大學物理振動和波

1、第十五章 機械振動,基本內容：,諧振動的特征 諧振動的描述 諧振動的合成,機械振動： 物體在一定位置附近來回往復的運動。其軌跡可以是直線，也可以是平面曲線或空間曲線。,機械振動可分為周期性振動和非周期性振動，最簡單的機械振動是周期性的直線振動簡諧振動。任何復雜的振動都可認為是由若干個簡諧振動合成的。,15.1 簡諧振動的特點,位置A：小球所受合力為零的位置，稱為振動系統(tǒng)的平衡位置。,將小球推離平衡位置并釋放，小球來回振動，如果摩擦阻力小，小球振動的次數(shù)就多。假如一點阻力也沒有，小球只受彈性回復力，振動將永久持續(xù)下去，這種理想化的振動是簡諧振動。,一、諧振動中的理想模型彈簧振子,如果振動物體可表

2、示為一質點，而與之相連接的所有彈簧等效為一輕彈簧，忽略所有摩擦，可用彈簧振子描述簡諧振動。,以平衡位置為坐標原點，水平向右為正，則小球所受彈性力F與小球離開平衡位置的位移x有以下關系：,二、諧振動的特點：,1、動力學特征：,從動力學觀點，若物體僅受線性回復力作用，它就作簡諧振動。,動力學特征：質點所受得力大小與位移成正比，方向相反。,K是彈簧的彈性系數(shù)，負號表示力和位移方向相反。,回復力,2、運動學特征：,令,積分得：,從運動學觀點，若物體離開平衡位置的位移隨時間變化的規(guī)律是正弦或余弦的函數(shù)，它就作簡諧振動。,運動學特征：物體離開平衡位置的位移隨時間變化的規(guī)律是正弦或余弦的函數(shù)。,3、能量特征

3、：,其中,能量特征：諧振動的機械能等于x為A時的彈性勢能，或速度最大時（平衡位置）的動能。振動過程中動能和勢能相互轉換，機械能守恒。,一個周期內的平均動能與平均勢能：,例6.諧振子在相位為 ,其動能為 ,求其機械能。,解：,1、方程中各參量的物理意義,x : 表示 t 時刻質點離開平衡位置的位移。,A: 質點離開平衡位置的位移最大值的絕對值振幅。, 15.2 簡諧振動的描述,一、諧振動的代數(shù)描述法, ：,又,比較知,稱為圓頻率,僅決定于振動系統(tǒng)的力學性質。,t + :,稱位相或相位或周相，是表示任意 t 時刻振動物體動狀態(tài)的參量。, :,稱為初位相，是表示 t=0 時刻振動物體狀態(tài)的參量。,2

4、、位移、速度 加速度,v 的位相超前 x /2,問題： 是描述t=0時刻振動物體的狀態(tài)，當給定計時時刻振動物體的狀態(tài)（t=0 時的位置及速度：x0 v0 )，如何求解相對應的 ？,（1）、已知 t = 0 振動物體的狀態(tài)x(0), v(0)求 ,可得：,A與由系統(tǒng)的初始條件x(0), v(0)決定,（2）已知 t = 0 振動物體的狀態(tài)x(0)及A時求,最終確定初位相的值,例1：如圖所示，將小球拉至A釋放，小球作諧振動。如果已知 k, ，以小球運動至A/2處，且向x負方向運動作為計時的起點，求小球的振動方程。,解：問題歸結于求,t = 0 小球向 x 負方向運動，因而 v 0 = +600,例

5、2 如圖所示,彈簧處于原長,當子彈射入后,求系統(tǒng)的振動方程。,解：,t =0, x(0) = 0, v(0) = v,例3 垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b 。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出 振動方程。,取平衡位置為坐標原點，靜平衡受力分析如圖,kb - mg = 0,證明：,則有：,任意位置時小球所受到的合外力為：,F =mg -k ( b+x ) = -kx,小球作諧振動,A=b , = ,由mg - kb = 0得：,由題知：,t=0時， x0=-b， v0=0,則可得：,所以運動方程為：,二、諧振動的圖線描述法,兩類問題：,1、已知諧振動方程，描繪諧振動曲線,2

6、、已知諧振動曲線，描繪諧振動方程,三、 簡諧振動的旋轉矢量表示法,1、旋轉矢量,M 點在x 軸上投影P點的運動規(guī)律為振動方程：,注意：旋轉矢量在第1象限速度v 0,注意：旋轉矢量在第4象限速度v 0,則稱振動 2 超前振動 1，振動 1 滯后振動 2,若周相差= 2-10,2、用旋轉矢量分析位相與振動的關系,若周相差= 0，則稱兩振動同步,若周相差=，則稱兩振動反相,t =1時,x1=0,例4 一諧振動的振動曲線如圖所示，求、以及振動方程。,t = 0時,解：,1=t1+,本題的另一種求法:, 15.3 簡諧振動的合成,一、同方向、同頻率兩個諧振動的合成,1、利用三角函數(shù)公式合成,令,則可得：

7、,其中：,2、利用旋轉矢量合成,結論：同方向同頻率的兩個簡諧振動合成后仍為一簡諧振動，其頻率與分振動頻率相同。,討論：合振動的加強與減弱,一般情形：二分振動既不同相位也不反相位，合振動振幅在A1+A2與|A1-A2| 之間。,二、同方向、不同頻率的兩個諧振動的合成,一般情況下合成后的振動是一個復雜的運動。 一種特殊情況拍現(xiàn)象,t,t,t,x,x,1,2,x,=,2,0.25s,0.75s,0.50s,=,=,2,16,18,1,利用旋轉矢量分析，作出李薩如圖形（觀察演示）,三、相互垂直的同頻率的兩個諧振動的合成,例5已知,求：合振動的振幅及初相位，并寫出合振動的表達式。,解：,例6一物體沿x軸

8、作簡諧振動，振幅為0.12m,周期為2s，當t=0時位移為0.06m，且向x軸正方向運動，求（1）振動表達式； （2）t=0.5s時，物體的位置、速度和加速度； （3）從x=-0.06m且向x軸負方向運動到返回平衡位置所需的時間,解:（1）,由于物體此時向x正向運動，,故,（2）,（3）注意相位與狀態(tài)相對應。,質點沿x軸負向運動，,設 時，x=-0.06m.,故,質點返回平衡位置的相位為 ，設該時刻為 。,所以,第十六章 波動學基礎,波動是振動的傳播過程，也是動量和能量傳播的過程。,機械波：機械振動在媒質中的傳播過程。 電磁波：交變電磁場在空間的傳播過程。,基本內容：,機械波的產(chǎn)生與傳播 機械

9、波的幾個特征量 波動方程 波的疊加原理（特例）波的干涉。,各類波的本質不同，但都伴有能量的傳播，都能產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象，且有相似的數(shù)學描述。,16.1 機械波的產(chǎn)生與傳播,1、波源 2、 彈性媒質,橫波：質點的振動方向和波的傳播方向垂直,縱波：質點的振動方向和波的傳播方向平行,二、機械波的分類,一、產(chǎn)生機械波的條件,特點：具有波峰和波谷（如繩子上的波）,特點：具有疏密相間的區(qū)域（如聲波）,橫波的波動,波的傳播方向,特點：具有波峰和波谷,縱波的波動,波的傳播方向,質點振動方向,特點：具有疏密相間的區(qū)域,三、波的形成和傳播（以橫波為例）,1、過程分析：由于媒質內各質點間存在相互作用力

10、，故當一個質點振動后，在媒質內部的彈性力作用下，將帶動其周圍其它的質點也相繼振動起來如此依次帶動，振動狀態(tài)由近及遠地傳播開去,形成機械波。,（靜止）,（振動狀態(tài)傳至4）,（振動狀態(tài)傳至7）,（振動狀態(tài)傳至10 ),（振動狀態(tài)傳至13）,2.結論,（1）各質點僅在自己的平衡位置附近振動，并不 隨波前進。,（2）振動狀態(tài)以一定的速度傳播波速。（注意 波速不是質點的振動速度）,（3）波的周期與質點的振動周期相同。 沿波的傳播方向，各質點的相位依次落后。,（4）波形在空間移動行波。,四、波的幾何描述,同相面（波面）：,由振動周相相同的點所組成的面。,波陣面（波前)：,某時刻波動所到達的點所組成的面。,

11、波線（波法線）：,表示波的傳播方向的線。在各向同性介 質中與波面法線相同。,在各向同性媒質中波線和波陣面垂直,平面波：,球面波：,波陣面為一球面。,波陣面為一平面。,橫波波速,G 切變彈性模量 密度（單位體積質量）,波長 在同一條波線上,周相差為2的兩質點間的距離。 周期 傳播一個波長距離所用的時間。 頻率 在單位時間內通過某一觀察點的完整波數(shù)目。,波速 波在單位時間內所傳播的距離。,16.2 機械波的幾個特征量,頻率和周期只決定于波源，和媒質無關。,縱波波速,流體（氣體、液體）,固體,Y:楊氏彈性模量,B:容變彈性模量,波速是與媒質有關的一個物理量,任意點（B點）的振動方程為：,參考點O點的

12、振動方程為：,y表示在波線上任意一點（距原點為 x 處）質點在任意時刻的位移, 也就是平面簡諧波的波動方程。,16. 3 波動方程,一、平面簡諧波的波動方程,質點的振動速度：,平面簡諧波的波動方程為:,其中減號表示波向x軸正向傳播，加號表示波向x軸負向傳播,表示在t1 時刻的波形,3、 t 與 x 都發(fā)生變化,t=t1時,表示x1處質點的振動方程,二、波動方程的物理意義,1、x=x1（常數(shù)）,2、t=t1（常數(shù)）,t=t1+t時,表示在t1時刻x處的位移y1，在經(jīng)過t時間后，同樣的位移發(fā)生在x處，波向前傳播了ut的距離，即某一固定周相傳播了ut的距離。,可以證明三維的波動方程為：,其中為質點的

13、位移,從上兩式可得波動方程：,三、波動方程的一般形式,例1、已知波源在原點的平面簡諧波的方程為,式中A、B、C為正值恒量。,試求： （1）波的振幅、波速、頻率、周期與波長；,（3）任何時刻，在波傳播方向上相距為D的兩點的周相差。,（2）寫出傳播方向上距離波源l處一點的振動方程；,解：（1）波動方程的標準形式,波的振幅為A, 波速,頻率,波長,（2）,（3）, 例2 以P 點在平衡位置向正方向運動作為計時零點，寫出波動方程。, 例3 波速 u =400m/s, t = 0 s時刻的波形如圖所示。寫出波動方程。,例4一橫波在弦上傳播，其方程是,式中x、y以米計，t與秒計。,（1）求波長、周期、波速

14、；,（2）畫出 t=0, 0.0025s, 0.005s時弦的形狀。,解：（1）方法一：與標準方程相比較,波長,周期 T=0.01S,波速,方法二、依各量的物理意義求解,（2）方法一：根據(jù)各時刻的波形方程逐一畫出波形。,方法二：只畫出t=0的波形，然后采用移動波形的方法。,例5、一平面簡諧波在空間以速度u 傳播，已知p點的振,就下面四種選定的坐標系，寫出各自的波函數(shù)。,動方程為,例6、沿x軸負向傳播的平面簡諧波在t=2s時的波形曲線如圖，設波速u=0.5m/s求原點0的振動表達式。,解：由圖知,t=0原點0:,例7、,一平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率為,A、,波速為 u，設t=0時的

15、波形曲線如圖。,（1）寫出該波的波函數(shù)；,（2）求距0點為,（3）求距0點為,處的質點的振動表達式；,處的質點在t=0時的振動速度。,y,x,0,u,解：（1）t=0時，0點的相位，即初相位,故波函數(shù),（2）,（3）,16.4 波的能量 能流密度,一、能量密度,取體積元dV，,能量密度:,平均能量密度：,能流P :單位時間通過某一面積的波能。,P = S w u,二、能流密度,波的強度 I（能流度）:通過垂直于波的傳播方向的單位面積的平均能流。,總結：波是能量傳播的一種形式。,波真正傳播的是振動、波形和能量。波形傳 播是現(xiàn)象，振動傳播是本質，能量傳播是量度。,16.5 惠更斯原理,一、惠更斯原

16、理,波動所到達的媒質中各點，都可以看作為發(fā)射子波的波源，而后一時刻這些子波的包跡便是新的波陣面。,用惠更斯原理解釋折射定律,二、惠更斯原理的應用,沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加,兩水波的疊加,16.6 波的疊加原理,一、波的疊加原理,1、波的獨立傳播原理: 有幾列波同時在媒質中傳播時，它們的傳播特性（波長、頻率、波速、波形）不會因其它波的存在而發(fā)生影響。,2、波的疊加原理:在幾列波相遇的區(qū)域內,媒質質點同時參與這幾列波所引起振動，其位移為各波單獨存在時在該點所引起振動的合振動。,二、波的干涉,相干波源：若有兩個波源，它們的振動方向相同、頻率相同、周相差恒定，稱這兩波源為相干波源。,波源,P點,干涉加強(A最大)條件：,干涉減弱(A最小)條件：,問題：對于相干光波，干涉條件如何？,兩波的波動方程分別為：,駐波 ： 一對振幅相同的相干波，在同一條直線上，沿相反方向傳播時，疊加而成的波。,三、駐波,波腹位置：,波節(jié)位置：,相鄰兩波節(jié)（或波腹）的距離:,駐波的特點： 1. 有波節(jié)、波腹； 2. 波節(jié)兩側質點的振動周相相反，相鄰兩波節(jié)之間的質點振動周相相同。 3. 波的