16 4一維諧振子問(wèn)題

1、16-4,一維諧振子問(wèn)題,一、一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程,在經(jīng)典力學(xué)中，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義,任何物理量,x,的變化規(guī)律若滿足方程式,0,d,d,2,2,2,x,t,x,并且,是決定于系統(tǒng)自身的常量，則該物理量的變,化過(guò)程就是簡(jiǎn)諧振動(dòng),在經(jīng)典力學(xué)中，一維經(jīng)典諧振子問(wèn)題是個(gè)基本,的問(wèn)題，它是物體在穩(wěn)定平衡位置附近作小振動(dòng),這類常見(jiàn)問(wèn)題的普遍概括,簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體受到的線性回復(fù)力,kx,F,取系統(tǒng)的平衡位置作為系統(tǒng)勢(shì)能的零點(diǎn)，簡(jiǎn)諧振動(dòng),系統(tǒng)的勢(shì)能,2,2,1,kx,x,U,k,2,2,2,1,x,x,U,簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的總能量,2,2,2,2,1,2,1,A,kA,U,total,簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的解,cos

2、,t,A,x,x,U,o,x,一維諧振子在量子力學(xué)中是一個(gè)重要的物理模,型。例如研究分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)、原子核表,面的振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)，等等,在微觀領(lǐng)域中，一維量子諧振子問(wèn)題也是個(gè)基本的,問(wèn)題，甚至更為基本。因?yàn)樗粌H是微觀粒子,在穩(wěn)定平,衡位置附近作小振動(dòng)一類常見(jiàn)問(wèn)題的普遍概括,而且更,是將來(lái)場(chǎng)量子化的基礎(chǔ),我們認(rèn)為，微觀粒子所處的勢(shì)場(chǎng)的形式仍然可以表達(dá),為,2,2,2,1,x,x,U,粒子受到的勢(shì)不隨時(shí)間變化，這是一個(gè)定態(tài)問(wèn)題,2,2,2,r,E,r,r,U,定態(tài)薛定諤方程,2,2,2,1,x,x,U,2,1,d,d,2,2,2,2,2,2,x,E,x,x,x,一維諧振子的定態(tài)薛定

3、諤方程,一維諧振子的能量本征值方程,2,1,d,d,2,2,2,2,2,2,x,E,x,x,x,為了簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，引入三個(gè)無(wú)量綱參量,E,x,2,d,d,2,2,2,0,求解此方程，并考慮到束縛態(tài)條件，就可以得到一,維諧振子的能量本征值和與其對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù),二、一維諧振子的本征函數(shù)和能量本征值,一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程的解，即一維諧振,子的定態(tài)波函數(shù)為,H,e,2,2,2,x,N,x,n,x,n,n,由,波函數(shù)的歸一化條件,所確定的常系數(shù),N,n,為,N,n,n,n,1,2,1,2,2,式中,H,n,稱為,厄米多項(xiàng)式,具體形式為,H,e,d,d,e,2,2,n,n,n,n,1,最簡(jiǎn)單的幾個(gè)厄米

4、多項(xiàng)式為,H,0,1,H,1,2,H,2,4,2,2,n=0, n=1, n=2,一維諧振子的波函數(shù)的一般形式為,n,n,E,t,x,t,x,n,e,i,3,2,1,0,e,H,e,i,2,2,2,n,x,N,t,E,n,x,n,n,一維諧振子的能量（本征值）為,E,E,n,n,n,1,2,0,1,2,說(shuō)明,一維諧振子的能量只能取一系列,分立值,一維諧振子的能譜是,等間距,的，即相鄰兩能級(jí)的,能量差是固定的,E,k,n,a,n,n,2,2,2,2,2,2,2,2,1,2,3,E,E,n,n,n,1,2,0,1,2,能量的分立現(xiàn)象在微觀領(lǐng)域是普遍存在的,能級(jí)間距,一維諧振子的基態(tài)能量不等于零，即

5、存在零點(diǎn)能,2,1,0,E,零點(diǎn)能是微觀粒子波粒,二象性的表現(xiàn),x,U,o,x,A,A,N,M,E,經(jīng)典禁區(qū),經(jīng)典禁區(qū),經(jīng)典物理學(xué)中的一維諧振子,經(jīng)典禁區(qū),經(jīng)典允許區(qū),A,x,A,x,n,n,x,n,x,N,x,e,H,2,2,2,量子力學(xué)中的一維諧振子,2,4,1,0,2,2,x,e,x,2,2,4,1,1,2,2,x,xe,x,1,2,2,1,2,2,2,4,1,2,2,2,x,e,x,x,考慮一維諧振子的基態(tài),2,1,0,E,2,2,2,1,x,x,U,2,x,1,諧振子的特征長(zhǎng)度,按照經(jīng)典理論,1,1,經(jīng)典禁區(qū),經(jīng)典允許區(qū),x,x,按照量子力學(xué)中波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，基態(tài)粒子處于經(jīng),典禁區(qū)

6、中的概率為,16,d,d,1,1,0,0,0,0,x,x,x,x,x,x,微觀粒子的隧道效應(yīng),2,4,1,0,2,2,x,e,x,2,2,4,1,1,2,2,x,xe,x,1,2,2,1,2,2,2,4,1,2,2,2,x,e,x,x,由圖可以看出，量子數(shù),n,較小時(shí)，粒子位置的概率,密度分布與經(jīng)典結(jié)論明顯不同。隨著量子數(shù),n,的增,大,概率密度的平均分布將越來(lái)越接近于經(jīng)典結(jié)論,例,1,一個(gè)電子被束縛在一維無(wú)限深勢(shì)阱內(nèi)，勢(shì)阱寬度,為,1.01,10,10,m,求當(dāng)電子處于基態(tài)時(shí)對(duì)阱壁的平均,沖力,設(shè)電子質(zhì)量為,m,e,速度為,v,x,動(dòng)量為,p,x,勢(shì)阱寬度為,a,解,要求平均沖力，先要求平均

7、沖力算符,動(dòng)量定理：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，作用于質(zhì)點(diǎn)的合力在一段,時(shí)間內(nèi)的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量,平均沖力等于單位時(shí)間內(nèi)的沖量,電子與阱壁碰撞一次，電子所受到的沖量,x,x,x,p,p,p,I,2,電子與阱壁碰撞一次，阱壁所受到的沖量,x,p,I,I,2,a,m,p,a,v,p,f,I,F,x,x,x,e,2,2,2,F,m,a,x,2,2,2,e,將算符,2,2,2,2,i,x,x,p,x,代入上式，得,電子連續(xù)兩次碰撞同一,側(cè)阱壁所需要的時(shí)間,x,v,a,T,2,單位時(shí)間內(nèi)電子碰撞同,一側(cè)阱壁的次數(shù),a,v,T,f,x,2,1,單位時(shí)間內(nèi)電子對(duì)同一側(cè)阱壁的沖量，即沖力為,一維無(wú)限深勢(shì)阱的基態(tài)波函數(shù)

8、為,d,r,A,r,A,A,a,x,a,x,sin,2,1,1,x,電子對(duì)阱壁的平均沖力為,3,e,2,2,2,3,2,2,4,e,2,2,1,1,d,sin,e,2,d,sin,2,d,0,0,0,a,m,u,u,a,m,x,a,x,a,m,x,F,F,a,a,N,10,17,1,7,例,2,如果粒子的波函數(shù)為,試求,r,在,r,到,r,d,r,的,球殼,內(nèi)找到粒子的概率,解,要求概率，只要確定概率密度和相應(yīng)的體積,r,到,r,d,r,的,球殼,的體積,r,r,d,d,d,sin,d,2,球坐標(biāo)系下的體積元的表達(dá)式,r,r,V,d,d,sin,d,d,2,0,2,0,在,r,到,r,d,r,

9、的,球殼,內(nèi)找到粒子的概率,r,r,r,d,d,sin,d,2,0,2,0,2,例,3,求處于一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子的位置、動(dòng)量,和動(dòng)能的平均值,解,要求力學(xué)量的平均值，只要找到相應(yīng)的力學(xué)量算,符和波函數(shù)就可以了,x,n,0,sin,2,a,x,a,x,n,a,0,0,a,x,x,3,2,1,n,粒子的位置的平均值,x,x,x,a,d,0,x,a,x,n,x,a,a,d,sin,2,0,2,x,a,x,n,x,a,a,d,2,cos,1,1,0,2,a,粒子的動(dòng)量的平均值,p,i,x,p,p,a,d,0,x,a,x,n,x,i,a,x,n,a,a,d,sin,d,d,sin,2,0,0,在一

10、維無(wú)限深方勢(shì)阱中，粒子位置與動(dòng)量的平均,值與粒子所處的本征態(tài)的級(jí)數(shù)，即,n,沒(méi)有關(guān)系,粒子的動(dòng)能的平均值,在勢(shì)阱內(nèi)部，勢(shì)能為零，則粒子的動(dòng)能也就是其總能,量,在定態(tài)問(wèn)題中，總能量算符也就是哈密頓算符,r,U,H,2,2,2,x,H,E,a,K,d,0,x,a,x,n,x,a,x,n,a,a,d,sin,d,d,2,sin,2,2,2,2,0,x,a,x,n,a,n,a,d,sin,0,2,3,2,2,2,n,t,t,a,n,0,2,2,2,d,sin,2,2,2,2,2,a,n,E,k,n,a,n,n,2,2,2,2,2,2,2,2,1,2,3,平均動(dòng)能，即平均能量，是量子化的,例,4,求一維

11、線性諧振子在第一激發(fā)態(tài)時(shí)概率最大的位,置,解,要求粒子在空間的概率的最大值，只要對(duì)概率密,度求極大即可,n,n,x,n,x,N,x,e,H,2,2,2,量子力學(xué)中的一維諧振子,2,2,4,1,1,2,2,x,xe,x,概率密度,1,1,2,2,2,3,2,x,e,x,0,d,d,x,1,0,x,零是個(gè)極小值，舍去,故極大值處為,x,這是一個(gè)變系數(shù)的二階常微分方程，當(dāng),很,大時(shí),上式中的,可略去。從而，得,到上式的漸進(jìn)方程,2,2,2,2,0,d,d,其解,就是原方程的解，又由于波函數(shù),在,時(shí)的有限性條件，得,2,2,Ae,2,2,Ae,在,有限時(shí)應(yīng)該有限，在,時(shí),它的行為也必須保證波函數(shù)有限,

12、H,為了求出在整個(gè)空間都合適的解，可以將系數(shù),視為,的某一特定函數(shù),假設(shè)方程的解為,A,H,代回薛定諤方程，得到待定系數(shù),滿足的方程,H,2.7.2,2,2,2,1,0,d,H,dH,H,d,d,2,2,H,e,其中,2,E,h,對(duì),作泰勒展開(kāi),0,H,a,H,可由,2,1,1,2,1,0,v,v,v,a,v,v,a,a,得,2,2,1,2.7.2,1,2,a,a,當(dāng),時(shí),的漸進(jìn)行為是,與,的漸進(jìn)行為相同,H,2,2,a,a,2,e,若,為無(wú)窮級(jí)數(shù)時(shí),在,時(shí)將趨向無(wú)窮,大。為了在,時(shí)，波函數(shù)仍有限,必,須斷為多項(xiàng)式。因?yàn)槿绻?是多項(xiàng)式，當(dāng),H,H,H,時(shí)，它趨于無(wú)窮的行為永遠(yuǎn)比,趨于,零慢，從

13、而保證了,在,是有限,2,2,e,此時(shí)，有,2,2,2,2,0,n,n,n,d,H,dH,nH,d,d,這是厄米方程，其解為,厄米多項(xiàng)式,由,2.7.2,可知方程,2.7.1,有解的條件為,1,2,0,1,2,3,2.7.3,n,n,L,1,級(jí)數(shù)表示,2,2,0,1,2,2,n,k,n,k,n,k,n,H,k,n,k,2,1,2,2,n,n,n,式中,厄米多項(xiàng)式有三種重要表示,3,微分表示,2,積分表示,2,2,n,n,t,n,H,it,e,dt,2,2,1,n,n,n,n,d,H,e,e,d,厄米多項(xiàng)式具有如下性質(zhì),1,遞推關(guān)系,2,微分性質(zhì),1,1,1,2,n,n,n,H,H,nH,1,2,n,dH,nH,d,3,正交歸一性,4,完備性,2,2,n,n,n,nn,e,H,H,d,n,0,n,n,f,c,H,式中的展開(kāi)系數(shù)為,2,1,2,n,n,n,c,e,f,H,d,n,由式,2.7.