2021年中考數(shù)學壓軸題提升訓練：圓中證明及存在性問題

1、【例1】.如圖，已知A的半徑為4，EC是圓的直徑，點B是A的切線CB上一個動點，連接AB交A于點D，弦EFAB，連接DF，AF.（1）求證：ABCABF；（2）當CAB=時，四邊形ADFE為菱形；（3）當AB=時，四邊形ACBF為正方形.【分析】（1）由EFAB，得EFA=FAB，CAB=AEF，又AEF=AFE，得：BAC=BAF，又AB=AB，AC=AF，證得ABCABF；（2）連接FC，根據(jù)ADFE為菱形，確定出CAB的度數(shù)；（3）由四邊形ACBF是正方形，得AB=AC=4.【解析】解：（1）EFAB，EFA=FAB，CAB=AEF，AE=AF，AEF=AFE，BAC=BAF，又AB=A

2、B，AC=AF，ABCABF（SAS）；（2）如圖，連接FC，四邊形ADFE是菱形，AE=EF=FD=AD，CE=2AE，CFE=90，ECF=30，CEF=60，EFAB，AEF=CAB=60，故答案為：60；（3）由四邊形ACBF是正方形，得AB=AC=4.【變式1-1】.如圖，在ABD中，ABAD，AB是O的直徑，DA、DB分別交O于點E、C，連接EC，OE，OC（1）當BAD是銳角時，求證：OBCOEC；（2）填空：若AB2，則AOE的最大面積為 ；當DA與O相切時，若AB，則AC的長為 【答案】（1）見解析；（2）；1.【解析】解：（1）連接AC，AB是O的直徑，ACBD，ADAB，

3、BACDAC，BCEC，又OB=OE，OC=OC，OBCOEC（SSS），（2）AB2，OA1，設AOE的邊OA上的高為x，SAOEOAhh，要使SAOE最大，需h最大，點E在O上，h最大是半徑，即：h最大1SAOE最大為：；如圖所示，當DA與O相切時，則DAB90，ADAB，ABD45，AB是直徑，ADB90，ACBCAB=1.【例2】.如圖，ABC 中，AB=AC，以 AB 為直徑的O 與 BC 相交于點 D， 與 CA 的延長線相交于點 E，過點 D 作 DFAC 于點 F（1）試說明 DF 是O 的切線；（2）當C= 時，四邊形 AODF 為矩形；當 tanC= 時，AC=3AE【答案

4、】見解析.【解析】解：（1）證明：連接OD，OB=OD，B=ODB，AB=AC，B=C，ODB=C，ODAC，DFAC，ODDF，點D在O上，DF是O的切線；（2）45，理由如下：由四邊形AODF為矩形，得BOD=90，B=45，C=B=45，故答案為：45；（3），理由如下，連接BE，AB是直徑，AEB=90，AB=AC，AC=3AE，AB=3AE，CE=4AE，BE2=AB2AE2 =8AE2，即BE=AE，在RtBEC中，tanC=.故答案為：.【變式2-1】.如圖，在ABC中，AB=AC=4，以AB為直徑的O交BC于點D，交AC于點E，點P是AB的延長線上一點，且PDB=A，連接DE，

5、OE（1）求證：PD是O的切線（2）填空：當P的度數(shù)為_時，四邊形OBDE是菱形；當BAC=45時，CDE的面積為_【答案】（1）見解析；（2）30；.【解析】解：（1）連接OD，OB=OD, PDB=A，ODB=ABD=90A=90PDB，ODB+PDB=90，ODP=90，OD是O的半徑，PD是O的切線.（2）30，理由如下：P=30，則BOD=60，BOD是等邊三角形，ADP=30，A=60，AOE是等邊三角形，即AOE=60，EOD=60，ODE是等邊三角形，OB=BD=DE=OE，即四邊形OBDE是菱形；連接BE，AD，如上圖，AB為直徑，ADB=90，即ADBC，AEB=90，AB

6、=AC，D為BC中點，SDCE=SBCE，BAC=45，AE=BE，ABE是等腰直角三角形，AB=AC=4，AE=BE=，CE=4-，SDCE=SBCE，=BECE=（4-）=.【例3】.如圖，AB 是O 的直徑，點 C 是O 上一點，AD 和過點 C 的切線互相垂直，垂足為 D，直線 DC 與 AB 的延長線相交于點 P（1）求證：AC2=ADAB（2）點 E 是ACB 所對的弧上的一個動點（不包括 A，B 兩點），連接 EC交直徑 AB 于點 F，DAP=64當ECB= 時，PCF 為等腰三角形；當ECB= 時，四邊形 ACBE 為矩形【答案】見解析.【解析】解：（1）連接OC，CD是切線

7、，OCCD，ADCD，OCAD，ACO=CAD，OA=OC，ACO =CAO，CAD=CAO，AB為直徑，ACB=D=90，ACDABC，,即：AC2=ADAB（2）45；58，理由如下：DAP=64，P=26，CAB=DAC=32，CFP是ACF的外角，CFP32，即CFPP，由PCB=CAB=32，知FCPPCBP，由PCD為等腰三角形，得PC=PF,CFP=77，ACF=45，ECB=90ACF=45，故答案為：45；由ACBE是矩形，得F與O重合，ECB=90ACO=9032=58，故答案為：58.【變式3-1】.如圖，ABC 內(nèi)接于O，過點 B 的切線 BEAC，點 P 是優(yōu)弧AC

8、上一動點（不與 A，C 重合），連接 PA，PB，PC，PB 交 AC 于 D（1）求證：PB 平分APC；（2）當 PD=3，PB=4 時，求 AB 的長【答案】見解析.【解析】解：（1）證明：連接OB，則OBBE，BEAC，OBAC，弧AB=弧BC，APB=BPC，PB平分APC；（2）由（1）知，APB=BPC，BAC=BPC，BAC=APB，ABD=PBA，ABDPBA，,即AB=2，即AB的長為2.1.如圖，在RtABC中，ACB=90，以AC為直徑的O與AB交于點D，過D作O的切線交CB于E.（1）求證：EB=EC；（2）若以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形，試判斷ABC的形

9、狀，并說明理由.【答案】見解析.【解析】解：（1）證明：連接OD，AC為直徑，ACB=90，BC為O的切線，DE是O的切線，DE=CE，ODE=90，ODA+EDB=90，OA=OD，OAD=ODA，OAD+B=90，B=EDB，DE=BE，EB=EC；（2）ABC是等腰直角三角形，理由如下：四邊形ODEC是正方形，DEB=90，由（1）知CE=BE，BED是等腰直角三角形，B=45，A=45，即AC=BC，又ACB=90，ABC是等腰直角三角形.2.如圖，以RtABC的直角邊AB為直徑作O與斜邊AC交于點D，E為BC邊的中點，連接DE，OE（1）求證：DE是O的切線（2）填空：當CAB= 時

10、，四邊形AOED是平行四邊形；連接OD，在的條件下探索四邊形OBED的形狀為 .【答案】（1）見解析；（2）45；正方形.【解析】（1）連接OD，BD，AB為直徑，BDC=ADB=90，E為BC的中點，DE=BE=CE，OD=OB，OE=OE，ODEOBE，ODE=OBE=90，ODDE，即DE是O的切線.（2）若四邊形AOED是平行四邊形，則DEAB，A=CDE，CDE=C，A=C，ABC=90，A=45；由A=45，得ADO=45，即DOB=90，EBO=ODE=90，四邊形OBED是矩形，四邊形AOED是平行四邊形，EOB=A=45，EOB=OEB=45，OB=BE，四邊形OBED是正方

11、形.3.如圖，在RtABC中，B=90，AB=6，CD平分ACB交AB于點D，點O在AC上，以CO為半徑的圓經(jīng)過點D，AE切O于E（1）求證：AD=AE（2）填空：當ACB=_時，四邊形ADOE是正方形；當BC=_時，四邊形ADCE是菱形【答案】見解析.【解析】解：（1）證明：連接OE，CD平分ACB，OCD=BCD，OC=OD，OCD=ODC，ODC=BCD，ODBC，B=90，ADO=90，AD是圓O的切線，AE是圓O的切線，AD=AE.（2）45；2，理由如下：ADOE是正方形，OD=AD，OAD=45，ACB=45；四邊形ADCE為菱形，AD=CD，CAD=ACD，BCD=ACD，CD

12、B=60，BCD=30，CD=2BD，AB=6，BD=2，BC=2,故答案為：45；2.4.如圖，AB是O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CDOA交弦AB于點E，交O于點F，且CE=CB（1）求證：BC是O的切線；（2）連接AF，BF，求ABF的度數(shù)【答案】見解析.【解析】解：（1）證明：連結OB，CE=CB，CBE=CEB，CDOA，DAE+AED=90，CEB=AED，DAE+CBE=90，OA=OB，OAB=OBA，OBA+CBE=90，即OBC=90，BC是O的切線；（2）解：連結OF，OF交AB于H，（見上圖）DFOA，AD=OD，F(xiàn)A=FO，OF=OA，OAF為等邊三角形，AOF=

13、60，ABF=AOF=305.如圖，在ACE中，ACCE，O經(jīng)過點A，C，且與邊AE，CE分別交于點D，F(xiàn)，點B是劣弧AC上的一點，且弧BC=弧DF，連接AB，BC，CD求證：CDEABC【答案】見解析.【解析】證明：連接DF，ACCE，CAEE，四邊形ACFD內(nèi)接于O，CAE+CFD=180，CFD+DFE=180，CAEDFE，DFEE，DFDE，弧BC=弧DF，BCDF，BCDE，四邊形ABCD內(nèi)接于O，同理可得：BCDE，在CDE和ABC中，AC=CE，ABC=CDE，BC=DE，CDEABC6.如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A，B重合的動點，PCAB，點M是OP中點（1

14、）求證：四邊形OBCP是平行四邊形；（2）填空：當BOP 時，四邊形AOCP是菱形；連接BP，當ABP 時，PC是O的切線【答案】（1）見解析；（2）120；45【解析】（1）證明：PCAB，PCMOAM，CPMAOM點M是OP的中點，OMPM，CPMAOM，PCOAOAOB，PCOBPCAB，四邊形OBCP是平行四邊形（2）解：四邊形AOCP是菱形，OAPA，OAOP，OAOPPA，AOP是等邊三角形，AAOP60，BOP120；PC是O的切線，OPPC，OPC90，PCAB，BOP90，OPOB，ABPOPB45.7.如圖，AB為O的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點，連接OF并延長交弧AC于點D，過

15、點D作O的切線，交BA的延長線于點E（1）求證：ACDE；（2）連接AD、CD、OC填空當OAC的度數(shù)為 時，四邊形AOCD為菱形；當OAAE2時，四邊形ACDE的面積為 【答案】（1）見解析；（2）30；2【解析】（1）證明：F為弦AC的中點，AFCF，OF過圓心OFOAC，即OFA=90，DE是O切線，ODDE即EDO=90，DEAC.（2）當OAC30時，四邊形AOCD是菱形，理由如下：連接CD，AD，OC，OAC30，OFACAOF60AODO，AOF60ADO是等邊三角形AFDODFFO，AFCF，四邊形AOCD是平行四邊形AOCO四邊形AOCD是菱形.連接CD，ACDE, OA=A

16、E=2，OD2OF，DE2AFAC2AF，DEAC，且DEAC四邊形ACDE是平行四邊形OAAEOD2OFDF1，OE4在RtODE中，由勾股定理得：DE2，S四邊形ACDEDEDF212答案為：2.8.如圖，在RtABC中，BAC90，C30，以邊上AC上一點O為圓心，OA為半徑作O，O恰好經(jīng)過邊BC的中點D，并與邊AC相交于另一點F（1）求證：BD是O的切線（2）若AB，E是半圓AGF上一動點，連接AE，AD，DE填空：當弧AE的長度是 時，四邊形ABDE是菱形；當弧AE的長度是 時，ADE是直角三角形【答案】（1）見解析；（2）；或【解析】（1）證明：連接OD，在RtABC中，BAC90

17、，C30，ABBC，D是斜邊BC的中點，BDBC，ABBD，BADBDA，OAOD，OADODA，ODBBAO90，即ODBC，BD是O的切線（2）若四邊形ABDE是菱形，連接OE，則ABDE，BAC=90，DEAC，得：ADBDABCDBC，ABD是等邊三角形，OD1，ADB60，CDE60，ADE180ADBCDE60，AOE2ADE120，弧AE的長度為：=；故答案為：；AD為弦（不是直徑），AED90，（i）若ADE90，則點E與點F重合，弧AE的長度為：；（ii）若DAE90，則DE是直徑，則AOE2ADO60，弧AE的長度為：=；故答案為：或9.如圖，在RtABC中，ACB90，以

18、點A為圓心，AC為半徑，作A，交AB于點D，交CA的延長線于點E，過點E作AB的平行線交A于點F，連接AF，BF，DF（1）求證：ABCABF；（2）填空：當CAB 時，四邊形ADFE為菱形；在的條件下，BC cm時，四邊形ADFE的面積是6cm2【答案】（1）見解析；（2）60；6【解析】（1）證明：EFAB，ECAB，EFAFAB，AE=AF，EEFA，F(xiàn)ABCAB，又AF=CA，AB=AB，ABCABF；（2）當CAB60時，四邊形ADFE為菱形由CAB60，得FADEAF60，EFADAE=DF，四邊形ADFE是菱形四邊形AEFD是菱形，AEFCAB60，AE，AC=，BC=AC=6. 10.如圖，在RtABC中，ACB90，以直角邊BC為直徑作O，交AB于點D，E為AC的中點，連接DE.（1）求證：DE為O的切線；（2）已知BC4填空：當DE 時，四邊形DOCE為正方形；當DE 時，BOD為等邊三角形【答案】（1）見解析；（2）2；2 .【解析】（1）證明：連接CD，OE，BC為O的直