固體物理學(xué)：第五章 第八節(jié) 等離激元與準(zhǔn)電子

1、第五章 金屬電子論,5.8 等離激元與準(zhǔn)電子,金屬電子論是建立在獨(dú)立電子基礎(chǔ)上的。布洛赫定理實(shí)質(zhì)上是一個(gè)關(guān)于單粒子波函數(shù)的定理，電子-晶格和電子-電子的相互作用歸結(jié)為周期勢(shì)場(chǎng)，而電子-電子之間的相互作用只是在平均場(chǎng)范疇加以考慮。 如果考慮晶格周期勢(shì)場(chǎng)中的多粒子問(wèn)題，情況將變得十分復(fù)雜。下面我們將討論為什么對(duì)金屬而言，獨(dú)立電子的假設(shè)仍然是一個(gè)可以接受的理論,一、等離激元,電子與電子之間的相互作用是庫(kù)倫勢(shì)，具有長(zhǎng)程作用，即電子并非僅銅它們的最近鄰有相互作用。這就是考慮電子-電子相互作用效應(yīng)的一個(gè)嚴(yán)重困難。 在宏觀尺度上，力的長(zhǎng)程性可借助晶體的局部非電中性引起的電場(chǎng)表現(xiàn)出來(lái)，這意味著難以處理的相互作

2、用的長(zhǎng)程力部分，可近似用純粹的宏觀方法處理,考慮一個(gè)自由電子氣模型，分散的正離子被極端地涂抹成不動(dòng)而又均勻的陽(yáng)電荷背景，即電子能夠很自由地在其中的一種“凝膠”。 我們需要這種凝膠，是為了保持系統(tǒng)電中性。這就是金屬的自由電子氣凝膠模型。這個(gè)系統(tǒng)是一種等離子體，因?yàn)槠渲泻姓姾膳c負(fù)電荷濃度相等，而兩種電荷中至少有一種是可遷移的,正電荷的密度等于平均電子的電荷密度： 由于電子可動(dòng)，實(shí)際電子密度寫(xiě)成(r,t)，那么局部的非電中性產(chǎn)生的電場(chǎng)E滿(mǎn)足： 電場(chǎng)下，電子被加速： 這里忽略了導(dǎo)致歐姆定律的碰撞效應(yīng),為了求解電荷分布，需要電荷守恒定律： 把速度同電荷密度聯(lián)系起來(lái)，如果,這個(gè)式子對(duì)變量 是線性的,將

3、5.8.3對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并利用5.8.1和5.8.2，得到 即,上式是一個(gè)角頻率為p的諧振子方程，它表明來(lái)自均勻點(diǎn)和密度的任一擾動(dòng)都以頻率p振蕩。由于庫(kù)倫勢(shì)的長(zhǎng)程性，電子-電子之間的關(guān)聯(lián)將在這集體運(yùn)動(dòng)中表現(xiàn)出來(lái),上面只給了長(zhǎng)波極限時(shí)的振蕩頻率，更詳細(xì)的理論可以給出等離子振蕩的色散關(guān)系。 金屬中的等離子集體振蕩起源于電子間的庫(kù)倫力的長(zhǎng)程部分。由于庫(kù)倫勢(shì)是縱場(chǎng)，所以它是一種縱等離子體振蕩，即電荷密度波,縱等離子體振蕩的量子 稱(chēng)為等離激元。對(duì)于一般的金屬，取 得到,它是一個(gè)高于金屬費(fèi)米能的能量量子。因此金屬中的等離子體振蕩不是通常溫度下的正常受激。 當(dāng)一束高能電子束穿透金屬薄膜時(shí)，可以激發(fā)等離子振蕩，

4、測(cè)量電子束的能量損失譜可以得到以 為周期的振蕩曲線,典型的碰撞弛豫時(shí)間： 因此前面忽略碰撞時(shí)一個(gè)好的近似,二、電子氣的個(gè)別激發(fā),等離激元是金屬電子氣的集體激發(fā)，除此之外還存在電子的個(gè)別激發(fā)。電子氣的基態(tài)可描述為費(fèi)米球內(nèi)所有狀態(tài)均被電子占據(jù)，而球外是全空的。 費(fèi)米球內(nèi)k態(tài)電子被激發(fā)到k+q的空狀態(tài)時(shí)，則產(chǎn)生一個(gè)k+q的電子和一個(gè)k的空穴。這種電子和空穴對(duì)的個(gè)別激發(fā)的能量滿(mǎn)足,受到泡利原理的限制，波矢應(yīng)滿(mǎn)足 當(dāng) 時(shí)，費(fèi)米球內(nèi)只有部分電子可以被激發(fā)到球外。如圖所示,激發(fā)能量的界限是 當(dāng) 時(shí)，費(fèi)米球內(nèi)所有電子被激發(fā)。 能量界限是,式5.8.10和5.8.11可以畫(huà)出電子、空穴對(duì)的激發(fā)區(qū)域,圖中也畫(huà)出了

5、等離激元的色散曲線，qc為集體激發(fā)與個(gè)別激發(fā)區(qū)的交點(diǎn)，當(dāng)qqc時(shí)， ，可以證明等離子集體激發(fā)是不穩(wěn)定的。 因此僅僅在長(zhǎng)波范圍0qc，只有個(gè)別對(duì)激發(fā),三、靜電屏蔽、準(zhǔn)電子,等離激元源于電子-電子庫(kù)倫相互作用的長(zhǎng)程部分之后，金屬電子間的有效互作用只能由庫(kù)侖勢(shì)的短程部分提供。 由于電子之間的庫(kù)倫排斥，它將排開(kāi)周?chē)碾娮?，這樣電子周?chē)恼姾赡z背景將暴露出來(lái)，形成一個(gè)正電荷的屏蔽云，它將隨電子一起運(yùn)動(dòng)。這種裹著屏蔽云一起運(yùn)動(dòng)的電子稱(chēng)為準(zhǔn)電子。 準(zhǔn)電子間的相互作用不再是裸勢(shì)，而是屏蔽勢(shì),現(xiàn)在討論屏蔽勢(shì)的具體形式。考慮一個(gè)處于傳導(dǎo)電子海洋中的一個(gè)點(diǎn)電荷 q(r),它在空間r處產(chǎn)生的勢(shì)為(r)。假設(shè)和電子

6、的德布羅意波相比，勢(shì)是r的緩變勢(shì)，即電子感受到的靜電勢(shì)在很大范圍內(nèi)近似為常量。這就是所謂的托馬斯-費(fèi)米近似。 在此近似下，r處的電子密度可以寫(xiě)為 f(E)為費(fèi)米分布函數(shù)，N(E)為能態(tài)密度,很小時(shí)，5.8.12可近似寫(xiě)為： n為平均電子密度，并應(yīng)用了 由此得到r處的點(diǎn)電荷q(r)以及它所誘導(dǎo)的電荷導(dǎo)致的有效點(diǎn)和密度為,它所長(zhǎng)生的勢(shì)由泊松方程決定 將 做傅里葉展開(kāi),代入5.8.15可以得到 的傅里葉變換 將5.8.18代回5.8.16，得到任何浸沒(méi)在自由電子氣的電荷所產(chǎn)生的勢(shì),這種形式的勢(shì)稱(chēng)為湯川(Yukawa)勢(shì)。它表明浸沒(méi)在電子氣的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的勢(shì)比它在真空中的裸勢(shì)多了一個(gè)屏蔽因子： 該電荷將

7、在 距離內(nèi)被屏蔽，為屏蔽長(zhǎng)度,電子氣的屏蔽效應(yīng)使得金屬中電子之間的庫(kù)倫相互作用變成短程相互作用， 對(duì)于一般金屬，取 得到 因此金屬中的準(zhǔn)電子可以近似看成相互獨(dú)立的,另一方面， ，系統(tǒng)中電子的濃度越大，屏蔽效應(yīng)越強(qiáng)，電子之間的關(guān)聯(lián)越弱。在高電子濃度下，電子系統(tǒng)的費(fèi)米動(dòng)能大于庫(kù)倫相互作用，這是電子處于擴(kuò)展態(tài)，使之在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)。 隨著電子濃度降低，庫(kù)倫相互作用大于費(fèi)米動(dòng)能。 早在20世紀(jì)30年代，維格納 (Wigner) 就從理論上指出，在低電子濃度下，電子之間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)將促使電子局域化，使之在均勻正電荷的背景下形成規(guī)則排列的晶格，稱(chēng)為維格納晶格。有序晶格的形成在能量上是有利的,知道1979年，人

8、們才在液氦表面的二維電子氣中觀測(cè)到六角形的維格納晶格的存在。1990年，人們?cè)诎雽?dǎo)體反型層中的二維電子氣系統(tǒng)中找到維格納晶格存在的證據(jù)。三維電子氣的維格納晶格在實(shí)驗(yàn)上始終未觀測(cè)到，理論上預(yù)計(jì)它應(yīng)具有體心立方結(jié)構(gòu)。 電子氣的屏蔽效應(yīng)同樣適用于晶格中的正離子，每個(gè)離子的強(qiáng)大庫(kù)倫勢(shì)也被傳導(dǎo)電子所屏蔽，這也是點(diǎn)陣對(duì)電子的實(shí)際影響要比我們料想的小的原因之一,綜上所述，對(duì)于足夠大的電子濃度，屏蔽效應(yīng)使得電子-電子，電子-晶格之間的關(guān)聯(lián)很弱，以致阻止束縛態(tài)的形成，隨著電子濃度減小到某個(gè)臨界值，束縛態(tài)將形成。人們認(rèn)為金屬態(tài)到絕緣態(tài)的轉(zhuǎn)變是一個(gè)突變，即所謂的莫特轉(zhuǎn)變,四、等離子體中的橫振動(dòng),上面討論的等離激元對(duì)應(yīng)于等離子體的縱振動(dòng)，我們也可以考慮橫向振動(dòng)。例如電子波穿過(guò)金屬的情況，由于電磁場(chǎng)是橫場(chǎng)： 由5.8.1有 所以橫向擾動(dòng)激發(fā)的等離子體橫振蕩并非密度波。對(duì)于這種情況，方程5.8.1和5.8.4都是無(wú)足輕重的，此時(shí)加速方程5.8.2必須銅麥克斯韋方程一起求解,利用J=-nev，得到,應(yīng)用了 并且 就是等離激元頻率,方程5.8.23是普遍成立的，對(duì)于縱振動(dòng)， 實(shí)質(zhì)上我們導(dǎo)出了方程5.8.6。對(duì)于現(xiàn)在要討論的橫振動(dòng)， 方程5.8.23變成,其中應(yīng)用了矢量算符恒等式,方程5.8.24具有類(lèi)波解 其中 我們也可以得到介電函數(shù),由此可見(jiàn)，如果電磁波的頻率 ，則 波矢k是虛數(shù)，這樣的電磁波不能在金