圓錐曲線的第三定義資料

1、圓錐曲線的第三定義及運(yùn)用 一、 橢圓和雙曲線的第三定義 1. 橢圓 22yx?0ff?1baC：在橢圓中，A、B是關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的一 22ab2b2點(diǎn)，若?1=k=ek?k、k 存在，則有： PBPAPBPA2a2b2，邊所對的中位線MO證明：構(gòu)造PAB的PA?1=e?k?k=kk?由點(diǎn)差法結(jié)論：， MOPAPBMO2a 知此結(jié)論成立。 雙曲線2.22yx1?C：在雙曲線k、k若是橢圓上異于A、B的一點(diǎn)，PA中，、B是關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)， PBPA22ba2b2存在，則有：1=?e?kk= PBPA2a 22證明：只需將橢圓中的bb? 就能將橢圓結(jié)論轉(zhuǎn)換成雙曲線的結(jié)論

2、。全部換成 與角度有關(guān)的問題 二、 22yx3?例題一：0fb?1fC：a?e已知橢圓是橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓與雙曲B的離心率A、， 22ba222?yxcos1?= 線，則?APB=?，?PAB=的一個交點(diǎn)，令 ?2cos87 . 解答：1?=PBx?2?，由橢圓第三定義可知：令?tan1=etan? 4?cos?cossintansintan1?3cos?cos?=? ?5cos?2?costantan?coscos?sinsin1 點(diǎn)評：其實(shí)所謂的雙曲線方程只是一個障眼法，并不影響題目的解答。兩頂點(diǎn)一動點(diǎn)的模型要很快的聯(lián)想到第三定義，那么剩下的任務(wù)就是把題目中的角轉(zhuǎn)化為兩直線的傾斜角，把

3、正余弦轉(zhuǎn)化為正切。題 目中的正余弦化正切是三角函數(shù)的常見考點(diǎn)。 變式1-1：（石室中學(xué)2015級高二下4月18日周末作業(yè)） 22已知雙曲線2015?：x?yCAPB?PAB=4，求的左右頂點(diǎn)分別為A、B，P為雙曲線右支一點(diǎn)，且?PAB= . 解答： ?0=?，?PAB?令?，?0?PBA=5 ，則，由雙曲線的第三定義知：? 22?2?1=1=tan=?tantan5?tane ?1? 則：=?=tan5tan5=? ?2122tan5? 點(diǎn)評：即表示sin1采取同樣的思路轉(zhuǎn)化角，但對于正切轉(zhuǎn)換的要求較高。兩銳角正切乘積為1與例題?的值。當(dāng)然雙曲線的題目較于橢圓和拋物線題目考試兩角互余，則可解出

4、，=coscos=sin 概率較小，但既然提到了雙曲線的第三定義，不妨做一做。 與均值定理有關(guān)的問題三、 22yx?：2例題是橢圓B已知A、0fafb?1軸對稱的兩是橢圓上關(guān)于xM、N 長軸的兩個端點(diǎn)， 22ba 的斜率分別為點(diǎn)，直線AM、BNk?k0kk?k、k . 且， 。，若的最小值為1則橢圓的離心率為 212121 解答一（第三定義+均值）： 由題意可作圖如下： 22bb2，由橢圓的第三定義可知：連接MB=k1=?k?k=e?k?kk? ，而 BNBM2BMAM122aa 3b12b =e?=1?=?k?k2k?k 212122aa ：解答二（特殊值法）1?這道題由于表達(dá)式=kk=1k

5、?k? 非常對稱，時(shí)可取最值，則可直接猜特殊點(diǎn)求解。 21212min 3b1分別為短軸的兩端點(diǎn)。此時(shí)：、N則M =?ekk 。 2122a 點(diǎn)評：的對稱關(guān)系是解題的關(guān)鍵，這樣可以利用橢圓的第三定義將兩者、N對于常規(guī)解法，合理利用M表、b，又構(gòu)造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a斜率的關(guān)系聯(lián)系起來，既構(gòu)造了“一正” 。當(dāng)然將1示出最值kk、前的系數(shù)改為不相等的兩個數(shù)，就不能利用特殊值法猜答案了，但常規(guī)解212-1變式 法相同，即。 22yx?：變式2-1是橢圓B已知A、0f1baf?軸對稱的是橢圓上關(guān)于x長軸的兩個端點(diǎn)，M、N 22ba 的斜率分別為AM、BN兩點(diǎn)，直線0?kkk、kk

6、222k? ，則橢圓的離。若，且1的最小值為212121 . 心率為 解答： 22bb2，由橢圓的第三定義可知：MB連接=kk1=?k=ke?kk? ，而 BNBM2AMBM122aa 4bb115 =1=?=?e=?2k22k?4k?k 2211aa44 22?yx2?：變式2-2是橢圓A、B已知0faf?1b?AQB? ，使長軸的兩個端點(diǎn)，若橢圓上存在Q， 22ab3則橢圓的離心率的取值范圍為 . 解答一（正切+均值）： ?0?的傾斜角為軸上方，則直線QAQ令在x，? 。，直線QB的傾斜角為? 22?tantan? ?tan?AQB?tan，AQB?，? ?tantan1?2?22bb?由

7、橢圓的第三定義：=tan?=tan?tan ，則 22?tanaa2?b2b?tan?tan? 2?tana?tantan? 2?tana帶入可得： = 22?bbtan?tan11?1? 22aa 2b?2b?tan2?2abb 2?tanaatan?（取等條件： ?=? ，即Q為上頂點(diǎn)） 2222bbba?a1?1? 22aa? ?26?在而tanxAQB?，1e?，?AQB故所以此時(shí)則單增，Q為上頂點(diǎn)時(shí)，? max233? 解答二（極限法）： ?兩點(diǎn)時(shí)，、BQ當(dāng)趨近于A?AQB?為直徑的圓的圓AB點(diǎn)所在的橢圓弧趨近于以Q（此時(shí) 2?AQB?間運(yùn)動時(shí)、BQ弧，在A相當(dāng)于直徑所對的圓周角）；

8、當(dāng)f?AQB（Q在以AB為直徑 2?AQBf直徑所對的圓周角=90），由橢圓的對稱性可猜測當(dāng)?shù)膱A內(nèi)部，Q為短軸端點(diǎn)時(shí)?AQB?。 max?22?，使由于：橢圓上存在Q?AQB?AQB?。，那么 Q為短軸端點(diǎn)時(shí) max33 ?6a2 取臨界情況，即Q為短軸端點(diǎn)時(shí)0e?e?3?AQB?）當(dāng)橢圓趨于飽滿，（；此時(shí) 3b3e?1）不滿足；當(dāng)橢圓趨于線段（時(shí)，時(shí)，橢圓趨近于圓，圓的直徑所對的圓周角永遠(yuǎn)為90，? 6?AQB，?1e ，滿足。故。? max3?當(dāng)然這些只需要在頭腦中一想而過，簡潔而有邏輯。 點(diǎn)評： ?兩點(diǎn)時(shí)，BA、在用極限法討論：這道題可以增加對于圓周角的理解，“當(dāng)Q趨近于?AQB?” 2

9、?AQB”的認(rèn)知，當(dāng)然這肯定是錯的，結(jié)合常規(guī)解法可以看出此時(shí)是角最小的情況，“時(shí)能會顛覆而不是角最大的情況。要搞清楚，不然會被弄暈的。對于常規(guī)解法選擇正切表示角的大小的原因有二：?在與第三定義發(fā)生聯(lián)系tanx， tanx的大小比較角度的大小。單增便于利用? 2? 四、 總結(jié)歸納 1. 上述部分題目的常規(guī)解法較復(fù)雜，但做題時(shí)一定要能猜答案，而且要猜得有理由。 2. 對于均值不等式，注意取等條件是“三相等”，即相等時(shí)取最值。這可以幫助猜測表達(dá)形式是高度例題2 對稱的式子的最值，如：2-2變式極限法可以刻畫出單調(diào)變化的某一變量的端點(diǎn)值，如： 3.中P在橢圓上滑動，角度的變化一定是光滑的（無突變，連續(xù)

10、）， 所以只需考慮邊界值。 變式做幾何的選填題時(shí)，有時(shí)利用圓周角定理可以很快的找到最大角，注意學(xué)會恰當(dāng)運(yùn)用，如： 4.2-2。 5. 常以正切值刻畫角度大小。 6. 在做綜合性較大的題目時(shí)要聯(lián)系各種知識，靈活轉(zhuǎn)化，以最巧妙的方法致勝。 7. . 8. . 五、 方法鏈接 “圓周角找最大角”“橢圓中另一類均值”進(jìn)行拓展補(bǔ)充，各附例題。針對上文提到的 與?MPN1,4N?1M,2：例題3取X軸上移動，當(dāng)，點(diǎn) 和P在中，在平面直角坐標(biāo)系XOY給定兩點(diǎn)最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 . 均值）：解答一（正切+?1,4?1M,2N3:， 已知：、3,0P?xly? x軸交于與MN042?=?MPN,0Pt ，

11、令，則：?kk NPMPt11?t?=03?t? 時(shí)， 當(dāng)k?k6t2?3?ft? 時(shí)，當(dāng) NPMPl=tan的傾斜角較大， MP27?k1?ktNPMP2t?62x22?fx?t?3f00tan?），（令則 =1?tan= 1622t?7x?6x?16166?x2x?6 xx?1t?x?4，此時(shí)，? max4k?k2t?63p?t? 時(shí)， 當(dāng)MPNPl?=tan=的傾斜角較大， NP21?k?kt?7NPMP2t?62x221? 0?t3x?f=?=?tan=，則 1622716xx?6t?7166?x?2x?6 xx?ftan0） （1?7t?x4?，此時(shí)?tan max7?tan，0，?

12、，?tan01?0 由于上單增，在，且?t?1? ，此時(shí) max4解答二（圓周角定理）： 本題中的取極值時(shí)的P點(diǎn)的幾何意義為：過M、N的圓與x軸切于P點(diǎn)。下面給出證明： 軸切于x證明：以與P 點(diǎn)的圓滿足所求最大角為例：23由于?xl：y?3?x：ly? 、是過MN上兩點(diǎn)的圓的一條弦，由垂徑定理知圓心在MN軸無交點(diǎn)；當(dāng)半徑稍大一點(diǎn)時(shí)，圓x較小時(shí)，圓與r開始增大：當(dāng)半徑0隨著圓心橫坐標(biāo)從軸有兩交點(diǎn)x軸相切，有一個交點(diǎn)；當(dāng)半徑更大一點(diǎn)時(shí)，圓與x與PP 、。43此時(shí)：根據(jù)圓周角定理：N?MPp?MQN=?MPN?MPN軸相切時(shí)，可知：圓與x234?MPN? 。max R較小的情況（圓與x軸相離） R較

13、大的情況（圓與x軸相交于PP） 、43?軸切于x的圓與所以：過M、NMPN?PP點(diǎn)時(shí)，分別有、 43max?MPNN?MP只需比較，哪一個更大。與 12?,0Px,xy，半徑為 ，則切點(diǎn)令與x軸相切的圓的圓心為y 22?2y?y?2?x?1?2圓滿足： （消去y） 1or?70?x?76?x?x?22?2?4?yy?x?1?時(shí)，比較可知：當(dāng)x=1MPN? max點(diǎn)評： 常規(guī)方法依舊是利用正切度量角的大小，但注意用傾斜角表示所求角時(shí)要用大角減去小角，才能得到正角；均值時(shí)要注意以分子（一次）為新元構(gòu)建均值。用圓周角角的性質(zhì)解答，只要轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)，解一個方程組，比較兩個角誰大就行了。（不比較也行，畫圖

14、可知右邊角大于左邊角：弦長相等，半徑越大，弦所對的圓周角越小。）其實(shí)兩種解法的難度是一樣，只是一種要寫得多，一種要想得多。 CBGsinAG?：變式3-1 . 為ABC的重心，且 ，則 的最大值為 若G ：解答一（余弦定理+均值）1?x?xx?x? CGAB?3?0,baAG,00,0B，則由 令，b?a,?C?1?yy?y?y? CBGA?3? 222222 由點(diǎn)間的距離公式：b?4a?AB?aBC?abb4AC ，?222222222ba4?b4a?ba?ABBC?AC?由余弦定理： =C?cos ?BC?AC22222b?244a?ba?2222b?ba24?a = ?22222222b

15、ba?4a?4a42?4ab?b?a?b5? 222222由于：b?4ab?ba?a4a?b? 22433?Csin?0?sin?cosC?C max555解法二（圓周角定理）： ?,3cosG3sinsin1,0B1,0CA,cos? ，令，則 ?y1,0CB,A1,0?x22滿足：，題目轉(zhuǎn)化為：Csin9?xy ，求的最大值。?3?C0,時(shí)，目測可知0,3C?ABC 來證明。，下面以max?0,3BCA1,0?1,0 O：作圓，過CBACp?AQB?ACB O于QC若不在點(diǎn)。由圓周角定理：證得點(diǎn)，令A(yù)C交圓34?此時(shí)由余弦定理?cosCC=sin maxmin55 點(diǎn)評：3例題有異曲同工之妙，直觀感覺加上圓周角定理可以說是畫幾個圓就解出題可以說這道題與?，0 了。其實(shí)余弦函數(shù)在單調(diào)，也可用來度量角的大小。不過更值得一提的是兩種方法以不同的方式，間接地表現(xiàn)了題中點(diǎn)的關(guān)系，設(shè)點(diǎn)的方式值得思點(diǎn)的坐標(biāo)；解法二C考領(lǐng)悟。解法一照顧垂直結(jié)論，把重心放在原點(diǎn)，利用重心的坐標(biāo)很好地刻畫了點(diǎn)的坐標(biāo)。兩種方式都完全的展現(xiàn)C聯(lián)系圓的直徑所對圓周角為直角表示垂直條件，以同樣方式刻畫 了題目中的關(guān)系。 22yx?：對橢圓用均值）：（例題422過橢圓1fb?1fa1?x?y、PA的兩條切線引圓O：上一點(diǎn)P 22ab . N、，則