b + c)(b + c - a) = 3bc 且sin a = 2 sin b cos c ，判斷其形狀；題型三：三角形的面積的問題例 6、（1）已知中，, 求、及外接圓的半徑。（2）在 abc 中，已知2 sin b cos a = s

15、in( a + c) 3（）求角 a ； （）若 bc = 2 ， abc 的面積是，求 ab 題型四、正余弦定理的綜合應(yīng)用31、在dabc 中，角 a, b, c 的對(duì)邊分別為a, b, c, b = p， cos a = 4 , b =.35（）求sin c 的值；（）求dabc 的面積2、設(shè)abc 的內(nèi)角 a、b、c 所對(duì)的邊長分別為 a、b、c，且 a cosb=3，b sina=4（）求邊長 a；（）若abc 的面積s = 10 ，求abc 的周長l “”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, pe

16、ople who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees f