2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點專題2-3 函數(shù)的奇偶性與周期性

1、【核心素養(yǎng)分析】1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.3.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)。【重點知識梳理】知識點一 函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱知識點二 函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何

2、值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.【特別提醒】1.(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|).2.奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.3.函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x)，則T2a(a0).(2)若f(xa)，則T2a(a0).(3)若f

3、(xa)，則T2a(a0).4.對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱.(2)若對于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱.(3)若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱.【典型題分析】高頻考點一 函數(shù)奇偶性的判定例1【2020全國卷文數(shù)】設(shè)函數(shù)f(x)=x3，則f(x)A是奇函數(shù)，且在(0,+)單調(diào)遞增B是奇函數(shù)，且在(0,+)單調(diào)遞減C是偶函數(shù)，且在(0,+)單調(diào)遞增D是偶函數(shù)，且在(0,+)單調(diào)遞減【答案】A【解析】因為函數(shù)定義域為，其關(guān)于原點對

4、稱，而，所以函數(shù)為奇函數(shù)又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故選A?！痉椒记伞颗袛嗪瘮?shù)奇偶性的常用方法(1)定義法：確定函數(shù)的奇偶性時，必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱若對稱，再化簡解析式后驗證f(x)f(x)或其等價形式f(x)f(x)0是否成立(2)圖象法：f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，f(x)為奇函數(shù)；f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，f(x)為偶函數(shù)。(3)性質(zhì)法：設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇【變式探究】【2020浙江卷】函數(shù)y=xcos

5、x+sin x在區(qū)間，上的圖象可能是（ ）【答案】A【解析】因為，則，即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，據(jù)此可知選項CD錯誤；且時，據(jù)此可知選項B錯誤，故選A。高頻考點二 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2【2020江蘇卷】已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時，則的值是 【答案】4【解析】，因為為奇函數(shù)，所以?！痉椒记伞颗c函數(shù)奇偶性有關(guān)的問題(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)f(x)0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式由系數(shù)的對等性得方程(組)，進而得

6、出參數(shù)的值(4)畫函數(shù)圖象：利用奇偶性可畫出函數(shù)在另一對稱區(qū)間上的圖象(5)求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值【變式探究】(2019全國卷)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)eax.若f(ln 2)8，則a_.【答案】3【解析】法一：由x0可得x0，由f(x)是奇函數(shù)可知f(x)f(x)，x0時，f(x)f(x)ea(x)eax，則f(ln 2)ealn 28，aln 2ln 83ln 2，a3.法二：由f(x)是奇函數(shù)可知f(x)f(x)，f(ln 2)f(e)8，aln ln 83ln 2，a3。高頻考點三 求函數(shù)解析式例3.(2019全國卷)設(shè)f

7、(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)ex1，則當(dāng)x0時，f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1【答案】D【解析】當(dāng)x0，當(dāng)x0時，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)ex1，故選D?！咀兪教骄俊咳艉瘮?shù)f(x)在定義域上為奇函數(shù)，則實數(shù)k_.【答案】1【解析】若函數(shù)f(x)在定義域上為奇函數(shù)，則f(x)f(x)，即，化簡得(k21)(22x1)0，即k210，解得k1。高頻考點四 函數(shù)的周期性及其應(yīng)用例4. (2018全國卷)已知f(x)是定義域為(，)的奇函數(shù)，滿足f(1x)f(1x).若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B

8、.0 C.2 D.50【答案】C【解析】方法一：f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(1x)f(1x).f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x).因此f(x4)f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，由于f(1x)f(1x)，f(1)2，故令x1，得f(0)f(2)0令x2，得f(3)f(1)f(1)2，令x3，得f(4)f(2)f(2)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)20200，所以f(1)f(2)f(3)f(50)120f(1)f(2)2.方法二：取一個符合題意的函數(shù)f(x)2sin，則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列f(n)(nN*)是以4為周期的周期數(shù)列.故f(1)f(2)f(3)f(50)

9、12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202.【方法技巧】(1)求解與函數(shù)的周期性有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期(2)周期函數(shù)的圖象具有周期性，如果發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)的圖象具有兩個對稱性(注意：對稱中心在平行于x軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個函數(shù)一定具有周期性【變式探究】（2020安徽安慶一中模擬）設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)x2,1)時，f(x)則f_.【答案】【解析】由題意可得fff42，f.高頻考點五 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例5. （2020遼寧省育才學(xué)校模擬）已知函數(shù)是奇函數(shù)（1）求實數(shù)的值；（2）用定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）1；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1)函數(shù)的定義域為R，且是奇函數(shù)，解得此時，滿足，即是奇函數(shù) (2) 任取，且，則，于是即，故函數(shù)在上是增函數(shù)（3）由及是奇函數(shù)，知又由在上是增函數(shù)，得，即對任意的恒成立當(dāng)時，取最小值，。【方法技巧】（1）利用奇偶性以及對稱性去判斷函數(shù)的周期時：首先根據(jù)奇偶性以及對稱性寫出對應(yīng)的函數(shù)抽象表達形式，然后聯(lián)立兩個及兩個以上的等式得到形如的結(jié)構(gòu)即可求解出周期；（2）充分必要條件的證明：證明的時候分兩步走：充分性證明，必要性證明，缺一不可.【變式探究】（2020呼和浩特二中模擬）函