題直線與圓的位置關(guān)系與圓中有關(guān)計算分析

1、 直線與圓的位置關(guān)系與圓中相關(guān)計算 第一部分 題目分析一、 題型特點：1、 難度系數(shù)：北京中考20題近三年難度系數(shù)2011年0.622012年0.532013年0.72直線與圓的位置關(guān)系與圓中相關(guān)計算是每年北京中考的必考題型，題目位置為第20題（特別值得注意是今年中考說明中要求，統(tǒng)計題目21題將與20題圓題目互換位置，即圓題目位置變?yōu)?1題位置），共兩問，分值為5分，近三年考題難度系數(shù)為0.62、0.53、0.72，為中等難度，13年因為第二問計算量的降低難度大幅下降,這也是以后中考命題的大方向。相比較函數(shù)綜合題（23題）來說，圓的綜合題比較開放，解決圓的問題不僅需要運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)，還需要三

2、角形、四邊形、三角函數(shù)、全等、相似等很多相關(guān)知識，另外需要學(xué)生對各種基本圖形都要很熟悉，對勾股定理和三角函數(shù)的計算、基礎(chǔ)輔助線的做法也要得心應(yīng)手，綜合性很強(qiáng)。此題具有較好的區(qū)分度，結(jié)合題目位置，能否做出此題對學(xué)生考試后半段的情緒影響很大.順利答好圓的綜合題，是總分過百的有力保障。2、20092013第20題知識點總結(jié)：20092013第20題知識點總結(jié)年份220122013題號2020202020內(nèi)容切線的判定，圓的性質(zhì)；相似三角形，解直角三角形切線判定，圓的性質(zhì)；在圓中構(gòu)造直角三角形、解直角三角形切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理推論；解直角三角形切線的判定與性質(zhì)；相似三角形解直角三角形圓的切線的

3、性質(zhì)，圓的有關(guān)基本性質(zhì)；三角函數(shù)從近五年第20題可以看出第一問09、10只涉及到切線的判定，從11年開始添加切線的性質(zhì)，到13年只考了切線的性質(zhì)；第二問每年都涉及到解直角三角形，09、12年還考到了相似三角形。3、中考說明中的變化：就考試內(nèi)容要求上與去年沒有變化，A、B、C級考點各一個。但是，題目位置由原來的第20題的位置變動到第21題位置，與統(tǒng)計題目互換?？荚噧?nèi)容考試要求ABC直線與圓的位置關(guān)系了解直線與圓的位置關(guān)系；了解切線的概念，理解切線與過切點的半徑之間的關(guān)系；會過圓上一點畫圓的切線；了解切線長的概念能判斷直線與圓的位置關(guān)系；會根據(jù)切線長的知識解決簡單的問題；能利用直線與圓的位置關(guān)系解

4、決簡單問題能解決與切線有關(guān)的問題4、學(xué)生存在問題：學(xué)生已經(jīng)全面復(fù)習(xí)了圓的相關(guān)知識，能夠應(yīng)用這些知識比較順利地解決圓的切線的證明問題，并且能夠在分析過程中有依據(jù)地選擇輔助線。但是由于學(xué)生的分析、推理能力不是很強(qiáng)，一部分學(xué)生不熟悉圓中的直角三角形、相似的基本圖形，只有少部分學(xué)生能夠靈活運(yùn)用解直角三角形、三角函數(shù)和相似三角形解題，因此大部分學(xué)生對解決中考20題中的第二問圓中求線段問題還有一定的困難。二、主要解題思路（思想方法）方程思想、勾股定理（逆定理）利用三角形相似計算線段長度、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用。三、基本輔助線做法：1.作平行線（垂線）構(gòu)造相似三角形；2.角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊

5、距離相等3.作垂線段，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理、銳角三角函數(shù).第二部分 題目類型1.圓的切線的證明；2. 圓的切線的性質(zhì)（角度推理）；3. 圓中相關(guān)計算。第三部分 例題講解一、圓的切線的證明： 圓的切線的證明是重點考試內(nèi)容，從09-12年都考了切線的證明（13年改為證明角相等），所以要格外重視。特別是輔助線的添加有時也占1分，這是每個學(xué)生都能拿到的分?jǐn)?shù)。常見的有關(guān)切線的添加輔助線的方法有：有切點連半徑證垂直；無切點作垂直證半徑。1、有值計算來加減：例1.（10北京）20. 已知：如圖，在中，是邊上一點，過三點， （1）求證：直線是的切線；涉及考點：切線判定，圓的性質(zhì)；分析： 本類題目屬于圓

6、中切線證明中的相對簡單的類型。當(dāng)給定了特殊角度時，利用特殊角度進(jìn)行計算，湊出想要證明的切線與過切點的半徑夾角為90，即可運(yùn)用切線的判定定理證明出切線.解答：(1) 證明：OD=OC，DOC=90，ODC=OCD=45， DOC=2ACD=90，ACD=45，ACD+OCD=OCA=90， 點C在圓O上，直線AC是圓O的切線.反思：重點指導(dǎo)如果想證明切線，先看圓心與切點有無連線，若沒有連線，先添加輔助線，得到1分。若類似本類題目給出了特殊角度值，想辦法進(jìn)行倒角計算，湊出90。練習(xí)如圖，點A，B，C分別是O上的點，B=60，AC=3，CD是O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP=AC （1）求證

7、：AP是O的切線；解答：連接OA B=60，AOC=120，又OA=OC，ACO=OAC=30，AOP=60，AP=AC，P=ACP=30，OAP=90，OAAP，又OA為半徑AP是O的切線，2、無值推證或化一：例2. （11北京）20. 如圖，在ABC，以AB為直徑的O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且.（1）求證：直線BF是O的切線；涉及考點：切線的判定，圓周角定理推論；分析：本題與第一類題目的對比，難度有一定提升，題目沒有給出特殊角度值，但是給出了一些角的等量關(guān)系，可以通過等角傳遞的方法，推證出90，再運(yùn)用切線的判定定理證明出切線.解答： 證明：連結(jié).是O的直徑，. .

8、 即. 是O的直徑， 直線是O的切線反思：本類題型難點在于利用題目給出的角度的一些等量關(guān)系進(jìn)行倒角，如果不能直接倒出直角，需要觀察圖形添加輔助線，利用圓中的一些基本定理構(gòu)造一些基本圖形。常見基本圖形練習(xí)1：（09北京）20已知： 如圖，在ABC中， AB=AC， AE是角平分線，BM平分ABC交AE于點M，經(jīng)過B、M兩點的O交BC于點G，交AB 于點F， FB恰為O的直徑（1） 求證：AE與O相切；解答：證明：連結(jié)OM，則OMOB12BM平分ABC，1323OMBCAMOAEB在ABC中ABAC，AE是角平分線，AEBCAEB90AMO90OMAEAE與O相切常見基本圖形練習(xí)2：（12北京）已

9、知：如圖，是的直徑，是上一點，于點，過點作的切線，交 的延長線于點，連結(jié)（1）求證：與相切；解答：證明：連結(jié). 與相切，為切點. 直線是線段的垂直平分線. 是的直徑. 與相切.常見基本圖形練習(xí)3：（10一模）20已知：如圖，AB為O的直徑，O過AC的中點D，DEBC于點E（1）求證：DE為O的切線；解答：證明：連接OD，AC的中點D，AB的中點OODBC，DEBC，DODE， DE為O的切線;方法合一：未知化一、方程思想。其實（類型一）之所簡單，是因為有特殊角度值可以直接通過一些加減運(yùn)算。那么，對于復(fù)雜問題的（類型二）無特殊角度值時，也可以通過設(shè)未知數(shù)的方法，把相關(guān)角度用含未知數(shù)的式子表示出來

10、，就可以也類比（類型一）進(jìn)行加減運(yùn)算，使問題得以解決。二、圓的切線的性質(zhì)（角度推理）：例3.（13北京）如圖，AB是O的直徑，PA，PC分別與O 相切于點A，C，PC交AB的延長線于點D，DEPO交PO的延長線于點E.（1）求證：EPD=EDO涉及考點：圓的切線的性質(zhì)，切線長定理，圓的有關(guān)基本性質(zhì)； 分析： 本題是利用切線長定理證明角相等，再利用有一組角相等的八字形得到另一組角相等的基本圖形進(jìn)行倒角。解答：（1） PA 、 PC 與O分別相切于點 A、 C APO = EPD 且 PA AO 即 PAO = 90 AOP = EOD ， PAO = E = 90 APO = EDO即 EPD

11、= EDO反思：對于中考20題中第（1）問中的圓的切線問題，不要思維定式一定會考圓的切線的判定，從06-13年中考中可以看出，從只涉及圓的切線的判定到利用圓的切線的性質(zhì)證明圓的切線，到13年，不考切線的判定只考切線的性質(zhì)，今年的中考是考切線的判定還是性質(zhì)未知，所以要對切線全面復(fù)習(xí)。練習(xí)1：已知：如圖，AB是O的直徑，AC是弦，CD是O的切線，C為切 點，ADCD于點D求證：（1）AOC=2ACD；解答：（1）連接BCAB是直徑ACB900CAB+ABC900OAOCOCACABOCA+ABC900CD切圓O于COCD900OCA+ACD900ACDABCOAOBABCOCBAOCABC+OCB

12、2ABCAOC2ACD練習(xí)2：如圖，AB為O的直徑，C為O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，AD交O于點E.（1）求證：AC平分DAB；解答：（1）如圖1，連接OC，CD為O的切線，OCCD， OCD90，ADCD，ADC90， OCDADC180， ADOC， 12， OAOC， 23， 13，即AC平分DAB；三、圓中相關(guān)計算：例4. （11北京）20. 如圖，在ABC，以AB為直徑的O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且.（2） 若，求BC和BF的長.涉及考點：切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理推論；解直角三角形.分析：求圓中線段長是20題第（2）問的必考內(nèi)容，題目

13、綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生具有解決幾何問題的綜合能力和基本圖形的識圖能力。這就需要學(xué)生通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形，利用相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理等相關(guān)內(nèi)容計算出線段長。G解法一：作CGBF，把BF分成BG和FG兩部分，在BCG中可以用CBF的正弦和BC直接求BG，而FG則可以用相似或者三角函數(shù)構(gòu)造方程來解決.H解法二：作CHAB于H，容易求出CH和AH長（面積法或三角函數(shù)），再利用相似即可求出BF.M解法三：作FMBC交BC延長線于M，可以觀察到基本的八字相似圖形，并且由CBF的正弦值應(yīng)能夠想到其正切值為1/2，進(jìn)而由MCFMFB建立方程.N解法四：作FNBF交BC延長線于N，能夠容易看出基

14、本圖形CFNCAB，從而得到FN與CN的比，設(shè)參數(shù)，用CBF的正弦構(gòu)造方程.解法五：連接BD，得到雙垂直圖，面積法求得BD和AD的長，再在大三角形中求BF.P解法六：作APBF交BC的延長線于P，解RtABP，求得AP、CP，再由ACPFCB求得BF.反思：圓中求線段長，實質(zhì)就是在一些圖形里計算邊長，常用的圖形一般為三角形（四邊形也可轉(zhuǎn)化為三角形），在直角三角形中用勾股定理或銳角三角函數(shù)，在一般三角形用相似或等腰等邊三角形的一些相關(guān)性質(zhì)。所以，學(xué)生在構(gòu)造輔助線時可嘗試構(gòu)造垂線的直角三角形或構(gòu)造八字形或A字形等特殊基本圖形的方法即可得解。練習(xí)：（12朝陽）已知：如圖，在ABC中，點D在AC上，DA=DB，C=DBC，以AB為直徑的交AC于點E，F(xiàn)是