固體物理：3-6晶格熱容的量子理論

1、3-6晶格熱容的量子理論Quantum theory of lattice thermal capacity,一、晶格熱容理論（ CV）； 二、晶格熱容CV計算模型； . 愛因斯坦(Einstein)模型； . 德拜(P.Debye)模型,一、晶格熱容理論（CV,固體的熱容量是原子振動在宏觀性質上的一個最直接的表現(xiàn)。實驗表明： 在室溫和更高的溫度下，幾乎全部單原子固體的熱容接近3NkB，即杜隆珀替定律； 在低溫情況下，固體比熱容與T3成比例，漸趨于零,按照熱力學定律,晶體的比熱容,按與溫度的關系，內能E由兩部分構成：一部分內能與溫度無關，另一部分內能與溫度有關絕緣體與溫度有關的內能就是晶格振動

2、能量對于金屬，與溫度有關的內能由兩部分構成：一部分是晶格振動能，另一部分是價電子的熱動能,固體熱容主要來自兩部分貢獻,一是來源于晶格熱振動，稱為晶格熱容； 是固體熱容的主要貢獻，是本節(jié)的主要討論內容； 一是來源于電子熱運動，稱電子熱容； 一般貢獻很小，除非在很低溫度情況下,求解CV的一般方法,第一步：寫出 的表達式； 第二步：代入公式計算CV,其中， 是指固體的平均內能,固體中的熱容一般指定容比熱容CV，在熱力學中,杜隆珀替定律,根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計理論的能量均分定理，每個簡諧振動的平均能量為kBT，kB是玻耳茲曼常數(shù)。設體系有N個原子，則有3N個簡諧振動模式，則總的平均能量為,則晶格熱容為,低溫下晶

3、格比熱下降,為了解決這一矛盾，愛因斯坦發(fā)展了普朗克量子假說，第一次提出了量子熱容量理論,表明：晶格熱容是一個與溫度和材料性質無關的常數(shù)。這條規(guī)律在高溫時，與實驗符合得很好，但在低溫時，熱容不再保持為常數(shù)，而是隨T下降而很快趨于0。如圖“低溫下晶格比熱下降”所示,低溫下晶格比熱下降,1）晶體平均能量E,1）U表示原子靜止在平衡位置時的晶體能量； （2）后一項是晶格振動能量，其中nj是一個振動模式的平均聲子數(shù),量子熱容理論,簡諧振動的能量本征值為,2）一個簡諧振動（頻率為j）對CV的貢獻,量子熱容理論,3）晶格總熱容,設晶體中包括N個原子，共有3N個簡諧振動模式，則,可見,但是，對于具體晶體計算出

4、3N個簡正頻率往往是十分復雜的。在一般討論時常采用這樣兩個模型：愛因斯坦(Einstein)模型和德拜(p.Debye)模型,二、計算晶格熱容CV的理論模型,Einstein模型,模型要點： （1）認為晶體中所有原子都以相同的頻率振動，設為0，即忽略了色散關系的存在。 （2）晶格振動能量是量子化的。 體系規(guī)定： N個原子組成的三維晶體，共有3N個頻率為0的振動,Einstein模型的計算,Einstein模型的討論,高溫情況（E,所以,Einstein模型的討論,2）低溫情況（E,結論： (1)T趨近于0時的理論結果與實際符合較好； (2)T處于低溫段時，實驗值與理論不符； 實驗結論： CV（

5、低溫）T3,Einstein模型的評價,前提假設過于簡單 Einstein把固體中各原子的振動看成是相互獨立的，因而體系的3N個振動 頻率是相同的。實際上,1）固體中原子之間存在著很強的相互作用，一個原子不可能孤立地振動，而不牽連鄰近原子,2）晶格振動產(chǎn)生的格波頻率值是不完全相同的，而是有一定的分布情況,頻率 為的格波地平均熱振動能,格波的振動能與頻率的關系曲線,1、頻率越高，其熱振動能越小 2、當溫度很低時，低頻格波的振動能占整個晶格振動能的以上 說明，要在甚低溫下使理論與實驗相符，應主要考慮長聲學格波的貢獻,紅外光頻率,按照愛因斯坦溫度定義可估計出愛因斯坦頻率,Debye模型在處理晶格振動

6、時考慮到 了頻率分布問題，即對晶格采取一個很簡 單的近似模型（把晶格當作彈性介質來處 理的），得到近似的頻率分布函數(shù),P.Debye模型,模型要點： （1）用連續(xù)介質中的彈性波替代格波，即以彈性波的色散關系(q)=Cq替代晶格格波的色散關系 (q); （2）認為晶體中只存在三支彈性波，二支橫波和一支縱波，其色散關系分別為： t(q)=Ctq和l(q)=Clq。 體系規(guī)定： N個原子組成，共有3N個晶格振動模,Debye模型,一)Debye模型的理論計算 1、頻率分布函數(shù)g()及gD() ； 2、晶格平均能量； 3、晶格比熱容CV。 (二)Debye模型的討論 1、高溫情況； 2、低溫情況； 3

7、、評價,一)Debye模型的理論計算,1、頻率分布函數(shù)g(,定義：把單位頻率間隔內的振動模式數(shù)或狀態(tài)數(shù)稱為振動的頻率分布函數(shù)或振動模的態(tài)密度函數(shù)，又稱為模密度或狀態(tài)密度，記作g()。 若用dn表示到+ d范圍內的模式數(shù)，則有,Debye模型的頻率分布函數(shù)gD(,對于縱波：=Clq,其等值面為一球面，設q到q+dq范圍內的模式總數(shù)為dnl，q空間的q的分布密度為,則,又由于,所以,Debye模型的頻率分布函數(shù)gD(,2、晶格平均能量,公式,確定積分上下限,對于彈性波,格波并非彈性波，情況如何呢,2、晶格平均能量,對于格波：N個原子，自由度為3N（并非無限）； Debye做如下假設：大于m的波不存

8、在，即m以下的振動?？蓱脧椥圆▉斫铺幚?，而不存在大于m的振動模。那么m稱為Debye截止頻，其值受到晶體總振動模式數(shù)目的限制,2、晶格平均能量,則,計算晶格比熱容公式,3、晶格比熱容CV,3、晶格比熱容CV,二)Debye模型的討論,CV與T之間關系如何呢？我們分別進行討論,1、高溫情況,條件：高溫(TD,討論,二)Debye模型的討論-高溫情況,與杜隆珀替定律一致,2、低溫情況,條件：低溫(T D,討論,二)Debye模型的討論- 低溫情況,二)Debye模型的討論- 低溫情況,符合實驗結果,稱為 德拜T3定律,可見,實際上T3定律一般只適用于大約 的范圍內,3、Debye模型的評價,D

9、ebye理論與實驗比較（實驗點是鐿的測量值） 即P130圖3-23,的測定方法,a)實驗測定聲速,b)實驗測定比熱,由比熱公式反代出,3、Debye模型的評價,2）Debye理論得到不同溫度下的D是不同的（實際上D應該是恒定值）。 由CV（T/ D ）=CV（實驗）的關系，可以獲得DT的關系,金屬銦的Debye溫度隨T的變化 即P131圖3-24,德拜模型的缺陷,2）德拜溫度隨溫度稍有變化,1）實驗和理論不一致,原因,1）忽略了晶體的各向異性,2）忽略了光學波和高頻聲學波對熱容的貢獻,綜上所述可知，高溫下兩種模型都是正確的，但相對而言，愛因斯坦模型要更簡單、更方便些，因此在高溫下多用愛因斯坦模型，低溫下則應用德拜模型。 一般溫度下，有時可較粗糙地近似處理為： 對光學支用Einsten模型（因為光學支較窄）； 聲學支用Debye模型（因為聲學支包括低頻段,思考題,求由N個相同原子組成的一維單原子晶格格波的頻譜分布函數(shù),平均每個點子占據(jù)的q空間線度,q的分布密度,解,那么在dq間隔內可以有 不同的q值,即有 不同的