大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料

1、第一章隨機事件及其概率知識點：概率的性質事件運算古典概率事件的獨立性 條件概率 全概率與貝葉斯公 式常用公式(1) P(A) = r/ n P(A) = L(A)/L(S)P(A B)二 P(A) P(B)- P(AB)(加法定理)nnP(U A)=E p(A)(設Al,4A兩兩互斥,有限可加性)i di =1nnP(u A)=1- 1-P(A)(A, 4,A相互獨立時)i di =1(3) P(B/A) = P(AB)/P(A)(4) P(AB)二 P(A)P(B/A)二 P(B)P(A/B)P(AB)二 P(A)P(B)(A與B獨立時)P(AB)二0(A, B互不相容時)(5) P(A-

2、Bp P(AB)二 P(A)- P(AB)P(A- B)二 P(AB)二 P(A) - P(B)(當B A時)n(6) P(B)八 P(Ai)P(B/Ai)(全概率公式)i=1(其中A, A廠 An為的一個劃分,且P(Ai 0)(7) P(A /B) = nP(A)P(B/A)(逆概率公式)遲 P(Ai)P(B/A)應用舉例1 已知事件 A,B 滿足 P(AB)=P(AB),且 P(A)=0.6，則 P(B)二 ()。2、 已知事件 A,B 相互獨立，P(Ak, P(B0.2, P(A B)=0.6 , 則 k =()。3、 已知事件 A, B 互不相容，P(A) = 0.3, P(B) =0

3、.5,則P(A B)= ()。4、若 P(A)=0.3, P(B) =0.4 , P(AB) = 0.5 , P(B A B) = () o5、 A,B,C是三個隨機事件，C B，事件AUC -B與A的關 系是()。6、 5張數(shù)字卡片上分別寫看1, 2, 3, 4，5,從中任 取3張，排成3位數(shù)，則排成 3位奇數(shù)的概率是。7、某人下午5:00下班。他所積累的資料表明:到家時 間5:305:40 5:405:50 5:506:00 6:00 以后乘地鐵0.30.40.20.1乘汽車0.20.30.40.1某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車。(1) 試求他在5:405:50到家的概率；(2) 結

4、果他是5:47到家的。試求他是乘地鐵回家的 概率。解(1)設Ai =他是乘地鐵回家的， A2 =他是乘汽車 回家的， Bi =第i段時間到家的，i =1234分別對 應時間段 5:305:40 5:405:50 5:506:0Q 6:00 以后則由全概率公式有P(B2)= P(Ai)P(B2 I Al) P(A2)P(B2 I A2)由上表可知 P(B2|Ai)4 , P(B2|A2)=0.3 , P(AJ = P(A2)= 0.5P(B2) =0.5 0.40.3 0.5 =0.35(2)由貝葉斯公式P(B2)0.3578盒中12個新乒乓球，每次比賽從中任取3個來用， 比賽后仍放回盒中，求：

5、第三次比賽時取到 3個新球 的概率?？醋鳂I(yè)習題1:4, 9, 11, 15, 16第二章隨機變量及其分布知識點：連續(xù)型(離散型)隨機變量分布的性質連續(xù)型(離散型)隨機變量分布(包括隨機變 量函數(shù)的分布)常用分布重要內容1.分布函數(shù)的性質(1) F(x)單調遞增，即X2- F(X1尸 F(X2)(2) F)二 lim F(x)二 0XT 亠 (3) F(x)右連續(xù)，即 F(x 0) = F(x)(4) 0 = F( x) - 1 x R2 分布律的性質(1) 非負性0Pi1,(i= 1,2)(2) 規(guī)范性Pi=1i3分布密度函數(shù)的性質(1) 非負性f(x)0 (x R)(2) 規(guī)范性.f(x)d

6、xT4.概率計算八P(X 三 a) = F(a)P(xX x2) = P(X = x2)- P(X x1)P(X = a) = F(a)- F(a- 0)X為連續(xù)型隨機變量：P(X = a) = F(a)- F(a- 0) = 0aP(X ap f(x)dxQO-HoP(a Xp f(x)dxa X2P(E X x2) = f (x)dx5常用分布x1二項分布：P|- X - 和：1 二 2(1) -1 二 68.27%P| X -二|：2 訂=2(2) -1 =95.45%P| X -T ：3 ；號=2 ：(3) -1 =99.73%記為XB (n, p)或Xb(n, p)P(X 二k)二

7、C：pkqn k,(k = 0,1,n)泊松分布 X二P(X 二0 )或XPC)k泊松定理 C：pk(1- P)nkke ,(二 np) k!k) e g 0,1，;0) k!均勻分布較大且(P很小(a, b) XX 0)0,其他正態(tài)分布 XNC / 2)“(XT21 2f(x)e,x (八、/2 兀a(1) ： (0廠 0.5(2) ； (- x) = 1 - : (x)P| X T = 68.27%P| X -I 2 = 95.45%P| X _| 3 = 99.73應用舉例1、設f(xrkex .0)是某隨機變量的密度函數(shù)，則 k =()。2、設隨機變量X的概率密度為f(x)冷cosx貝

8、U P( 一1 ： X : 0) =() ox : 1,1 _ X ： e,則x亠e.0,3、設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=gx,J,P(X 2)= () o4、 設 XN(T2),滿足 P(X -1) =P(X 1)的參數(shù)()o5、 離散型隨機變量X的分布律為P(X二k) Jf (k=1,2,3),則c k!7c=()o6、土地糧食畝產量(單位：kg) X N(360,602).按畝產量 高低將土地分成等級.若畝產量高于420kg為一級，在 360420kg間為二級，在 315360kg間為三等，低于 315kg為四級.求等級丫的概率分布。 (：(0) =0.5,：(1) =0.8413

9、,(0.75) =0.7734 )解1420 X2 360 c X 蘭 420Y =3 315 ：X 乞 3604 X -3157、110在長度為t的時間（單位：h）間隔內收到的緊急 呼救的次數(shù)x服從參數(shù)為；的泊松分布，而與時間間隔 的起點無關.求某一天中午12時至下午3時至少收到1 次呼救的概率。eM）k解X的分布律為P（X =k） 匚（k=0,12 ）k!中午12時到下午3時，表明t=3 求p（x _1）8批產品由8件正品、2件次品組成。若隨機地從 中每次抽取一件產品后，無論抽出的是正品還是次品 總用一件正品放回去，直到取到正品為止，求抽取次 數(shù)x的分布律。解X所有可能的取值為1,2,3A

10、=第i次取到正品 （，123）看作業(yè)習題 2:4，7, 17，20, 24，26, 27 28第三章多維隨機變量及其分布知識點：二維連續(xù)型（離散型）隨機變量分布的性質 二維連續(xù)型（離散型）隨機變量的分布（包括邊際分 布）隨機變量的獨立性二維常用分布內容提要1. 概率分布的性質離散型非負性pij - 0,i, j = 1,2,oO oo歸一性 Pij = 1i =1 j =1-kc-Hc連續(xù)型歸一性f（x, y）dxdy = 12二維概率計算P（X, Y） G=3邊際密度函數(shù)計算+fx（x） = f （x, y）dy;4常用分布均勻分布f （x，y）二A10f (x, y)dxdyG+ocfY(

11、y)=f(x, y)dx cd（x，y） D其他二維正態(tài)分布(X,Y) NCt,2廣;廣)XN(n2),YNC2,。；)5. 隨機變量的獨立性F(x,y)= Fx(x) FY(y)Pij = Pi P j (i, j = 1,2,)f(x,y)= fx(x) fY(y)6. 正態(tài)分布的可加性設 iN( /j2) (i= 1,2|n) 且1, 2,n相互獨立，則nn12 III nN(jr2)i =1i =1應用舉例1、 設（X，Y 的密度函數(shù)則 k=（）。2、設離散型隨機變量（x,Y）的聯(lián)合分布律為(X,Y) (1,1) (1,2)(1,3) (2,1) (2,2) (2,3)P 1/61/9

12、1/181/3/.且X,Y相互獨立，則（）。3、某箱中有100件產品，其中一、二、三等品分別為70、20、10件，現(xiàn)從中隨機的抽取一件，記 其它i等品，2123求（1）X1和X2的聯(lián)合分布律； 并求P（X1譏）。4、 設隨機變量（X,Y）在曲線廠X，圍成的區(qū)域D里 服從均勻分布，求聯(lián)合概率密度和邊緣概率密度。5、設二維隨機變量（X,Y）的概率密度為已x2y xlyd七f（x,y）= 4 求p（ycx）0 其它6、設隨機變量X1,X2,X3相互獨立，并且均服從正態(tài)分布3Xi N（叫，G2）,i =1,2,3，貝U X i.（aiXbi）（ ）。i=1看作業(yè)習題 3:1,2,3,4,5,6,7,9

13、,1011,12,13,18第四章 隨機變量的數(shù)字特征知識點：隨機變量的數(shù)學期望的性質與計算隨機變量的方差(協(xié)方差、相關系數(shù))的性質與計算 主要內容1、數(shù)學期望的計算(1)已知X的分布，求E(X).離散型連續(xù)型.E(X)=無 xPiE(X)二 f xf(x)dx_nOi2已知X的分布且丫 = g(X),求E(Y).離散型連續(xù)型.-E(Y)=送 g(x)p E(Y) = -g(x)f(x)dxi3 已知X,Y)的聯(lián)合分布，且z-g(X,Y),求E(Z).離散型連續(xù)型E(Z) “ g(x$)Pj E(Z) = Mg(x,y)f(x,y)dxlyi jR2 已知(X,Y)的聯(lián)合分布,求E(X)或E(

14、Y).離散型方法 1: E(X) = xp連續(xù)型E(X)二 xf (x, y)dxdyR2離散型E(Y) = yj Pj連續(xù)型E(Y)二 yf (x, y)dxdyiE(X)二、Xi Pi.E(X)二：xfx(x)dxR2方法2:先求出邊際分布,則離散型連續(xù)型 :離散型E2、性質 a yjP.jE(Y) =yfY(y)dyE(XXn)二 E(Xi) E(X2)E(Xn)當隨機變量相互獨立時E(XY)= E(X) E(Y);E(X1Xj|Xnp E(XJ E(X2)|E(XJ3、方差的計算即D(X)二 E(X - EX)2易證 D(X)二 E(X2)- E(X)24,、方差性質(1) D(c)

15、= 0(2) D(aX b) = a2D(X) 特別地,D(aX)= a2D(X)(3) D(X - Y)二 D(X) D(Y)- 2EX- E(X)丫- E(Y)特別地,當X與丫獨立時,D(X 丫)二D(X) D(Y)扌隹廣：當Xi,X2“IXn相互獨立時，有d(z XJY DXi5、協(xié)方差與相關系數(shù)iT1協(xié)方差的計算 Cov(X,Yp EX - E(X)Y - E(Y)COV (X , Y)二 EXY - EXEY COV (X ,Y) = xyJDXI dY相關系數(shù)的計算XYCOV(X,Y) DX DY應用舉例1. 某農產品的需求量X(單位：噸)服從區(qū)間1200,3000 上的均勻分布。

16、若售出這種農產品1噸，可賺2萬 元，但若銷售不出去，則每噸需付倉庫保管費1萬元，問每年應準備多少噸產品才可得到最大平均利潤？解設每年準備該種產品k噸(1200k3000),則利潤丫為2kXk (此時無庫存)丫 S(X) ；2X-(k-X) X、n p(1 p)第六章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念知識點：抽樣分布內容提要1 基本概念樣本 統(tǒng)計量(常用統(tǒng)計量)2、抽樣分布定理(1) 設Xi N(0,1) (i = 1,2| n),且相互獨立,稱n2 = X； . X；.X；八 X2 2(n)i 二特別地：若X - N(0,1),則X2；(1)(2) 設XN (0,1),Y2(n),且X與丫相互獨立,則稱X2T

17、 二 Y/n t(n)T F(1, n)(3) 設叫)，丫2(n2)，且X與丫相互獨立，則稱X1 / rh1_FFg, n2)F(n2,njY/n2F(4) 設XX2廠Xr是從正態(tài)總體NC2中抽取的一個 簡單隨機樣本，則對樣本均值X及樣本方差S2,有:X NC，- 2)nX - 1二 /nN(0,1)X _ 二t(n - 1)s/n(n - 1)S2222(n)CJ定理3設Xi,X2lllXn是來自 N(y 2),Y1,Y2HIY是來自N（J,二2）的兩個獨立樣本 X, Y分別表示樣本均值，s；, s；表示樣本方差則統(tǒng)計量t(m n? - 2)(X Y) Ci_2)(叮1疔(叮1&(11)m

18、n? - 2n n2F(n 1,n； - 1)s24s；1.設總體X,Y相互獨立，且都服從N（0,32）,而 （Xi,X2，X9）和（Y,Y2,，丫9）分別來自X和丫的樣本，問：(1) X!X9服從什么分布？(2) 若C(Yj 丫22丫92)服從 2分布,C 二？X9 N(0,92) = 1,29解： X N(0,32) 二 1,29XX22Y N(0,3 )丫亠N(0,1)39 Y 22(9)送 (一21c=1/9則i =13第七章參數(shù)估計知識點：點估計 區(qū)間估計估計量的評價標準主要內容1、矩法矩估計法的具體步驟：(1) 求 出 Vr = E(Xr)= Vrjllls)r = 1,2,111 k1 n(2) A = j Xirr,2,|,kn日令V廠a這是一個包含k個未知參數(shù)：1/,2l/k的方程組.(4) 解出其中用氣？,111，叫表示.(5) 用方程組的解叫，呵,111,分別作為。1 2,III, k 的估計量,這個估計量稱為矩估計量.2、極大似然估計法n(1構造似然函數(shù)：L 二 L(SjllPk)7 f(X/1F2II 戶