計數(shù)原理與排列組合課件

1、計數(shù)原理與排列組合,基 本 原 理,組合,排列,排列數(shù)公式,組合數(shù)公式,應 用 問 題,1、知識結(jié)構(gòu),一。復習回顧,2。分類記數(shù)原理，分步記數(shù)原理,3。排列與組合,4。解排列組合問題基本思路,排列組合問題,有序,無序,排列,組合,分類或分步,分類或分步,直接法,直接法,間接法,不易解,不易解,題型2 可重復元素排列問題,例2】五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多 少？五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，獲得冠軍的可能性有多少種？ 解答：報名的方法種數(shù)為4444445(種) 獲得冠軍的可能情況有555554(種,方法小節(jié)： 解決“允許重復排列問題”常用“住店法”，

2、要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解,基礎(chǔ)知識梳理,二、題型與方法,例3】如圖，用5種不同的顏色給圖中A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法,題型3 涂色問題,解法一（分步法）如題圖分四個步驟來完成涂色這件事需分為四步，第一步涂A區(qū)有5種涂法；第二步涂B有4種方法；第三步涂C有3種方法；第四步涂D有3種方法(還可以使用涂A的顏色)，根據(jù)分步計數(shù)原理共有5433180種涂色方法,2011高考導航,解法二（分類法）：完成涂色的方法分為兩類，第一類：四

3、個區(qū)域涂四種不同的顏色共有 120種涂法； 第二類：四個區(qū)域涂三種不同的顏色，由于A、D不相鄰只能是A、D兩區(qū)域顏色一樣，將A、D看做一個區(qū)域，共 60種涂法 由分類計數(shù)原理知共有涂法12060180(種,方法總結(jié)： 對涂色問題，有兩種解法，法1是逐區(qū)圖示法，注意不相鄰可同色. 法2根據(jù)用色多少分類法,題型4 排列中的“相鄰”、“不相鄰問題,例4】 a1，a2，a8共八個元素，分別計算滿足下列條件的排列數(shù) (1)八個元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四個元素排在一起； (2)八個元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四個元素互不相鄰； (3)八個元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四個元

4、素互不相鄰，并且a5，a6，a7，a8也互不相鄰； (4)排成前后兩排每排四個元素,解答：(1)（捆綁法）先將a1，a2，a3，a4四個元素看成一個元素與a5，a6，a7，a8排列一排，有 種排法，再排a1，a2，a3，a4有 不同排法，根據(jù)分步計數(shù)原理知滿足條件的排列數(shù)為 2 880,2)(插空法）先排a5，a6，a7，a8四個元素排成一排，有 種排法；再將元素a1，a2，a3，a4插入由a5，a6，a7，a8間隔及兩端的五個位置中的四個，有 種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理知：滿足條件的排列數(shù)為 2 880,3)先排a5，a6，a7，a8，；共有 種排法；然后排a1，a2，a3，a4排在或中的共有

5、2 種排法；根據(jù)分步計數(shù)原理共有 2 1 152種排法 (4)前排有 種排法，后排有 種排法，由分步計數(shù)原理知共有 8！種排法,方法總結(jié),1）若某些元素必須相鄰，常用捆綁法，即先把這幾個相鄰元素捆在一起看成一個元素，再與其他元素全排列，最后再考慮這幾個相鄰元素的順序,2）若某些元素不相鄰，常用插空法，即先將普通元素全排列，然后再從排就的每兩個元素之間及兩端選出若干個空擋插入這些特殊元素,3)前后排問題，直排法,變式4 4個男同學，3個女同學站成一排 (1)3個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？ (2)任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？ (3)其中甲、乙兩同學之間必須恰有3人，

6、有多少種不同的排法？ (4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？ (5)女同學從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？(3個女生身高互不相等,解答：(1)3個女同學是特殊元素，我們先把她們排好，共有 種排法；由于3個女同學必須排在一起，我們可視排好的女同學為一整體，再與男同學排隊，這時是5個元素的全排列，應有 種排法，由分步計數(shù)的原理,有 720種不同排法 (2)先將男生排好，共有 種排法，再在這4個男生的中間及兩頭的5個空檔中插入3個女生有 種方案，故符合條件的排法共有 1 440種不同排法,3)甲、乙2人先排好，有 種排法，再從余下5人中選3人排在甲、乙2人中間，有 種排法，這時把已排好的5人視為一整體，與最后剩下的2人再排，又有 種排法，這樣總共有 720種不同排法,4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有 種排法；由于甲、乙要相鄰，故再把甲、乙排好，有 種排法；最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的4人的