動力學理論+++多柔體系統(tǒng)動力學建模

1、2.3多柔體系統(tǒng)動力學建模2.3.1柔性體上點的位置向量、速度和加速度1柔性體系統(tǒng)中的坐標系PuiPBisiPsPriPi 0bCierier圖 2.5柔性體上節(jié)點 P 的位置柔性體系統(tǒng)中的坐標系如圖 2.5 所示，包括慣性坐標系（ er ）和動坐標系（ eb ）。前者不隨時間而變化， 后者是建立在柔性體上， 用于描述柔性體的運動。動坐標系可以相對慣性坐標系進行有限的移動和轉(zhuǎn)動。 動坐標系在慣性坐標系中的坐標（移動、轉(zhuǎn)動）稱為參考坐標。與剛體不同， 柔性體是變形體， 體內(nèi)各點的相對位置時時刻刻都在變化， 只靠動坐標系不能準確描述該柔性體在慣性坐標系中的位置， 因此，引入彈性坐標來描述柔性體上各

2、點相對動坐標系統(tǒng)的變形。 這樣柔性體上任一點的運動就是動坐標系的“剛性”運動與彈性變形的合成運動。 由于柔體上各點之間有相對運動，所以動坐標系的選擇不是采用連體坐標系， 而需要采用隨著柔性體形變而變化的坐標系，即“浮動坐標系” 。在研究多柔體系統(tǒng)時， 合適的坐標系是非常重要的。 在確定浮動坐標系時有兩點準則： 1、便于方程建立求解； 2、柔性體剛體運動與變形運動的耦合盡量小。目前常見的浮動坐標系大致有如下 5 種，局部附著框架、 中心慣性主軸框架、 蒂斯拉德框架、巴克凱恩斯框架以及剛體模態(tài)框架。采用何種需因?qū)嶋H情況而定。2柔性體上任意點的位置向量、速度和加速度在分析剛體平面運動的時候，把復(fù)雜的

3、剛體平面運動分解為幾種簡單的運動。在對柔性體的運動，尤其是在小變形的情況下，也可以采用類似的方法。如某柔性體從位置 L1 運動到位置 L2，其間運動可以分解為：剛性移動 剛性轉(zhuǎn)動 變形運動。對于柔性體上任意一點 P，其位置向量為：rr0A(spup )（ 2-158 ）r 為P 點在慣性坐標系中的向量；r0 為浮動坐標系原點在慣性坐標系中的向量；根據(jù)式 2.2- 14 ，A 為方向余弦矩陣；sp 為柔性體未變形時P 點在浮動坐標系中的向量 ; up 為相對變形向量， up 可以用不同的方法離散化，與討論平面問題相同，對于點 P ，該單元的變形采用模態(tài)坐標來描述，有：u pp qf（ 2-159

4、 ）式（2-159 ）中， p 為點P 滿足里茲基向量要求的假設(shè)變形模態(tài)矩陣，q 為變形的廣義坐標。柔性體上任一點的速度向量及加速度向量可以對式求對時間一階導數(shù)和二階導數(shù)得到：r PrA(spu)Apqf（ 2-160 ）0pr prA(spu)2ApqfApqf（ 2-161 ）0p2多柔體系統(tǒng)的能量uPP(eb )sPPBrB(er )G圖 2.6柔性體變形模型（1）動能和質(zhì)量矩陣考慮節(jié)點 P 變形前后的位置、方向和模態(tài)，柔性體的廣義坐標可以表示為： xyzqi (i1, M )TrqT（ 2-176 ）速度表達式（ 2-160 ）在系統(tǒng)廣義坐標式（ 2-176 ）的時間導數(shù) 中表示為：v

5、P IA( sp u p ) B A P （2-177 ）柔性體的動能為：T1T1TGBTGB（ 2-178 ）2vvdVmP vP vPPI PPV2P其中， mP 和 I P 分別為節(jié)點 P 的節(jié)點質(zhì)量和節(jié)點慣性張量；GBBP ，為P點 B 相對于全局坐標基的角速度在局部坐標基中的斜方陣表示。將式（2.3-20 ）和關(guān)系式PBP代入式（ 2-178 ），得到動能的廣義表達式：T1T M ( )（ 2-179 ）2上式中的質(zhì)量矩陣 M () 為 33 維的方陣，表示為：M ttM trM tmM ( )M trTM rrM rm（ 2-180 ）M tmTM rmTM mm其中下標 t ,

6、r , m 分別表示平動、旋轉(zhuǎn)和模態(tài)自由度。質(zhì)量矩陣的六個獨立分量分別表示為：M tt1 IM trA23jq j BM tmA3M rr BT 7 8j8j T（2-181 ）qj ij9qi q j BM rmBT 45j qj 6M mm其中 9 個慣性時不變矩陣列表如下：式(2.3-24)中可以明顯看出質(zhì)量矩陣與模態(tài)坐標顯性相關(guān)，而且由于引入轉(zhuǎn)換矩陣 A 和 B ，質(zhì)量矩陣也與系統(tǒng)的方向坐標顯性相關(guān)。質(zhì)量矩陣中的9 個慣性時不變矩陣19N 個節(jié)點信息在預(yù)處理過程中一 可通過計算有限元模型的次性得到，從而簡化運動微分方程的求解。節(jié)點信息包括：每個節(jié)點的質(zhì)量mP ，未變形時的位置矢量sP

7、以及模態(tài)矩陣 P 。（2）勢能和剛度矩陣勢能一般分為重力勢能和彈性勢能兩部分，可用下列二次項表示：W Wg ( )1T K（2-182 ）2在彈性勢能中， K 是對應(yīng)于模態(tài)坐標 q 的結(jié)構(gòu)部件的廣義剛度矩陣， 通常為常量。重力勢能 Wg 表示為：WgWrP gdWrB A(sPP q)T gdW（ 2-183 ）W其中 g 表示重力加速度矢量，重力f g 可對 Wg 求導得；dW gWf gWgA ( sP P q)T dW g（2-184 ） WAPT dW gW（3）能量損失和阻尼矩陣阻尼力依賴于廣義模態(tài)速度并可以從下列二次項中推導得出：1 qT Dq（ 2-185 ）2上式稱為 Rayl

8、eigh 能量損耗函數(shù)。矩陣 D 包含阻尼系數(shù) dij ，它是常值對稱陣。當引入正交模態(tài)振型時， 阻尼矩陣可用對角線為模態(tài)阻尼率 ci 的對角陣來表示。對于每一個正交模態(tài)的阻尼率都可以取不同值， 而且還能以該模態(tài)的臨界阻尼 cicr 的比值形式給出。3多柔體動力學方程柔性體的運動方程從下列拉格朗日方程導出：dLLTQ 0() dt（2-186 ） = 0其中， 為約束方程；為對應(yīng)于約束方程的拉氏乘子；為如式（ 2.3-19 ）定義的廣義坐標；Q 為投影到 上的廣義力；L 為拉格朗日項，定義為LTW ， T 和 W 分別表示動能和勢能；表示能量損耗函數(shù)。將求得的 T ,W ,代入式（ 2.3-2

9、9 ），得到最終的運動微分方程為：MM1 M TKf gDTQ（2-187 ）2其中， , 為,柔性體的廣義坐標及其時間導數(shù)；M , M 為柔性體的質(zhì)量矩陣及其對時間的導數(shù)；M 為 質(zhì) 量 矩 陣 對 柔 性 體 廣 義 坐 標 的 偏 導 數(shù) ， 它 是 一 個( M6)( M6)(M6) 維張量， M 為模態(tài)數(shù)。4.1.3多剛體系統(tǒng)運動學對于多體系統(tǒng)的運動學分析， 傳統(tǒng)的理論力學是以剛體位置、 速度和加速度的微分關(guān)系以及矢量合成原理為基礎(chǔ)進行分析的， 而計算多體系統(tǒng)動力學中的運動學分析則是以系統(tǒng)中連接物體與物體的運動副為出發(fā)點， 所進行的位置、 速度和加速度分析都是基于與運動副對應(yīng)的約束方

10、程來進行的。基于約束的多體系統(tǒng)運動學， 首先尋求與系統(tǒng)中運動副等價的位置約束代數(shù)方程，再由位置約束方程的導數(shù)得到速度、 加速度的約束代數(shù)方程， 對這些約束方程進行數(shù)值求解， 可得到廣義位置坐標及相應(yīng)的速度和加速度坐標， 最后根據(jù)坐標變換就可以由系統(tǒng)廣義坐標及相應(yīng)導數(shù)得到系統(tǒng)中任何一點的位置、 速度和加速度。由于機械系統(tǒng)在二維空間運動時， 廣義坐標、 約束方程、問題規(guī)模以及問題求解都相對簡單，故本節(jié)先討論二維多體系統(tǒng)運動學以解釋多體系統(tǒng)運動學基本理論，在此基礎(chǔ)上再給出三維多體系統(tǒng)的運動學方程。1約束方程（位置方程）設(shè)一個平面機構(gòu)由nb 個剛性構(gòu)件組成。在機構(gòu)所在平面上建立一個全局坐標系 xoy

11、，機構(gòu)在該坐標系中運動；再為機構(gòu)上每個構(gòu)件i 建立各自的連體坐標系xi oi yi ，可由連體坐標系的運動確定構(gòu)件的運動。選定構(gòu)件 i 連體坐標系原點 oi 的全局坐標ri xi , yi T 和連體坐標系相對于全局坐標系的轉(zhuǎn)角i 組成構(gòu)件i 的笛卡爾廣義坐標矢量qi xi , yi ,i T，如圖2.2 所示。由nb 個剛性構(gòu)件組成的系統(tǒng)的廣義坐標數(shù)nc3nb ，則系統(tǒng)廣義坐標矢量可表示為q q1T, qT2 ,., qTnb T 。yiixox圖 2.2 平面笛卡爾廣義坐標一個實際的機械系統(tǒng)， 系統(tǒng)中構(gòu)件與支架或構(gòu)件與構(gòu)件之間存在運動副的聯(lián)接，這些運動副可以用系統(tǒng)廣義坐標表示為代數(shù)方程。

12、設(shè)表示運動副的約束方程數(shù)為 nh ，則用系統(tǒng)廣義坐標矢量表示的運動學約束方程組為：K (q) 1K (q), 2K (q),., nhK (q)T0(2-8)這里給出的是定常完整約束情況。如果約束方程與時間相關(guān)，則自變量中顯含時間項，這種約束被稱為非定常約束； 更一般的約束方程含有不可積速度項的不等式或關(guān)系式，這種約束稱為非完整約束。 一般的運動學約束是定常完整約束。對于一個有 nc 個廣義坐標和 nh 個約束方程的機械系統(tǒng)， 若 nc nh ，且這 nh 個約束方程是獨立、相容的，則系統(tǒng)自由度 DOF nc nh 。為使系統(tǒng)具有確定運動，可以有二種方法：（1）為系統(tǒng)添加與系統(tǒng)自由度DOF相等

13、的附加驅(qū)動約束；（2）對系統(tǒng)施加力的作用。在（ 1）情況下，系統(tǒng)實際自由度為零，被稱為是在運動學上確定的，在此情況下求解系統(tǒng)運動過程中的位置、 速度和加速度的分析是運動學分析， 運動學分析本身不涉及作用力或反作用力問題。 但是對于運動學上確定的系統(tǒng)， 可以求解系統(tǒng)中約束反力，即已知運動求作用力，這是動力學逆問題。在（ 2）情況下，系統(tǒng)有著大于零的自由度，但是在外力作用力，對于具有確定構(gòu)型和特定初始條件的系統(tǒng)， 其動力學響應(yīng)是確定的， 這種情況下求解系統(tǒng)運動過程中的位置、速度和加速度的分析，稱為動力學分析。在這種情況下，特殊地，如果外力與時間無關(guān)， 可以求解系統(tǒng)的靜平衡位置， 這就是靜平衡分析問

14、題?？紤]運動學分析，為使系統(tǒng)具有確定運動， 也就是要使系統(tǒng)實際自由度為零，為系統(tǒng)施加等于自由度（ nc nh ）的驅(qū)動約束：D (q, t ) 0(2-9)在一般情況下，驅(qū)動約束是系統(tǒng)廣義坐標和時間的函數(shù)。驅(qū)動約束在其集合內(nèi)部及其與運動學約束合集中必須是獨立和相容的，在這種條件下， 驅(qū)動系統(tǒng)運動學上是確定的，將作確定運動。由式（ 2-8 ）表示的系統(tǒng)運動學約束和式（2-9 ）表示的驅(qū)動約束組合成系統(tǒng)所受的全部約束：(q, t )K (q,t)(2-10)D0(q, t)式（2-10 ）為 nc 個廣義坐標的 nc 個非線性方程組， 其構(gòu)成了系統(tǒng)位置方程。q(t)2速度和加速度方程對式 (2-1

15、0) 運用鏈式微分法則求導，得到速度方程：(q,q, t)q (q, t )qt (q,t )0(2-11)若令t (q, t)，則速度方程為(q,q, t)q (q, t )q0(2-12)如果q 是非奇異的，可以求解式(2-12)得到各離散時刻的廣義坐標速度q 。對式 (2-11)運用鏈式微分法則求導，可得加速度方程(q, q, q, t)q (q,t )q(q ( q, t) q) q q2qt(q, t )qtt (q,t )0(2-13)若令(q q)q q2qt qtt ，則加速度方程為(q,q, q, t)q(q,t )q(q, q, t)0(2-14)如果q 是非奇異的，可以求

16、解式(2-14) 得到各離散時刻的廣義坐標加速度q 。在速度方程 (2-12) 和加速度方程 (2-14) 中出現(xiàn)的矩陣q ，稱為雅可比矩陣，雅可比矩陣是約束多體系統(tǒng)運動學和動力學分析中最重要的矩陣。如果的維數(shù)為 m，q 維數(shù)為 n，那么 q 維數(shù)為 m n 矩陣，其定義為 (q ) (i , j )iqj 。這里 q 為 nc nc 的方陣。對式 (2-12) 中的和式 (2-14) 中的進行計算時，會涉及到二階導數(shù)，在實際的數(shù)值求解中， 并不是實時地調(diào)用求導算法來進行計算，而是先根據(jù)具體的約束類型，導出二階導數(shù)以及雅可比矩陣的表示式，在計算中只需代入基本的數(shù)據(jù)即可。3坐標變換與任意點運動在

17、確定系統(tǒng)中構(gòu)件上任意點的運動時，常要求將構(gòu)件上點從連體坐標系變換到全局坐標系中，現(xiàn)討論連體坐標系與全局坐標系的坐標變換及構(gòu)件上任意點運動。設(shè)矢量 s 在全局坐標系 xoy 和某連體坐標系 xi oi yi 中分別表示為：ssx , sy T(2-15)s sx , syT若任意點 P 在全局坐標系 xoy 和連體坐標系 xi oi yi 中坐標如圖2-3 所示，則存在如下坐標變換關(guān)系：r Pr sPr As P(2-16)其中， r P 為點 P 在全局坐標系中的坐標， r為連體坐標系原點 O 在全局坐標系中的坐標， sP 為矢量 s 在全局坐標系中坐標， s P 為矢量 s 在連體坐標系中的坐標， A 為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，其形式為：cossinAA( )(2-17)sincosA 對時間的導數(shù)為：Adsincos(2-18)ABdcossin根據(jù)式 (2-16) ，我們可以得到以連體坐標系表示的構(gòu)件上的任一點的全局坐標。yyyPyPPr PssPoxPxrzrroxoxz二維空間坐標變