2018年高考數(shù)學(xué)命題角度4.1空間平行垂直關(guān)系的證明大題狂練文

1、命題角度 4.1 ：空間平行，垂直關(guān)系的證明1. 如圖 1，在 Rt ABC 中， C 90 ， D 、E 分別為 AC ， AB 的中點(diǎn)， 點(diǎn) F 為線段 CD上一點(diǎn)，將 ADE 沿 DE 折起到A DE 的位置，使 A1F CD ，如圖 2.1(I) 求證： DE 平面A CB ；(II) 求證： A1F BE ；1( ) 若 Q為線段A B 中點(diǎn)，求證： A1C 平面 DEQ1【答案】（I ）見解析（ II ）見解析( ) 見解析試題解析：（I ）因?yàn)?D, E 分別為 AC, AB 的中點(diǎn)，所以 DE / / BC.又因?yàn)?DE 平面A1CB ,所以DE / /平面A1CB（II ）由

2、已知得 AC BC,且DE / / BC，所以DE AC .所以DE A D,DE CD,所以DE 平面A DC ，1 1而A1F 平面A1DC , 所以DE A1F ，又因?yàn)?A1F CD ,所以A1F 平面BCDE .所以 A1F BE.點(diǎn)睛：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，對(duì)空間想象能力有很高要求 .2. 如圖，在三棱錐 P ABC 中，已知平面 PBC 平面 ABC.（1）若 AB BC ,CP PB ，求證： CP PA；（2）若過點(diǎn) A作直線 l 平面 ABC，求證： l 平面 PBC .- 2 -【答案】（1）見解析（ 2）見解析【 解 析 】【 試 題

3、 分 析 】（ 1 ） 依 據(jù) 題 設(shè) 借 助 面 面 垂 直 的 性 質(zhì) 定 理 證 明 AB 平 面P B C，進(jìn)而證得 C P A，B C P平 面 PAB ， 然 后 運(yùn) 用 線 面 垂 直 的 性 質(zhì) 定 理 證 明CP PA；（2）借助題設(shè)條件先證明 PD 平面 ABC，進(jìn)而確定 l PD ，然后再運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理推證：證明：（1）因?yàn)槠矫?PBC 平面 ABC ，平面 PBC 平面 ABC =BC ， AB 平面ABC ， AB BC ，所以 AB 平面 PBC. 因?yàn)?CP 平面 PBC ，所以 CP AB . 又因?yàn)?CP PB, PB AB B, AB, PC 平面

4、PAB , 所以 CP 平面 PAB , 又因?yàn)?PA 平面PAB, 所以 CP PA.3. 如圖，在四棱錐 E ABCD中，AEDE，CD平面 ADE，AB平面 ADE，CD=DA=，6 AB=2，DE=3（1）求 B到平面 CDE 的距離（2）在線段 DE 上是否存在一點(diǎn) F ，使 AF 平面BCE？若存在，求出EFED的值；若不存在，說明理由【答案】（I ） AE 3 3 （II ）見解析 .- 3 -【解析】試題分析：(1) 利用等體積法結(jié)合題意可求得 B 到平面 CDE 的距離為 3 3 ；(2) 當(dāng) 1EFED 3時(shí)滿足題意，利用題中所給的條件進(jìn)行證明即可 .試題解析：解：（1）方

5、法一：因?yàn)?CD 平面 ADE ， CD AE , 又 AE ED, ED CD D ,所以 AE 平面 CDE ，又 AB / /CD ，所以 B 到平面 CDE 的距離為 AE 3 3 .方法二：等積法求高 .4. 如 圖 ， 四 棱 柱ABCD A B C D 中 ， A A1 平 面 A B C D， AB / /CD ，1 1 1 11AB BC CD ， E 為 A A1 的中點(diǎn) .2- 4 -（）證明：BE / /CD ；1（）若 ADC 45 ， CD CC1 ，求證：平面 E B1C1 平面 EBC .【答案】（I ）詳見解析； （II ）詳見解析 .【解析】試題分析： （）

6、分別取 CD ,DD1 的中點(diǎn) M ,N ，連結(jié) BM , MN , NE ，可證明四邊形 BMNE 是平行四邊形，所有 MN / /BE 又根據(jù)DD C 中，中位線的性質(zhì)， MN / / D1C ，1根據(jù)平行線的傳遞性可知 BE / / CD1 ；（）根據(jù)條件可證明 BC AB, BC B B1 ，所有 BC平面ABB ，即 BC B1 E，也可證明 B1E BE ，所有 B1E 平面 EBC ，即證明了平面1EB C 平面 EBC .1 1試題解析：（）分別取 CD, DD1 中的中點(diǎn)為 M ,N ，并連接 BM ,MN , NE ，則由 AB/ /CD ，1AB CD 得， AB / /

7、DM ， AB DM ，2可得四 邊形 ABMD 為平行 四邊形 ，那么 AD BM ， AD / /BM ，又 AD EN，AD / / EN ，所以 NE / /BM ，且 NE BM ，得四邊形 BMNE是平行四邊形，可得 BE / /MN ，又MN / /CD ，所以 BE / / CD1 .1（）取 CD 中點(diǎn) M ，連接 AM ，則 AM DM ，可得 DAM ADM 45 ，則 AMD 90 ，即 AM CD ， AM / /BC ，那么 AB BC ，又BC BB ，1得 BC 平面ABB A ，那么 BC B1E ，由 CD CC1 ，1 1得 AB AE ，又 BAE 90

8、 ，那么 AEB 45 ，同理， A1EB1 45 ，即得 BE B1E ，可得 B1E 平面 BCE，即得平面EB C 平面 EBC.1 1【點(diǎn)睛】本題考查了平行與垂直的證明，而垂直的證明是難點(diǎn)，若是證明線線垂直，一般轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，線線垂直，或是三邊滿足勾股定理，證明線線垂直；若是證明線面垂直，一般根據(jù)判斷定理，證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則線面垂直；若是證明面面垂直，- 5 -同樣是根據(jù)判斷定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，則面面垂直 .5. 如圖，四邊形 ABCD與 ADEF 均為平行四邊形， M ，N ，G 分別是 AB，AD，EF 的中點(diǎn)（1）求證： BE 平面 DMF ；（2）求

9、證：平面 BDE 平面 MNG .【答案】（1）見解析（ 2）見解析【解析】試題分析：(1) 連接 AE ，結(jié)合題意證得 BE MO ，利用線面平行的判斷定理即可證得 BE 平面 DMF .(2) 結(jié)合題意首先證得線面平行： DE 平面 MNG ， BD 平面 MNG ，且 DE 與 BD 為平面 BDE 內(nèi)的兩條相交直線，據(jù)此可得平面 BDE 平面 MNG .（2）因?yàn)?N，G 分別為平行四邊形 ADEF 的邊 AD ,EF 的中點(diǎn)，所以 DE GN ，又 DE 平面 MNG ， GN 平面 MNG ，所以 DE 平面 MNG .- 6 -又 M 為 AB 中點(diǎn)，所以 MN 為 ABD 的中

10、位線，所以 BD MN ，又 BD 平面 MNG ， MN 平面 MNG ，所以 BD 平面 MNG ，又 DE 與 BD 為平面 BDE 內(nèi)的兩條相交直線，所以平面 BDE 平面 MNG .點(diǎn)睛：證明兩個(gè)平面平行的方法有：用定義，此類題目常用反證法來完成證明；用判定定理或推論 ( 即“線線平行 ? 面面平行” ) ，通過線面平行來完成證明；根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”這一性質(zhì)進(jìn)行證明；借助“傳遞性”來完成6. 在正方體ACBD AC B D 中， E, F ,G 分別是 AB, CC1, AD 的中點(diǎn) .1 1 1 1（1）證明：平面A BG 平面 CEF ；1（2）棱 CD 上是

11、否存在點(diǎn) T ，使 AT / / 平面B EF ？請(qǐng)證明你的結(jié)論 .1【答案】（1）見解析（ 2）在棱 CD 上取點(diǎn) T ，使得1DT DC ，則 AT / / 平面 B1EF .4【解析】試題分析： (1) 證明平面 A1BG 平面 CEF ，可先證明 BG 平面 EFC ，可先證明BG CE ， FC BG. (2) 延長(zhǎng) BC ， B1F 交于 H ，連 EH 交 DC 于 K , 得TK AE 且TK AE ，四邊形 AEKT 為平行四邊形，所以 AT EK ，即 AT EH 即證得 AT 平面B EF1試題解析：- 7 -(2) 解：在棱 CD 上取點(diǎn) T ，使得 1 DT DC ，

12、則 AT 平面 B1EF 4證明如下：延長(zhǎng) BC ，B F 交于 H ，連 EH 交 DC 于 K 1因?yàn)镃C BB ， F 為 CC1 中點(diǎn)，所以 C 為 BH 中點(diǎn)1 1因?yàn)?CD AB ，所以 KC AB，且1 1KC EB CD 2 4因?yàn)?DT DC ， E 為 AB 中點(diǎn)，所以 TK AE 且TK AE ，4即四邊形 AEKT 為平行四邊形，所以 AT EK ，即 AT EH 又 EH 平面B EF ， AT 平面 B1EF ，1所以 AT 平面B EF 1- 8 -點(diǎn)睛：存在性問題，可以由果索因，找出所求點(diǎn)的位置，寫過程時(shí)把結(jié)論先寫上，利用這一條件證出結(jié)果 .7. 如圖，在多面體

13、 ABCDEF 中，平面 BDEF 平面 ABCD ，四邊形 ABCD是菱形，四邊形 BDEF 是矩形， BD 2BF ， H 是 CF 的中點(diǎn) .（1）求證： AF / / 平面 BDH ；（2）求證：平面 ACE 平面 ACF .【答案】（1） 見解析（ 2）見解析【解析】試題分析：(1) 利用題意證得 OH / / AF ， 然后由線面平行的判斷定理可得 AF / / 平面 BDH .(2 ) 利用題意證得 OE 平面 ACF . 由面面垂直的判斷定理可得平面 ACE 平面 ACF .試題解析：（1）證明：設(shè) AC BD O ，連接 OH ，因?yàn)樗倪呅?ABCD是菱形， O是 A C的中

14、點(diǎn)又 H 是 CF的中點(diǎn)，所以 OH 是三角形 AFC 的中位線，所以 OH / /AF ，又 AF 平面 BDH ， OH 平面 BDH ，- 9 - AF / / 平面 BDH .（2）連接 OF ,OE ，四邊形 ABCD 是菱形，所以 AC BD .因?yàn)槠矫?BDEF 平面 ABCD ，平面 BDEF 平面 ABCD BD ，AC 平面 ABCD ， AC BD ，所以 AC 平面 BDEF ，又OE 平面 BDEF ，所以 AC OE .在矩形 BDEF 中，設(shè) BF a，則 EF 2a ， OE OF 2a，由勾股定理可得， OEF 為直角三角形，且 OE OF .因?yàn)?OE AC

15、 ， OE OF ， AC FO O ，所以 OE 平面 ACF .又OE 平面 ACE，所以平面 ACE 平面 ACF .8. 如圖 ， 在幾 何 體 ABCDEF 中 ，底 面 ABCD 為矩 形， EF / /CD ， CD EA ，CD 2EF 2， ED 3 ， M 為棱 FC 上一點(diǎn)，平面 ADM 與棱 FB交于點(diǎn) N .- 10 -（）求證： ED CD ；（）求證： AD / /MN ；（）若 AD ED ，試問平面 BCF 是否可能與平面 ADMN 垂直？若能，求出 FMFC值；若不能，說明理由?！敬鸢浮浚?）見解析（ 2）見解析（ 3） 1FMFC 2【解析】試題分析：(1

16、) 利用題意證得 CD 平面 EAD 所以 ED CD (2) 利用線面平行的性質(zhì)定理 AD / / 平面 FBC 所以 AD / /MN (3) 假設(shè)平面 BCF 是否可能與平面 ADMN 垂直，結(jié)合題意可求得 FM 1 FC 2- 11 -（）平面 ADMN 與平面 BCF 可以垂直證明如下：連接 DF 因?yàn)?AD ED ， AD CD ，所以 AD 平面 CDEF 所以 AD DM 因?yàn)?AD / /MN ，所以 DM MN 因?yàn)槠矫?ADMN 平面 BCF MN ，若使平面 ADMN 平面 BCF ，則 DM 平面 BCF ，所以 DM FC 在梯形 CDEF 中，因?yàn)?EF / /C

17、D ， ED CD ， CD 2EF 2， ED 3 ，所以 DF DC 2所以若使 DM FC 能成立，則 M 為 FC 的中點(diǎn)所以FMFC12點(diǎn)睛：高考中立體幾何試題不斷出現(xiàn)了一些具有探索性、開放性的試題。對(duì)于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法來解決。立體幾何引入空間向量后，可以借助向量工具，使幾 何問題代數(shù)化，降低思維的難度 . 尤其是在解決一些立體幾何中的探索性問題時(shí)，更可以發(fā)揮這一優(yōu)勢(shì) .9. 如圖，梯形 ABCD 中， BAD ADC 90 ,CD 2, AD AB 1，四邊形 BDEF 為正方形，且平面 BDEF 平面 ABCD.（1）求證： DF CE ；

18、（2）若 AC 與 BD 相 交于點(diǎn) O，那么在棱 AE 上是否存在點(diǎn) G ，使得平面 OBG / / 平面EFG ？并說明理由 .【答案】 (1) 見解析； (2) 見解析 .【解析】試題分析：- 12 -(1) 利用題意首先證得 DF 平面 BCE，由線面垂直的定義可得 DF CE .(2) 在棱 AE 上存在點(diǎn) G ，使得平面 OBG / / 平面 EFC ，且 1AGGE 2，利用面面平行的判斷定理結(jié)合題意證 得該結(jié)論即可 .試題解析：(1) 證明： 連接 EB . 因?yàn)樵谔菪?ABCD中， BAD ADC 90 , AB AD 1, DC 2，2 2 2BD 2, BC 2, BD

19、BC CD , BC BD ， 又 因 為 平 面 BDEF 平 面A B C D， 平 面 B D E F 平 面 A B C D , B D 平B C面 A B C, D B 平C 面B D E, F B C ，又D因?yàn)镕正方形 BDEF 中， DF EB 且 EB, BC 平面 BCE , EB BC B, DF 平面 BCE ，又 CE 平面 BCE , DF CE .點(diǎn)睛：高考中立體幾何試題不斷出現(xiàn)了一些具有探索性、開放性的試題。對(duì)于這類問題一般- 13 -可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法來解決。立體幾何引入空間向量后，可以借助向量工具，使幾何問題代數(shù)化，降低思維的難度 . 尤其是在解決一些立體幾何中的探索性問題時(shí)，更可以發(fā)揮這