4-3-6燕尾定理.學(xué)生版

1、燕尾定理：在三角形ABC中，AD9 BE, CF相交于同一點(diǎn)6 那么S.Sco=BD:DC.上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)锳ABO和A4CO的形狀很象燕子的尾巴，所以這 個(gè)定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何 一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.通過一道例題證明一下燕尾定理：如右圖，D是BC上任意一點(diǎn),請(qǐng)你說明：S、；S嚴(yán)SjS嚴(yán)BD:DC【解析】三衛(wèi)形BED與三色形CED同鬲,分別以刃入DC為底，所以有SjS4=BD:DC ;三角形ABE與三角形啟）同鬲，S：S嚴(yán)ED.EA;三角形

2、ACE與三角形 CED 同高,S4:S,=ED:EA9 所以 S:S,=S2:S3;綜上可得 S:S4=S2:S3=BD:DC 【例1】 如右圖，三角形ABC中，BD:DC = 4:9, CE:E4 = 4:3,求AF: FB【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:DC = 3:4, AE:CE = 5:6f求AF.FB.AoED【鞏固】如圖，BD:DC = 2:3,AE:CE = 5:3.則【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD: DC = 2:3、4:CE = 5:4,求AF:FB【例2】 如圖，三角形A3C被分成6個(gè)三角形，已知其中4個(gè)三角形的面積，問三角形ABC的面積是多少?【例3】 如圖

3、，三角形A3C的面積是1, E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在3C匕 且BD: DC = 1:2, AD與BE交 于點(diǎn)F則四邊形DFEC的面積等于【鞏固】如圖，已知BD = DC, EC = 2AE,三角形初C的面積是30,求陰影部分面積.【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是200cnr , E在AC上,點(diǎn)D在BC上,且AE:EC = 3:5,BD:DC = 2:39 AD與BE交于點(diǎn)F.則四邊形DFEC的面積等于【鞏固】如圖，已知BD = 3DC, EC = 2AE9處與CD相交于點(diǎn)O,則ABC被分成的4部分面積各占ABC面積的幾分之幾?【鞏固】如圖所示，在ABC中,CP今CB，CQ呂C4,與廿相交于點(diǎn)X

4、,若ABC的面積為6,JJ則AABX的面積等于【鞏固】兩條線段把三角形分為三個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，如圖所示, 則陰影四邊形的面積是多少？三個(gè)三角形的面積分別是3, 7, 7,AA【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是1, BD二= 2DC CE = 2AE9的面積各是多少？AAbZDCDCAD與處相交于點(diǎn)F,請(qǐng)寫出這4部分【鞏固】如圖，E在AC上，D在3C上，且AE: EC = 2:3,BD:DC = 1:2, AD與BE交于點(diǎn)F 四邊形DFC 的面積等于22 cnr ,則三角形ABC的面積【鞏固】三角形ABC中，C是直角，已知AC = 2, CD = 2, CB = 3, AM = BM,那么三

5、角形AMN（陰影 部分）的面積為多少？AA【例4】 如圖所示，在厶？中，BE:EC = 3：X D是AE的中點(diǎn)，那么AF:FC=AE:EC = 3:9 求OB:OE = 2【鞏固】在A4BC中，BD: DC = 3:2 A【鞏固】在AABC中，BD:DC = 2:9AE:EC=:39 求OB:OE = ?【例5】 如圖9,三角形BAC的面積是1, E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BC上，且BD:DC=1:2, AD與BE交I)于點(diǎn)F,則四邊形DEFC的面積等于【例6】 如圖1,中，點(diǎn)E在AB ,點(diǎn)F在AC , 與CE相交于點(diǎn)P,如果HFP = 4 9PCSpi|邊彫.4日忻【例7】 如圖4.三角形田地中

6、有兩條小路AE和CF,交叉處為D,張大伯常走這兩條小路，他知道DF= DC,且AD=2DE.則兩塊田地ACT和CFB的面積比是。a【例8】 如圖，長方形ABCD的面積是2平方厘米，EC = 2DE,尸是DG的中點(diǎn).陰影部分的面積是多少 平方厘米？【例9】如圖所示，在四邊形ABCD中，AB = 3BE, AD = 3AF 9四邊形AEOF的面積是12,那么平行四 邊形BODC的面積為.【例10】ABCQ是邊長為12厘米的正方形，E. F分別是AB. BC邊的中點(diǎn)，A”與CE交于G,貝U四邊 形AGCD的面積是平方厘米.【例11】如圖，正方形ABCQ的面積是120平方厘米，是仙的中點(diǎn)，F(xiàn)是sc的中

7、點(diǎn)，四邊形的 面積是平方厘米.【例如圖，四邊形遊。是矩形，E、F分別是加、菟上的點(diǎn)，且皿扣CF-BC,處與CE相交于G,若矩形ABCD的面積為120,則AAEG與ACGF的面積之和為【例13】正六邊形人，A2,九，人的面積是2009平方厘米，BB“ B分別是正 六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是【例U平方穌與方是兩個(gè)正方形的邊長，求心b = ?已知四邊形ABCD9 CHFG為正方形,Smi:Sa=1:8,【例15】右圖的大三角形被分成5個(gè)小三角形，其中4個(gè)的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中，那么，陰影三角形的面積 是【例16】如右圖，三角形ABC中.AF:FB = BD:DC = CE:AE = 3

8、:29且三角形ABC的面積是1 則三角形ABE的面積為,三角形AGE的面積為,三角形GH/的面積為AA【鞏固】如右圖，三角形ABC中，AF:FB = BD:DC = CE:AE = 3:2,且三角形GM的面積是1,求三角形 ABC的面積.【鞏固】如圖，A4BC中BD = 2DA, CE = 2EB 倍.AF = 2FC ,那么AABC的面積是陰影三角形面積的【鞏固】如圖在簫碁護(hù)護(hù)GM的面積ABC勺而積的值.的值.【鞏固】如圖在沁中,養(yǎng)診詈冷求GM的而枳ABM而枳4【鞏固】如右圖，三角形A3C中.AF:FB = BD:DC = CE:AE = 4:39且三角形ABC的面積是74 求角形GM 的面

9、積.【例17】三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點(diǎn)，為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn),求陰影部分的面 積.【例18】如右圖，中，G是AC的中點(diǎn)，D. E. F是邊上的四等分點(diǎn)，AD與BG交于M , AF 與BG交于N,已知AABM的面積比四邊形FCGN的面積大7.2平方厘米，則/MBC的面積是多 少平方厘米？【鞏固】如圖，AABC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)職F是邊BC的三等分點(diǎn)，若AABC的面積為1,那么 四邊形CDMF的面積是.AA【例19】如圖，等腰直角三角形DEF的斜邊在等腰直角三角形ABC的斜邊上，連接AE、AD. AF9于是 整個(gè)圖形被分成五塊小三角形.圖中已標(biāo)出其中三塊的面積，那么AABC的面積是(36)【例20】如圖，三角形ABC的面積是1, 寫出這9部分的面積各是多少？BD = DE=ECCF = FG = GA.三角形ABC被分成9部分，請(qǐng)【鞏固】如圖，AA3C的面積為1,點(diǎn)6邊形丿K/H的面積是多少？E是3C邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F. G是AC邊的三等分點(diǎn)，那么四【例 21】 如右圖，面積為 1 的 ZVIBC 中，BD:DE:EC = :2:9 CF: F