二元一次不等式組及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題含解

1、（六）二元一次不等式（組）及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1.不等式組$x+ 3y 4,Qx + yW4所表示的平面區(qū)域的面積等于 （）a.22B.34C.33D.4解析：選C平面區(qū)域如圖所示.x+ 3y= 4, 解3x+ y= 4.得 A(1,1),易得00,4),4|BC = 4 - 3=184所以 & ABC= 2X 3 X 1 = .2不等式(x 2y+ 1)( x + y 3) 0（用陰影部分表示）應(yīng)是在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域ABCD解析：選 C (x 2y + 1)( x + y 3) 0,或 x 2y+ 10,x + y 3 0.3. (2019 杭州高三質(zhì)檢)若

2、實(shí)數(shù)x,則()A. z 0C. 3 z5畫出圖形可知選C.2x+ 3y 90,y滿足不等式組*設(shè)zx 2y1 0,B . 0 z5.4.點(diǎn)（一2, t）在直線2x 3y+ 6 = 0的上方，貝U t的取值范圍是解析：因?yàn)橹本€2x 3y+ 6 = 0的上方區(qū)域可以用不等式 2x 3y+ 6v 0表示，所以由點(diǎn)(2, t)在直線 2x 3y + 6 = 0 的上方得一4 3t + 6v 0,解得t |.5. （2019 溫州四校聯(lián)考）若實(shí)數(shù)x, y滿足約束條件X 0,x + y w 2,、2x yw 2,則可行域的面積,z = 2x+ y的最大值為解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,

3、得4x= 3,2y= 3，所以，2，易得 IBC = 4,所以可行域的面積s=4x 3=3.由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z = 2x+ y所表示的直線過點(diǎn),3時(shí)，z取得最大值且zmax4 210=2X 3+3=亍8 一 3-二保咼考，全練題型做到咼考達(dá)標(biāo)y 1,1. （2018 金華四校聯(lián)考）已知實(shí)數(shù)x, y滿足yW2x 1, | x + yw m如果目標(biāo)函數(shù) z= x yA. 7C. 4解析：選B畫出x, y滿足的可行域如圖中陰影部分所示，可得直線y = 2x 1與直線x + y = m的交點(diǎn)使目標(biāo)函數(shù)z = x- y取得最.,y = 2x 1，耐 12 m- 1 小、小值，由*解得 x = -,

4、y =-,代入 x y= 1,x+y= m33m+ 12m- 1m= 5.選 B.2.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組 域的面積等于2，則a的值為()A. 5C. 2,+ y 1 0,x 1W 0,(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)ax y+10B . 1D . 3解析：選D因?yàn)閍x y + 1= 0的直線恒過點(diǎn)(0,1)，故看作直線繞點(diǎn)(0,1)旋轉(zhuǎn)，不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示陰影部分厶ABC由題意可求得 A(0,1) , B(1,0) , C1 , a+ 1),abc= 2, BC= | a+ 1| , BC邊上的高為 AD= 1,1Sabc= x| a+1| x 1 = 2,解得 a= 5

5、或 3,當(dāng)a= 5時(shí)，可行域不是一個(gè)封閉區(qū)域, 當(dāng)a = 3時(shí)，滿足題意，選 D.3. (2017 浙江新高考研究聯(lián)盟)過點(diǎn)F( 1,1)的光線經(jīng)x軸上點(diǎn)A反射后，經(jīng)過不等x 2y+ 4 0,式組x + y 2 0,所表示的平面區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)(記為E)，則|PA + IAB的取值范圍是、3x+ y 9W0( )A. (2 .2, 5)B . 2.2, 5C. 2,5D . 2 2, 5)x 2y+4 0,解析：選B不等式組x + y 20,所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，(3x + y 9 0,4.（2018 浙江名校聯(lián)考）設(shè)x, y滿足+ y 20,若z= 2x + y的最大值為7,ax y

6、 a 1，顯然a= 0不符合題意作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖1或圖2中陰影部分所示，作直線2x + y= 0,平移該直線，易知，當(dāng)平移到過直線x+ y 2 = 0與ax y a= 0的交點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，由x+ y 2= 0, ax y a= 0,x = 得；y=a+ 2a+1,aa+ 1a+ 2丨 x=a+ 1 把丫=上a+ 1代入 2x + y=2 得 a= 1.圈1的2法二：由z= 2x+ y存在最大值，可知a 1,顯然a= 0不符合題意.作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖 1或圖2中陰影部分所示，作直線 2x+ y= 0，平移該直線，易知,當(dāng)平移到過直線x + y 2 = 0與

7、ax y a = 0的交點(diǎn)時(shí)，z取得最大值7 ,由+ y2 = 0,x = 2，1$7得“2x + y = ,1J = 2，3把5. (2018 余杭地區(qū)部分學(xué)校測(cè)試X = 2,1代入 ax y a= 0，得 a= 1.)若函數(shù)y= f(x)的圖象上的任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X,y),且滿足條件| x| | y| ,則稱函數(shù)f( x)具有性質(zhì)S,那么下列函數(shù)中具有性質(zhì) S的是()xA. f (x) = e 1C. f (x) = sin xB . f(x) = ln( x + 1)2D . f(x) = |x 1|解析：選C作出不等式|x| |y|所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部 分所示，若函數(shù)f(x

8、)具有性質(zhì)S,則函數(shù)f(x)的圖象必須完全分布在 陰影區(qū)域和部分，易知f (x) = e 1的圖象分布在區(qū)域和部分， f (x) = ln( X+ 1)的圖象分布在區(qū)域和部分，f (x) = Sin x的圖象分布在區(qū)域和部分，f(x) = | x2 1|的圖象分布在、和部分，故選6.當(dāng)實(shí)數(shù)x+ 2y 4W 0,x, y 滿足 x y 1 w0,x1時(shí)，1w ax+ y4恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由1 ax+ y0且在A(1,0)處取得最小值， 在政2,1)處取得最大值，所以 a 1,且2a+14,故a的取值范圍 是 |1, I .答案：

9、1, |7 .(2018 金麗衢十二校聯(lián)考)若實(shí)數(shù)x , y滿足x y1 0,y + 1 0,則一的取值范圍為x + 1y 0,-x 3y + 60,&(2018 金華十校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x, y滿足mx- y 3 0,解析：作出所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,x 3y+ 6 0,2x y 30/ X*9$畫廠 2 二 D易得A(3,3)161令 a = x+ 5y 6,即卩 y = x + + a,5 55顯然當(dāng)直線過A（3,3）時(shí)，a取得最大值，此時(shí)a= 12,當(dāng)直線過B3,和,a取得最小值，此時(shí)8a= 3又z = |a|，所以z的最大值為12.x 3y + 6= 0,由方程組mx- y

10、 3= 0,得A6m+ 3，3m 1，x+ y 2 = 0, mx- y 3= 0,如圖，易得D（0， 3）,所以 S A B” C= S A CDB” CD=2x 5X活 i= 30,即 9吊+ 6m- 8= 0,所以 m= 34或m= 3（舍去）.32答案：122部).如圖所示.9.已知D是以點(diǎn)A(4,1),氏一1, - 6) , C( 3,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括邊界與內(nèi)(1)寫出表示區(qū)域 D的不等式組. 設(shè)點(diǎn)B( 1, 6) , C( 3,2)在直線4x 3y a= 0的異側(cè),的取值范圍.解： 直線 AB, AC； BC的方程分別為 7x 5y 23= 0, x+ 7y 11 =

11、0,4 x+ y+ 10= 0.r7x 5y 23 0.(2)根據(jù)題意有4 x ( 1) 3X ( 6) a4 x ( 3) 3X 2 a 0,即(14 a)( 18 a) 0,解得18 a 1,10.若x, y滿足約束條件 仔y 1,L2x y 2.1 1(1)求目標(biāo)函數(shù)z = x y+的最值; 若目標(biāo)函數(shù)z = ax+ 2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，求 a的取值范圍.a .1 - 2，解得4 a解：(1)作出可行域如圖，可求得A(3,4) , B(0,1) , C(1,0)1 1平移初始直線 y+ 2= 0,過A(3,4)取最小值2,過C(1,0)取最大值1.所以z的最大值為1 ,最小

12、值為2. 直線ax+ 2y= z僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，由圖象可知故所求a的取值范圍為(一4,2).三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校0,y w 2x+ 6,則x+ 3y的最大值為；若x2+ 4y2w a恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為y w x,解析：作出不等式組 y0,y w 2x+ 6所表示的平面區(qū)域如圖 1中陰影部分所示,由圖1可知，當(dāng)u= x+ 3y過點(diǎn)A（2 , 2）時(shí),u = X+ 3y 取得最大值Umax= 2+ 3X 2= 8.w x.令x = x , 2y= y，則原不等式組等價(jià)于尹w 2x+ 6,2x y 0, 即y 0,4x + y 12w 0,作出可行域如圖2中陰影部分所

13、示，由圖 2可知,y 2的最大值為原點(diǎn)到點(diǎn)B（2,4）的距離的平方,易得|OEB2= 22+ 42= 20 ,所以a的最小值為20.答案：8202.某工廠投資生產(chǎn)利潤(rùn)300萬元；投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)一百噸需要資金200萬元，需場(chǎng)地200 m2，可獲每生產(chǎn)一百噸需要資金300萬元，需場(chǎng)地100卅，可獲1 400萬元，場(chǎng)地900 m2,問：應(yīng)做怎樣的組合投資，B產(chǎn)品時(shí),利潤(rùn)200萬元現(xiàn)某單位可使用資金可使獲利最大?資金（百萬兀）場(chǎng)地（百平方米）利潤(rùn)（百萬兀）A產(chǎn)品（百噸）223B產(chǎn)品（百噸）312限制149解：先將題中的數(shù)據(jù)整理成下表,然后根據(jù)此表設(shè)未知數(shù)，列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品y百噸，利潤(rùn)為S百萬元,2x+ 3y w 14,則約束條件為 2x+ y w 9,x0, y0,It目標(biāo)函數(shù)S= 3X + 2y.作出可行域如