動力學(xué)理論+++多柔體系統(tǒng)動力學(xué)建模

1、2.3多柔體系統(tǒng)動力學(xué)建模2.3.1柔性體上點(diǎn)的位置向量、速度和加速度1柔性體系統(tǒng)中的坐標(biāo)系PuiPBisiPsPriPi 0bCierier圖 2.5柔性體上節(jié)點(diǎn) P 的位置柔性體系統(tǒng)中的坐標(biāo)系如圖 2.5 所示，包括慣性坐標(biāo)系（ er ）和動坐標(biāo)系（ eb ）。前者不隨時間而變化， 后者是建立在柔性體上， 用于描述柔性體的運(yùn)動。動坐標(biāo)系可以相對慣性坐標(biāo)系進(jìn)行有限的移動和轉(zhuǎn)動。 動坐標(biāo)系在慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（移動、轉(zhuǎn)動）稱為參考坐標(biāo)。與剛體不同， 柔性體是變形體， 體內(nèi)各點(diǎn)的相對位置時時刻刻都在變化， 只靠動坐標(biāo)系不能準(zhǔn)確描述該柔性體在慣性坐標(biāo)系中的位置， 因此，引入彈性坐標(biāo)來描述柔性體上各

2、點(diǎn)相對動坐標(biāo)系統(tǒng)的變形。 這樣柔性體上任一點(diǎn)的運(yùn)動就是動坐標(biāo)系的“剛性”運(yùn)動與彈性變形的合成運(yùn)動。 由于柔體上各點(diǎn)之間有相對運(yùn)動，所以動坐標(biāo)系的選擇不是采用連體坐標(biāo)系， 而需要采用隨著柔性體形變而變化的坐標(biāo)系，即“浮動坐標(biāo)系” 。在研究多柔體系統(tǒng)時， 合適的坐標(biāo)系是非常重要的。 在確定浮動坐標(biāo)系時有兩點(diǎn)準(zhǔn)則： 1、便于方程建立求解； 2、柔性體剛體運(yùn)動與變形運(yùn)動的耦合盡量小。目前常見的浮動坐標(biāo)系大致有如下 5 種，局部附著框架、 中心慣性主軸框架、 蒂斯拉德框架、巴克凱恩斯框架以及剛體模態(tài)框架。采用何種需因?qū)嶋H情況而定。2柔性體上任意點(diǎn)的位置向量、速度和加速度在分析剛體平面運(yùn)動的時候，把復(fù)雜的

3、剛體平面運(yùn)動分解為幾種簡單的運(yùn)動。在對柔性體的運(yùn)動，尤其是在小變形的情況下，也可以采用類似的方法。如某柔性體從位置 L1 運(yùn)動到位置 L2，其間運(yùn)動可以分解為：剛性移動 剛性轉(zhuǎn)動 變形運(yùn)動。對于柔性體上任意一點(diǎn) P，其位置向量為：rr0A(spup )（ 2-158 ）r 為P 點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中的向量；r0 為浮動坐標(biāo)系原點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中的向量；根據(jù)式 2.2- 14 ，A 為方向余弦矩陣；sp 為柔性體未變形時P 點(diǎn)在浮動坐標(biāo)系中的向量 ; up 為相對變形向量， up 可以用不同的方法離散化，與討論平面問題相同，對于點(diǎn) P ，該單元的變形采用模態(tài)坐標(biāo)來描述，有：u pp qf（ 2-159

4、 ）式（2-159 ）中， p 為點(diǎn)P 滿足里茲基向量要求的假設(shè)變形模態(tài)矩陣，q 為變形的廣義坐標(biāo)。柔性體上任一點(diǎn)的速度向量及加速度向量可以對式求對時間一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得到：r PrA(spu)Apqf（ 2-160 ）0pr prA(spu)2ApqfApqf（ 2-161 ）0p2多柔體系統(tǒng)的能量uPP(eb )sPPBrB(er )G圖 2.6柔性體變形模型（1）動能和質(zhì)量矩陣考慮節(jié)點(diǎn) P 變形前后的位置、方向和模態(tài)，柔性體的廣義坐標(biāo)可以表示為： xyzqi (i1, M )TrqT（ 2-176 ）速度表達(dá)式（ 2-160 ）在系統(tǒng)廣義坐標(biāo)式（ 2-176 ）的時間導(dǎo)數(shù) 中表示為：v

5、P IA( sp u p ) B A P （2-177 ）柔性體的動能為：T1T1TGBTGB（ 2-178 ）2vvdVmP vP vPPI PPV2P其中， mP 和 I P 分別為節(jié)點(diǎn) P 的節(jié)點(diǎn)質(zhì)量和節(jié)點(diǎn)慣性張量；GBBP ，為P點(diǎn) B 相對于全局坐標(biāo)基的角速度在局部坐標(biāo)基中的斜方陣表示。將式（2.3-20 ）和關(guān)系式PBP代入式（ 2-178 ），得到動能的廣義表達(dá)式：T1T M ( )（ 2-179 ）2上式中的質(zhì)量矩陣 M () 為 33 維的方陣，表示為：M ttM trM tmM ( )M trTM rrM rm（ 2-180 ）M tmTM rmTM mm其中下標(biāo) t ,

6、r , m 分別表示平動、旋轉(zhuǎn)和模態(tài)自由度。質(zhì)量矩陣的六個獨(dú)立分量分別表示為：M tt1 IM trA23jq j BM tmA3M rr BT 7 8j8j T（2-181 ）qj ij9qi q j BM rmBT 45j qj 6M mm其中 9 個慣性時不變矩陣列表如下：式(2.3-24)中可以明顯看出質(zhì)量矩陣與模態(tài)坐標(biāo)顯性相關(guān)，而且由于引入轉(zhuǎn)換矩陣 A 和 B ，質(zhì)量矩陣也與系統(tǒng)的方向坐標(biāo)顯性相關(guān)。質(zhì)量矩陣中的9 個慣性時不變矩陣19N 個節(jié)點(diǎn)信息在預(yù)處理過程中一 可通過計算有限元模型的次性得到，從而簡化運(yùn)動微分方程的求解。節(jié)點(diǎn)信息包括：每個節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量mP ，未變形時的位置矢量sP

7、以及模態(tài)矩陣 P 。（2）勢能和剛度矩陣勢能一般分為重力勢能和彈性勢能兩部分，可用下列二次項表示：W Wg ( )1T K（2-182 ）2在彈性勢能中， K 是對應(yīng)于模態(tài)坐標(biāo) q 的結(jié)構(gòu)部件的廣義剛度矩陣， 通常為常量。重力勢能 Wg 表示為：WgWrP gdWrB A(sPP q)T gdW（ 2-183 ）W其中 g 表示重力加速度矢量，重力f g 可對 Wg 求導(dǎo)得；dW gWf gWgA ( sP P q)T dW g（2-184 ） WAPT dW gW（3）能量損失和阻尼矩陣阻尼力依賴于廣義模態(tài)速度并可以從下列二次項中推導(dǎo)得出：1 qT Dq（ 2-185 ）2上式稱為 Rayl

8、eigh 能量損耗函數(shù)。矩陣 D 包含阻尼系數(shù) dij ，它是常值對稱陣。當(dāng)引入正交模態(tài)振型時， 阻尼矩陣可用對角線為模態(tài)阻尼率 ci 的對角陣來表示。對于每一個正交模態(tài)的阻尼率都可以取不同值， 而且還能以該模態(tài)的臨界阻尼 cicr 的比值形式給出。3多柔體動力學(xué)方程柔性體的運(yùn)動方程從下列拉格朗日方程導(dǎo)出：dLLTQ 0() dt（2-186 ） = 0其中， 為約束方程；為對應(yīng)于約束方程的拉氏乘子；為如式（ 2.3-19 ）定義的廣義坐標(biāo)；Q 為投影到 上的廣義力；L 為拉格朗日項，定義為LTW ， T 和 W 分別表示動能和勢能；表示能量損耗函數(shù)。將求得的 T ,W ,代入式（ 2.3-2

9、9 ），得到最終的運(yùn)動微分方程為：MM1 M TKf gDTQ（2-187 ）2其中， , 為,柔性體的廣義坐標(biāo)及其時間導(dǎo)數(shù)；M , M 為柔性體的質(zhì)量矩陣及其對時間的導(dǎo)數(shù)；M 為 質(zhì) 量 矩 陣 對 柔 性 體 廣 義 坐 標(biāo) 的 偏 導(dǎo) 數(shù) ， 它 是 一 個( M6)( M6)(M6) 維張量， M 為模態(tài)數(shù)。4.1.3多剛體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)對于多體系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)分析， 傳統(tǒng)的理論力學(xué)是以剛體位置、 速度和加速度的微分關(guān)系以及矢量合成原理為基礎(chǔ)進(jìn)行分析的， 而計算多體系統(tǒng)動力學(xué)中的運(yùn)動學(xué)分析則是以系統(tǒng)中連接物體與物體的運(yùn)動副為出發(fā)點(diǎn)， 所進(jìn)行的位置、 速度和加速度分析都是基于與運(yùn)動副對應(yīng)的約束方

10、程來進(jìn)行的?；诩s束的多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)， 首先尋求與系統(tǒng)中運(yùn)動副等價的位置約束代數(shù)方程，再由位置約束方程的導(dǎo)數(shù)得到速度、 加速度的約束代數(shù)方程， 對這些約束方程進(jìn)行數(shù)值求解， 可得到廣義位置坐標(biāo)及相應(yīng)的速度和加速度坐標(biāo)， 最后根據(jù)坐標(biāo)變換就可以由系統(tǒng)廣義坐標(biāo)及相應(yīng)導(dǎo)數(shù)得到系統(tǒng)中任何一點(diǎn)的位置、 速度和加速度。由于機(jī)械系統(tǒng)在二維空間運(yùn)動時， 廣義坐標(biāo)、 約束方程、問題規(guī)模以及問題求解都相對簡單，故本節(jié)先討論二維多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)以解釋多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)基本理論，在此基礎(chǔ)上再給出三維多體系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)方程。1約束方程（位置方程）設(shè)一個平面機(jī)構(gòu)由nb 個剛性構(gòu)件組成。在機(jī)構(gòu)所在平面上建立一個全局坐標(biāo)系 xoy

11、，機(jī)構(gòu)在該坐標(biāo)系中運(yùn)動；再為機(jī)構(gòu)上每個構(gòu)件i 建立各自的連體坐標(biāo)系xi oi yi ，可由連體坐標(biāo)系的運(yùn)動確定構(gòu)件的運(yùn)動。選定構(gòu)件 i 連體坐標(biāo)系原點(diǎn) oi 的全局坐標(biāo)ri xi , yi T 和連體坐標(biāo)系相對于全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角i 組成構(gòu)件i 的笛卡爾廣義坐標(biāo)矢量qi xi , yi ,i T，如圖2.2 所示。由nb 個剛性構(gòu)件組成的系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)數(shù)nc3nb ，則系統(tǒng)廣義坐標(biāo)矢量可表示為q q1T, qT2 ,., qTnb T 。yiixox圖 2.2 平面笛卡爾廣義坐標(biāo)一個實(shí)際的機(jī)械系統(tǒng)， 系統(tǒng)中構(gòu)件與支架或構(gòu)件與構(gòu)件之間存在運(yùn)動副的聯(lián)接，這些運(yùn)動副可以用系統(tǒng)廣義坐標(biāo)表示為代數(shù)方程。

12、設(shè)表示運(yùn)動副的約束方程數(shù)為 nh ，則用系統(tǒng)廣義坐標(biāo)矢量表示的運(yùn)動學(xué)約束方程組為：K (q) 1K (q), 2K (q),., nhK (q)T0(2-8)這里給出的是定常完整約束情況。如果約束方程與時間相關(guān)，則自變量中顯含時間項，這種約束被稱為非定常約束； 更一般的約束方程含有不可積速度項的不等式或關(guān)系式，這種約束稱為非完整約束。 一般的運(yùn)動學(xué)約束是定常完整約束。對于一個有 nc 個廣義坐標(biāo)和 nh 個約束方程的機(jī)械系統(tǒng)， 若 nc nh ，且這 nh 個約束方程是獨(dú)立、相容的，則系統(tǒng)自由度 DOF nc nh 。為使系統(tǒng)具有確定運(yùn)動，可以有二種方法：（1）為系統(tǒng)添加與系統(tǒng)自由度DOF相等

13、的附加驅(qū)動約束；（2）對系統(tǒng)施加力的作用。在（ 1）情況下，系統(tǒng)實(shí)際自由度為零，被稱為是在運(yùn)動學(xué)上確定的，在此情況下求解系統(tǒng)運(yùn)動過程中的位置、 速度和加速度的分析是運(yùn)動學(xué)分析， 運(yùn)動學(xué)分析本身不涉及作用力或反作用力問題。 但是對于運(yùn)動學(xué)上確定的系統(tǒng)， 可以求解系統(tǒng)中約束反力，即已知運(yùn)動求作用力，這是動力學(xué)逆問題。在（ 2）情況下，系統(tǒng)有著大于零的自由度，但是在外力作用力，對于具有確定構(gòu)型和特定初始條件的系統(tǒng)， 其動力學(xué)響應(yīng)是確定的， 這種情況下求解系統(tǒng)運(yùn)動過程中的位置、速度和加速度的分析，稱為動力學(xué)分析。在這種情況下，特殊地，如果外力與時間無關(guān)， 可以求解系統(tǒng)的靜平衡位置， 這就是靜平衡分析問

14、題?？紤]運(yùn)動學(xué)分析，為使系統(tǒng)具有確定運(yùn)動， 也就是要使系統(tǒng)實(shí)際自由度為零，為系統(tǒng)施加等于自由度（ nc nh ）的驅(qū)動約束：D (q, t ) 0(2-9)在一般情況下，驅(qū)動約束是系統(tǒng)廣義坐標(biāo)和時間的函數(shù)。驅(qū)動約束在其集合內(nèi)部及其與運(yùn)動學(xué)約束合集中必須是獨(dú)立和相容的，在這種條件下， 驅(qū)動系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)上是確定的，將作確定運(yùn)動。由式（ 2-8 ）表示的系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)約束和式（2-9 ）表示的驅(qū)動約束組合成系統(tǒng)所受的全部約束：(q, t )K (q,t)(2-10)D0(q, t)式（2-10 ）為 nc 個廣義坐標(biāo)的 nc 個非線性方程組， 其構(gòu)成了系統(tǒng)位置方程。q(t)2速度和加速度方程對式 (2-1

15、0) 運(yùn)用鏈?zhǔn)轿⒎址▌t求導(dǎo)，得到速度方程：(q,q, t)q (q, t )qt (q,t )0(2-11)若令t (q, t)，則速度方程為(q,q, t)q (q, t )q0(2-12)如果q 是非奇異的，可以求解式(2-12)得到各離散時刻的廣義坐標(biāo)速度q 。對式 (2-11)運(yùn)用鏈?zhǔn)轿⒎址▌t求導(dǎo)，可得加速度方程(q, q, q, t)q (q,t )q(q ( q, t) q) q q2qt(q, t )qtt (q,t )0(2-13)若令(q q)q q2qt qtt ，則加速度方程為(q,q, q, t)q(q,t )q(q, q, t)0(2-14)如果q 是非奇異的，可以求

16、解式(2-14) 得到各離散時刻的廣義坐標(biāo)加速度q 。在速度方程 (2-12) 和加速度方程 (2-14) 中出現(xiàn)的矩陣q ，稱為雅可比矩陣，雅可比矩陣是約束多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析中最重要的矩陣。如果的維數(shù)為 m，q 維數(shù)為 n，那么 q 維數(shù)為 m n 矩陣，其定義為 (q ) (i , j )iqj 。這里 q 為 nc nc 的方陣。對式 (2-12) 中的和式 (2-14) 中的進(jìn)行計算時，會涉及到二階導(dǎo)數(shù)，在實(shí)際的數(shù)值求解中， 并不是實(shí)時地調(diào)用求導(dǎo)算法來進(jìn)行計算，而是先根據(jù)具體的約束類型，導(dǎo)出二階導(dǎo)數(shù)以及雅可比矩陣的表示式，在計算中只需代入基本的數(shù)據(jù)即可。3坐標(biāo)變換與任意點(diǎn)運(yùn)動在

17、確定系統(tǒng)中構(gòu)件上任意點(diǎn)的運(yùn)動時，常要求將構(gòu)件上點(diǎn)從連體坐標(biāo)系變換到全局坐標(biāo)系中，現(xiàn)討論連體坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換及構(gòu)件上任意點(diǎn)運(yùn)動。設(shè)矢量 s 在全局坐標(biāo)系 xoy 和某連體坐標(biāo)系 xi oi yi 中分別表示為：ssx , sy T(2-15)s sx , syT若任意點(diǎn) P 在全局坐標(biāo)系 xoy 和連體坐標(biāo)系 xi oi yi 中坐標(biāo)如圖2-3 所示，則存在如下坐標(biāo)變換關(guān)系：r Pr sPr As P(2-16)其中， r P 為點(diǎn) P 在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)， r為連體坐標(biāo)系原點(diǎn) O 在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)， sP 為矢量 s 在全局坐標(biāo)系中坐標(biāo)， s P 為矢量 s 在連體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)， A 為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，其形式為：cossinAA( )(2-17)sincosA 對時間的導(dǎo)數(shù)為：Adsincos(2-18)ABdcossin根據(jù)式 (2-16) ，我們可以得到以連體坐標(biāo)系表示的構(gòu)件上的任一點(diǎn)的全局坐標(biāo)。yyyPyPPr PssPoxPxrzrroxoxz二維空間坐標(biāo)變