高等數(shù)學(xué)下冊(cè)試題及答案解析

1、. 高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）試卷（一）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）1、 =的定義域?yàn)镈= 。2、二重積分的符號(hào)為 。3、由曲線及直線，所圍圖形的面積用二重積分表示為 ，其值為 。4、設(shè)曲線L的參數(shù)方程表示為則弧長(zhǎng)元素 。5、設(shè)曲面為介于及間的部分的外側(cè)，則 。6、微分方程的通解為 。7、方程的通解為 。8、級(jí)數(shù)的和為 。二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）1、二元函數(shù)在處可微的充分條件是（ ） （A）在處連續(xù)；（B），在的某鄰域內(nèi)存在；（C） 當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮??；（D）。2、設(shè)其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則等于（ ）（A）； （B）； (C)； (D)0 。3、設(shè)：則三重積分等于（ ）（A）4；（B）；

2、（C）；（D）。4、球面與柱面所圍成的立體體積V=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。5、設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成，L取正向，函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 （A）； （B）； （C）； （D）。6、下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）（A） 方程是三階微分方程；（B） 方程是一階微分方程；（C） 方程是全微分方程；（D） 方程是伯努利方程。7、已知曲線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線與直線平行，而 滿足微分方程，則曲線的方程為（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。8、設(shè) , 則（ ） （A）收斂； （B）發(fā)散； （C）不一定； （D）絕對(duì)收斂。三、求解下列問(wèn)題（共計(jì)15分）1、

3、（7分）設(shè)均為連續(xù)可微函數(shù)。，求。2、（8分）設(shè)，求。四、求解下列問(wèn)題（共計(jì)15分）。1、計(jì)算。（7分）2、 計(jì)算，其中是由所圍成的空間閉區(qū)域（8分）。5、 （13分）計(jì)算，其中L是面上的任一條無(wú)重點(diǎn)且分段光滑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的封閉曲線的逆時(shí)針?lè)较颉?6、 （9分）設(shè)對(duì)任意滿足方程，且存在，求。七、（8分）求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。 高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）試卷（二）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）1、設(shè)，則 。2、 。3、設(shè)，交換積分次序后， 。4、設(shè)為可微函數(shù)，且則 。 5、設(shè)L為取正向的圓周，則曲線積分 。6、設(shè)，則 。7、通解為的微分方程是 。8、設(shè)，則它的Fourier展開(kāi)式中的 。二、選擇題（每小題

4、2分，共計(jì)16分）。1、設(shè)函數(shù) ,則在點(diǎn)（0，0）處（ ） （A）連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在； （B）連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在； （C）不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在； （D）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。2、設(shè)在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足 及 ，則（ ） （A）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的內(nèi)部； （B）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上； （C）最大值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在D的邊界上； （D）最小值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在D的邊界上。3、設(shè)平面區(qū)域D：，若，則有（ ） （A）； （B） ； （C）； （D）不能比較。4、設(shè)是由曲面及 所圍成的空間區(qū)域，則 =（ ） （A）； （B）； （C） ； （D）。

5、5、設(shè)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為 ，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且， 則曲線積分（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D)。6、設(shè)是取外側(cè)的單位球面， 則曲面積分 =（ ）(A) 0 ； (B) ； (C) ； (D)。7、下列方程中，設(shè)是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ） (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。8、設(shè)級(jí)數(shù)為一交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則（ ） (A)該級(jí)數(shù)必收斂； (B)該級(jí)數(shù)必發(fā)散；(C)該級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散； (D)若，則必收斂。三、求解下列問(wèn)題（共計(jì)15分） 1、（8分）求函數(shù)在點(diǎn)A（0，1，0）沿A指向點(diǎn)B（3，-2，2）的方向的方向?qū)?shù)。 2、（7分

6、）求函數(shù)在由直線所圍成的閉區(qū)域D上的最大值和最小值。四、求解下列問(wèn)題（共計(jì)15分） 1、（7分）計(jì)算，其中是由及 所圍成的立體域。 2、（8分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，定義，其中，求。五、求解下列問(wèn)題（15分） 1、（8分）求，其中L是從A（a，0）經(jīng)到O（0，0）的弧。 2、（7分）計(jì)算，其中是 的外側(cè)。六、（15分）設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并使曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，求函數(shù)。 高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）試卷（三）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）1、設(shè)， 則 。 2、函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處沿的方向?qū)?shù)= 。 3、設(shè)為曲面所圍成的立體，如果將三重積分化為先對(duì)再對(duì)最后對(duì)三次積分，則I= 。 4、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則 ，

7、其中。 5、 ，其中。 6、設(shè)是一空間有界區(qū)域，其邊界曲面是由有限塊分片光滑的曲面所組成，如果函數(shù)，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則三重積分與第二型曲面積分之間有關(guān)系式： ， 該關(guān)系式稱為 公式。 7、微分方程的特解可設(shè)為 。 8、若級(jí)數(shù)發(fā)散，則 。二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分） 1、設(shè)存在，則=（ ） （A）；（B）0；（C）2；（D）。 2、設(shè)，結(jié)論正確的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。3、若為關(guān)于的奇函數(shù)，積分域D關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)稱部分記為，在D上連續(xù)，則（ ） （A）0；（B）2；（C）4； (D)2。 4、設(shè)：，則=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。5、設(shè)在面內(nèi)

8、有一分布著質(zhì)量的曲線L，在點(diǎn)處的線密度為，則曲線弧的重心的坐標(biāo)為（ ）（）=； （B）=； （C）=； （D）=, 其中M為曲線弧的質(zhì)量。、設(shè)為柱面和在第一卦限所圍成部分的外側(cè)，則 曲面積分（ ）（A）0； （B）； （C）； （D）。、方程的特解可設(shè)為（ ）（A），若； （B），若；（C），若；（D），若。、設(shè)，則它的Fourier展開(kāi)式中的等于（）（A）； （B）0； （C）； （D）。3、 （分）設(shè)為由方程 確定的的函數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。4、 （分）在橢圓上求一點(diǎn)，使其到直線的距離最短。5、 （分）求圓柱面被錐面和平面割下部分的面積。六、（分）計(jì)算，其中為球面 的部分的外側(cè)。

9、7、 （10分）設(shè)，求。八、（10分）將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)。 高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）試卷（四）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）1、由方程所確定的隱函數(shù)在點(diǎn)（1，0，-1）處的全微分 。2、橢球面在點(diǎn)（1，1，1 ）處的切平面方程是 。3、設(shè)D是由曲線所圍成，則二重積分 。4、設(shè)是由所圍成的立體域，則三重積分= 。5、設(shè)是曲面介于之間的部分，則曲面積分 。 6、 。7、已知曲線上點(diǎn)M(0,4)處的切線垂直于直線，且滿足微分方程，則此曲線的方程是 。8、設(shè)是周期T=的函數(shù)，則的Fourier系數(shù)為 。二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）1、函數(shù)的定義域是（ ）（A）； （B）； （C）； （D） 。

10、2、已知曲面在點(diǎn)P處的切平面平行于平面，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）（A）（1，-1，2）； （B）（-1，1，2）；（C）（1，1，2）； （D）（-1，-1，2）。 3、若積分域D是由曲線及所圍成，則=（ ）（A） ； （B） ；（C） ； （D）。4、設(shè) ， 則有（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。5、設(shè)為由曲面及平面所圍成的立體的表面，則曲面積分=（ ）（A）； （B）； （C）； （D）0 。、設(shè)是球面表面外側(cè)，則曲面積分（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。、一曲線過(guò)點(diǎn)(e,1)，且在此曲線上任一點(diǎn)的法線斜率，則此曲線方程為（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。、冪級(jí)數(shù)

11、的收斂區(qū)間為（）（A）（-1，1）； （B）； （C）（-1，1）； （D）-1，1。三、（分）已知函數(shù)，其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求 的值。四、（分）證明：曲面上任意點(diǎn)處的切平面與三坐標(biāo)面所圍成立體的體積為一定值。五、（分）求拋物面的切平面，使得與該拋物面間并介于柱面內(nèi)部的部分的體積為最小。六、（分）計(jì)算，其中為由（，）至（，）的那一弧段。七、（分）求解微分方程=0 。八、（分）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。 高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）試卷（五）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）1、設(shè)是由方程所確定的二元函數(shù)，則 。、曲線在點(diǎn)（，）處的切線方程是 。、設(shè)是由，則三重積分 。、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)且，將二次積分化為定

12、積分為 。、曲線積分與積分路徑無(wú)關(guān)的充要條件為 。、設(shè)為，則 。、方程的通解為 。、設(shè)級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散，則級(jí)數(shù)必是 。二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）、設(shè)，在點(diǎn)（，）處，下列結(jié)論（ ）成立。（）有極限，且極限不為0； （）不連續(xù)；（）； （）可微。、設(shè)函數(shù)有，且，則=（ ）（）；（）；（）；（）。、設(shè)：，在D上連續(xù)，則在極坐標(biāo)系中等于（ ）（）； （）；（）；（）。、設(shè)是由及所圍成，則三重積分（） ；（） ；（） ；（） 。、設(shè)是由所圍立體表面的外側(cè)，則曲面積分 （）0； （）1； （）3； （）2。、以下四結(jié)論正確的是（ ）（） ；（） （） ；（） 以上三結(jié)論均錯(cuò)誤。、設(shè)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)

13、，。并設(shè)曲線積分與積分路徑無(wú)關(guān)，則（）；（）；（）；（）。 、級(jí)數(shù)的和等于（ ）（）2/3；（）1/3；（）1；（）3/2。三、求解下列問(wèn)題（共計(jì)分）、（分）設(shè)求。、 （分）設(shè)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。四、求解下列問(wèn)題（共計(jì)分）、（分）計(jì)算，其中。、 （分）計(jì)算，其中。五、（分）確定常數(shù)，使得在右半平面上，與積分路徑無(wú)關(guān)，并求其一個(gè)原函數(shù)。6、 （分）將函數(shù)展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)。7、 （分）求解方程。 高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）試卷（六）一、單選題（共15分，每小題3分）1設(shè)函數(shù)在的兩個(gè)偏導(dǎo)， 都存在，則 ( )A在連續(xù) B在可微 C 及 都存在 D存在2若，則等于（ ） 3設(shè)是圓柱面及平面所圍成的區(qū)域，則） 4

14、 4若在處收斂，則此級(jí)數(shù)在處（ ） A 條件收斂 B 絕對(duì)收斂 C 發(fā)散 D 斂散性不能確定5曲線在點(diǎn)（1，1，2）處的一個(gè)切線方向向量為（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空題（共15分，每小題3分） 1設(shè)，則 .2交 換的積分次序后，_3設(shè)，則在點(diǎn)處的梯度為 .4. 已知，則 .5. 函數(shù)的極小值點(diǎn)是 .三、解答題（共54分，每小題6-7分）1.（本小題滿分6分）設(shè), 求,.2.（本小題滿分6分）求橢球面的平行于平面的切平面方程，并求切點(diǎn)處的法線方程3. （本小題滿分7分）求函數(shù)在點(diǎn)處沿向量方向的方向?qū)?shù)。4. （本小

15、題滿分7分）將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并求收斂域。5（本小題滿分7分）求由方程所確定的隱函數(shù)的極值。6（本小題滿分7分）計(jì)算二重積分及圍成.7.（本小題滿分7分）利用格林公式計(jì)算，其中是圓周（按逆時(shí)針?lè)较颍?8.（本小題滿分7分）計(jì)算，其中是由柱面及平面所圍成且在第一卦限內(nèi)的區(qū)域.四、綜合題（共16分，每小題8分）1（本小題滿分8分）設(shè)級(jí)數(shù)都收斂，證明級(jí)數(shù)收斂。2（本小題滿分8分）設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，證明曲線積分與路徑無(wú)關(guān)若對(duì)任意的恒有，求的表達(dá)式高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）試卷（一）參考答案一、1、當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；2、負(fù)號(hào)； 3、； 4、；5、180； 6、；7、； 8、1；二、1、D； 2、D；

16、 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C；三、1、；2、；四、1、；2、；五、令則，； 于是當(dāng)L所圍成的區(qū)域D中不含O（0，0）時(shí)，在D內(nèi)連續(xù)。所以由Green公式得：I=0；當(dāng)L所圍成的區(qū)域D中含O（0，0）時(shí)，在D內(nèi)除O（0，0）外都連續(xù)，此時(shí)作曲線為，逆時(shí)針?lè)较颍⒓僭O(shè)為及所圍成區(qū)域，則六、由所給條件易得： 又 = 即 即 又 即 七、令，考慮級(jí)數(shù) 當(dāng)即時(shí)，亦即時(shí)所給級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)即或時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)的半徑為R=1，收斂區(qū)間為1，3。高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）試卷（二）參考答案一、1、1； 2、-1/6； 3、 ； 4、；5、； 6、；

17、7、； 8、0；二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C；三、1、函數(shù)在點(diǎn)A（1，0，1）處可微，且； 而所以,故在A點(diǎn)沿方向?qū)?shù)為： + 2、由得D內(nèi)的駐點(diǎn)為且， 又 而當(dāng)時(shí)， 令得 于是相應(yīng)且 在D上的最大值為，最小值為四、1、的聯(lián)立不等式組為所以 2、在柱面坐標(biāo)系中 所以 五、1、連接，由公式得：2、作輔助曲面 ，上側(cè)，則由Gauss公式得： += = = 六、由題意得：即特征方程，特征根對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：又因?yàn)槭翘卣鞲９势涮亟饪稍O(shè)為：代入方程并整理得：即 故所求函數(shù)為：高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）試卷（三）參考答案一、1、； 2、； 3、；4、； 6、

18、，公式； 7、 8、。二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于，由上兩式消去，即得： 四、設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線的距離為 ；令，于是由： 得條件駐點(diǎn)： 依題意，橢圓到直線一定有最短距離存在，其中即為所求。五、曲線在面上的 投影為 于是所割下部分在面上的投影域?yàn)椋海?由圖形的對(duì)稱性，所求面積為第一卦限部分的兩倍。 六、將分為上半部分和下半部分， 在面上的投影域都為：于是： ； ， =七、因?yàn)?，?所以 八、 又 高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）試卷（四）參考答案一、1、；2、； 3、； 4、； 5、；6、； 7、；8、； 二、1、C； 2、C；

19、 3、A； 4、D； 5、A； 6、B； 7、A； 8、C三、 故四、設(shè)是曲面上的任意點(diǎn)，則， 在該點(diǎn)處的法向量為： 于是曲面在點(diǎn)處的切平面方程為：+=0即+=1因而該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的立體的體積為：這是一個(gè)定值，故命題得證。 五、由于介于拋物面，柱面及平面之間的立體體積為定值，所以只要介于切平面，柱面及平面之間的立體體積為最大即可。 設(shè)與切于點(diǎn)，則的法向量為，且，切平面方程為： 即 于是 則由，得駐點(diǎn)（1，0） 且 由于實(shí)際問(wèn)題有解，而駐點(diǎn)唯一，所以當(dāng)切點(diǎn)為（1，0，5）時(shí)，題中所求體積為最小。此時(shí)的切平面為：六、聯(lián)接，并設(shè)由L及所圍成的區(qū)域?yàn)镈，則 七、令，則，于是原方程可化為： 即，其通解為 即故原方程通解為：八、易求得該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為，令，則注意到，高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）試卷（五）參考答案一、1、；2、；3、；4、； 5、對(duì)任意閉曲線，或或使得； 6、； 7、； 8、發(fā)散二、1、C； 2、B； 3、A； 4、C； 5、C； 6、B； 7、D； 8、A三、1、；2、 。四、1、因?yàn)榉e分域D關(guān)于對(duì)稱，所以故 = ；2、+ 因?yàn)殛P(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱，而都（至少）關(guān)于某個(gè)變量為奇函數(shù)，故以這些項(xiàng)為被積函數(shù)的三重積分都等于0。于是： 。五、令 則 ，