第4講導數(shù)及其應用

1、第,4,講,導數(shù)及其應用,感悟高考,明確考向,(2010,北京,),設函數(shù),f,(,x,),a,3,x,3,bx,2,cx,d,(,a,0),，,且方程,f,(,x,),9,x,0,的兩個根分別為,1,4.,(1),當,a,3,且曲線,y,f,(,x,),過原點時，求,f,(,x,),的解析式；,(2),若,f,(,x,),在,(,，,),內(nèi)無極值點，,求,a,的取值范圍,解,由,f,(,x,),a,3,x,3,bx,2,cx,d,，,得,f,(,x,),ax,2,2,bx,c,.,因為,f,(,x,),9,x,ax,2,2,bx,c,9,x,0,的兩個根分別為,1,4,，,所以,?,?,?,

2、?,?,a,2,b,c,9,0,，,16,a,8,b,c,36,0.,(*),(1),當,a,3,時，由,(*),式得,?,?,?,?,?,2,b,c,6,0,，,8,b,c,12,0.,解得,?,?,?,?,?,b,3,，,c,12.,又因為曲線,y,f,(,x,),過原點，所以,d,0.,故,f,(,x,),x,3,3,x,2,12,x,.,(2),由于,a,0,，,所以,“,f,(,x,),a,3,x,3,bx,2,cx,d,在,(,，,),內(nèi)無極值點,”,等價于,“,f,(,x,),ax,2,2,bx,c,0,在,(,，,),內(nèi)恒成立,”,由,(*),式得,2,b,9,5,a,，,c,

3、4,a,.,又,(2,b,),2,4,ac,9(,a,1)(,a,9),由,?,?,?,?,?,a,0,，,9(,a,1)(,a,9),0,，,得,1,a,9,，,即,a,的取值范圍是,1,9,考題分析,本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)、,函數(shù)的解析,式以及函數(shù)的極值點的概念考查了換元消元的解題,方法以及轉(zhuǎn)化與化歸、,函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法,題,目難度不大，特點鮮明,易錯提醒,(1),構(gòu)建不出關(guān)于,a,、,b,、,c,的方程組,(2),搞,不,清,“,f,(,x,),在,(,，,),內(nèi),無,極,值,點,”,與,“,f,(,x,),0,在,(,，,),內(nèi)恒成立”的等價關(guān)系,(3),易忽視條件,a,0,

4、的應用,(4),想不到換元方法，消不去,b,、,c,.,(5),計算錯誤,.,主干知識梳理,1,導數(shù)的幾何意義,(1),函數(shù),y,f,(,x,),在,x,x,0,處的導數(shù),f,(,x,0,),就是曲線,y,f,(,x,),在點,(,x,0,，,f,(,x,0,),處的切線的斜率，,即,k,f,(,x,0,),(2),曲線,y,f,(,x,),在點,(,x,0,，,f,(,x,0,),處的切線方程為,y,f,(,x,0,),f,(,x,0,)(,x,x,0,),(3),導數(shù)的物理意義：,s,(,t,),v,(,t,),，,v,(,t,),a,(,t,),2,基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和運算法則,(1

5、),基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,原函數(shù),導函數(shù),f,(,x,),c,f,(,x,),0,f,(,x,),x,n,(,n,N,*,),f,(,x,),nx,n,1,f,(,x,),sin,x,f,(,x,),cos,x,f,(,x,),cos,x,f,(,x,),sin,x,f,(,x,),a,x,(,a,0,且,a,1),f,(,x,),a,x,ln,a,f,(,x,),e,x,f,(,x,),e,x,f,(,x,),log,a,x,(,a,0,且,a,1),f,(,x,),1,x,ln,a,f,(,x,),ln,x,f,(,x,),1,x,(2),導數(shù)的四則運算法則,u,(,x,),v,(,x,

6、),u,(,x,),v,(,x,),u,(,x,),v,(,x,),u,(,x,),v,(,x,),u,(,x,),v,(,x,),u,(,x,),v,(,x,),u,(,x,),v,(,x,),u,(,x,),v,(,x,),v,(,x,),2,(,v,(,x,),0),3,函數(shù)的性質(zhì)與導數(shù),(1),在區(qū)間,(,a,，,b,),內(nèi)，如果,f,(,x,)0,，那么函數(shù),f,(,x,),在區(qū)間,(,a,，,b,),上單調(diào)遞增；,在區(qū)間,(,a,，,b,),內(nèi)，,如果,f,(,x,)0,，,那么函數(shù),f,(,x,),在區(qū)間,(,a,，,b,),上單調(diào)遞減,(2),求可導函數(shù)極值的步驟,求,f,(,

7、x,),；求,f,(,x,),0,的根；,判定根兩側(cè)導數(shù)的符號；下結(jié)論,(3),求函數(shù),f,(,x,),在區(qū)間,a,，,b,上的最大值與最小值的步驟,求,f,(,x,),；,求,f,(,x,),0,的根,(,注意取舍,),；,求出各極值及區(qū)間端點處的函數(shù)值；,比較其大小，,得結(jié)論,(,最大的就是最大值，,最小的就是,最小值,),熱點分類突破,題型一,導數(shù)幾何意義的應用,例,1,已知曲線,y,1,x,.,(1),求曲線在點,P,(1,1),處的切線方程；,(2),求曲線過點,Q,(1,0),的切線方程；,(3),求滿足斜率為,1,3,的曲線的切線方程,思維啟迪,利用導數(shù)的幾何意義確定曲線在某點處

8、的,切線斜率，進而使問題獲解,解,(1),y,1,x,2,.,又,P,(1,1),是曲線上的點，,P,是切點，所求切線的斜率為,k,f,(1),1.,所以曲線在,P,點處的切線方程為,y,1,(,x,1),即,y,x,2.,(2),顯然,Q,(1,0),不在曲線,y,1,x,上，則可設過該點的切線,的切點為,A,(,a,，,1,a,),，則該切線斜率為,k,1,f,(,a,),1,a,2,.,則切線方程為,y,1,a,1,a,2,(,x,a,),將,Q,(1,0),代入方程,得,0,1,a,1,a,2,(1,a,),，,解得,a,1,2,，故所求切線方程為,y,4,x,4.,(3),設切點坐標

9、為,A,(,a,，,1,a,),，則切線的斜率為,k,2,1,a,2,1,3,.,解得,a,3,，,A,(,3,，,3,3,),或,A,(,3,，,3,3,),代入點斜式方程得,y,3,3,1,3,(,x,3),或,y,3,3,1,3,(,x,3),即切線方程為,x,3,y,2,3,0,或,x,3,y,2,3,0.,探究提高,(1),在點,P,處的切線即是以,P,為切點的切,線，,P,一定在曲線上,(2),過點,Q,的切線即切線過點,Q,，,Q,不一定是切點，所,以本題的易錯點是把點,Q,作為切點求過點,P,的切線,方程時，首先應檢驗點,P,是否在已知曲線上,變式訓練,1,在平面直角坐標系,x

10、Oy,中，設,A,是曲線,C,1,：,y,ax,3,1(,a,0),與曲線,C,2,：,x,2,y,2,5,2,的一個公共,點，若,C,1,在,A,處的切線與,C,2,在,A,處的切線互相垂,直，則實數(shù),a,的值是,_,解析,設,A,(,x,0,，,y,0,),，所以,C,1,在,A,處的切線的斜率為,f,(,x,0,),3,ax,2,0,，,C,2,在,A,處的切線的斜率為,1,k,OA,x,0,y,0,，,又,C,1,在,A,處的切線與,C,2,在,A,處的切線互相垂直，所,以,(,x,0,y,0,),3,ax,2,0,1,，即,y,0,3,ax,3,0,，又,ax,3,0,y,0,1,，

11、所以,y,0,3,2,，代入,C,2,：,x,2,y,2,5,2,，得,x,0,1,2,，將,x,0,1,2,，,y,0,3,2,代入,y,ax,3,1(,a,0),，得,a,4.,4,題型二,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,例,2,(2009,安徽,),已知函數(shù),f,(,x,),x,2,x,a,(2,ln,x,),a,0,，討論,f,(,x,),的單調(diào)性,思維啟迪,確定定義域求導對,a,進行分類討論,確定,f,(,x,),的正、負,解,(1),f,(,x,),的定義域是,(0,，,),，,導函數(shù),f,(,x,),1,2,x,2,a,x,x,2,ax,2,x,2,.,設,g,(,x,),x,2,ax

12、,2,，,二次方程,g,(,x,),0,的判別式,a,2,8.,當,0,即,0,a,2,2,時，對一切,x,0,都有,f,(,x,)0.,此,時,f,(,x,),是,(0,，,),上的單調(diào)遞增函數(shù),當,0,即,a,2,2,時，僅對,x,2,時，有,f,(,x,),0,，,對其余的,x,0,都有,f,(,x,)0.,此時,f,(,x,),也是,(0,，,),上的單調(diào)遞增函數(shù),當,0,即,a,2,2,時，,方程,g,(,x,),0,有兩個不同的實根,x,1,a,a,2,8,2,，,x,2,a,a,2,8,2,，,0,x,1,x,2,.,x,(0,，,x,1,),x,1,(,x,1,，,x,2,),

13、x,2,(,x,2,，,),f,(,x,),0,0,f,(,x,),極大,值,極小,值,此時,f,(,x,),在,?,?,?,?,?,?,?,?,0,，,a,a,2,8,2,，,?,?,?,?,?,?,?,?,a,a,2,8,2,，,上單調(diào),遞增，在,?,?,?,?,?,?,?,?,a,a,2,8,2,，,a,a,2,8,2,上單調(diào)遞減,探究提高,討論函數(shù)的單調(diào)性其實就是討論不等式的,解集的情況，大多數(shù)情況下是歸結(jié)為一個含有參數(shù)的,一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解,求出不等式對應方程的根時依據(jù)根的大小進行分類討,論，在不能通過因式分解求出根的情況時根據(jù)不等式,對應方程的判別式進行

14、分類討論討論函數(shù)的單調(diào)性,是在函數(shù)的定義域內(nèi)進行的，千萬不要忽視了定義域,的限制,變式訓練,2,(2010,江西,),設函數(shù),f,(,x,),6,x,3,3(,a,2),x,2,2,ax,.,(1),若,f,(,x,),的兩個極值點為,x,1,，,x,2,，且,x,1,x,2,1,，求實數(shù),a,的值,(2),是否存在實數(shù),a,，使得,f,(,x,),是,(,，,),上的單調(diào),函數(shù)？若存在，求出,a,的值；若不存在，說明理由,解,f,(,x,),18,x,2,6(,a,2),x,2,a,.,(1),由已知有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),0,，,從而,x,1,x,2,2,a,18,1,

15、，所以,a,9.,(2),因為,36(,a,2),2,4,18,2,a,36(,a,2,4),0,，,所以不存在實數(shù),a,，使得,f,(,x,),是,(,，,),上的單調(diào),函數(shù),題型三,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值或最值,例,3,已知函數(shù),f,(,x,),x,3,mx,2,nx,2,的圖象過點,(,1,，,6),，且函數(shù),g,(,x,),f,(,x,),6,x,的圖象關(guān)于,y,軸對稱,(1),求,m,、,n,的值及函數(shù),y,f,(,x,),的單調(diào)區(qū)間；,(2),若,a,0,，,求函數(shù),y,f,(,x,),在區(qū)間,(,a,1,，,a,1),內(nèi)的極,值,思維啟迪,(1),根據(jù),f,(,x,),、,g,(

16、,x,),的函數(shù)圖象的性質(zhì)，列出,關(guān)于,m,、,n,的方程，求出,m,、,n,的值,(2),分類討論,解,(1),由函數(shù),f,(,x,),的圖象過點,(,1,，,6),，,得,m,n,3.,由,f,(,x,),x,3,mx,2,nx,2,，,得,f,(,x,),3,x,2,2,mx,n,，,則,g,(,x,),f,(,x,),6,x,3,x,2,(2,m,6),x,n,.,而,g,(,x,),的圖象關(guān)于,y,軸對稱，所以,2,m,6,2,3,0,，,所以,m,3.,代入,得,n,0.,于是,f,(,x,),3,x,2,6,x,3,x,(,x,2),由,f,(,x,)0,得,x,2,或,x,0,

17、，,故,f,(,x,),的單調(diào)遞增區(qū)間是,(,，,0),和,(2,，,),；,由,f,(,x,)0,，得,0,x,2,，,故,f,(,x,),的單調(diào)遞減區(qū)間是,(0,2),(2),由,(1),得,f,(,x,),3,x,(,x,2),，,令,f,(,x,),0,得,x,0,或,x,2.,當,x,變化時，,f,(,x,),、,f,(,x,),的變化情況如下表：,x,(,，,0),0,(0,2),2,(2,，,),f,(,x,),0,0,f,(,x,),極大,值,極小,值,由此可得：,當,0,a,1,時，,f,(,x,),在,(,a,1,，,a,1),內(nèi)有極大值,f,(0),2,，,無極小值；,當

18、,a,1,時，,f,(,x,),在,(,a,1,，,a,1),內(nèi)無極值；,當,1,a,3,時，,f,(,x,),在,(,a,1,，,a,1),內(nèi)有極小值,f,(2),6,，,無極大值；,當,a,3,時，,f,(,x,),在,(,a,1,，,a,1),內(nèi)無極值,綜上得，當,0,a,1,時，,f,(,x,),有極大值,2,，無極小值；,當,1,a,3,時，,f,(,x,),有極小值,6,，無極大值；,當,a,1,或,a,3,時，,f,(,x,),無極值,探究提高,(1),求單調(diào)遞增區(qū)間，轉(zhuǎn)化為求不等式,f,(,x,),0(,不恒為,0),的解集即可，已知,f,(,x,),在,M,上遞增,?,f,(

19、,x,),0,在,M,上恒成立，注意區(qū)別,(2),研究函數(shù)的單調(diào)性后可畫出示意圖,討論區(qū)間與,0,，,2,的位置關(guān)系，,畫圖截取,觀察即可,變式訓練,3,設,f,(,x,),是定義在,1,1,上的奇函數(shù)，且當,1,x,0,時，,f,(,x,),2,x,3,5,ax,2,4,a,2,x,b,.,(1),求函數(shù),f,(,x,),的解析式；,(2),當,1,a,3,時，,求函數(shù),f,(,x,),在,(0,1,上的最大值,g,(,a,),解,(1),當,0,x,1,時，,1,x,0,，,則,f,(,x,),f,(,x,),2,x,3,5,ax,2,4,a,2,x,b,.,當,x,0,時，,f,(0),

20、f,(,0),，,f,(0),0.,.,),1,0,(,4,5,2,),0,(,0,),0,1,(,4,5,2,),(,2,2,3,2,2,3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,b,x,a,ax,x,x,x,b,x,a,ax,x,x,f,(2),當,0,x,1,時，,f,(,x,),6,x,2,10,ax,4,a,2,2(3,x,2,a,)(,x,a,),6(,x,2,a,3,)(,x,a,),當,2,3,2,a,3,1,，即,1,a,3,2,時，,當,x,(0,，,2,a,3,),時，,f,(,x,)0,，當,x,(,2,a,3,，,1,時，,f

21、,(,x,)0,，,f,(,x,),在,(0,，,2,a,3,),上單調(diào)遞增，在,(,2,a,3,，,1,上單調(diào)遞減，,g,(,a,),f,(,2,a,3,),28,27,a,3,b,.,當,1,2,a,3,2,，即,3,2,a,3,時，,f,(,x,),0,，,f,(,x,),在,(0,1,上單調(diào)遞增,g,(,a,),f,(1),4,a,2,5,a,2,b,，,.,),3,2,3,(,2,5,4,),2,3,1,(,27,28,),(,2,3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,a,b,a,a,a,b,a,a,g,規(guī)律方法總結(jié),1,函數(shù)單調(diào)性的應用,(1),若

22、可導函數(shù),f,(,x,),在,(,a,，,b,),上單調(diào)遞增，,則,f,(,x,),0,在區(qū)間,(,a,，,b,),上恒成立；,(2),若可導函數(shù),f,(,x,),在,(,a,，,b,),上單調(diào)遞減，,則,f,(,x,),0,在區(qū)間,(,a,，,b,),上恒成立；,(3),可導函數(shù),f,(,x,),在區(qū)間,(,a,，,b,),上為增函數(shù)是,f,(,x,)0,的必要不充分條件,2,可導函數(shù)極值的理解,(1),函數(shù)在定義域上的極大值與極小值的大小關(guān)系,不確定，也有可能極小值大于極大值；,(2),對于可導函數(shù),f,(,x,),，,“,f,(,x,),在,x,x,0,處的導數(shù),f,(,x,),0,”,

23、是,“,f,(,x,),在,x,x,0,處取得極值,”,的必要不充分,條件；,(3),注意導函數(shù)的圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系，導函數(shù),由正變負的零點是原函數(shù)的極大值點，,導函數(shù)由負變,正的零點是原函數(shù)的極小值點,3,利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的步驟,(1),審題設未知數(shù)；,(2),結(jié)合題意列出函數(shù)關(guān)系式；,(3),確定函數(shù)的定義域；,(4),在定義域內(nèi)求極值、最值；,(5),下結(jié)論,知能提升演練,一、選擇題,1,已知全集,I,R,，,若函數(shù),f,(,x,),x,2,3,x,2,，,集合,M,x,|,f,(,x,),0,，,N,x,|,f,(,x,)0,，,則,M,(,?,I,N,),等于,(,),A,3

24、,2,，,2,B,3,2,，,2),C,(,3,2,，,2,D,(,3,2,，,2),解析,由,f,(,x,),0,解得,1,x,2,，故,M,1,2,；,f,(,x,)0,，即,2,x,30,，即,x,3,2,，故,N,(,，,3,2,),，,?,I,N,3,2,，,),故,M,(,?,I,N,),3,2,，,2,A,2,(2010,江西,),若函數(shù),f,(,x,),ax,4,bx,2,c,滿足,f,(1),2,，,則,f,(,1),等于,(,),A,1,B,2,C,2,D,0,解析,由題意知,f,(,x,),4,ax,3,2,bx,，若,f,(1),2,，即,f,(1),4,a,2,b,2

25、,，從題中可知,f,(,x,),為奇函數(shù)，故,f,(,1),f,(1),4,a,2,b,2,，故選,B.,B,3.,已知,f,(,x,),2,x,3,6,x,2,m,(,m,為常數(shù),),在,2,2,上有最大,值,3,，那么此函數(shù)在,2,2,上的最小值是,(,),A,37,B,29,C,5,D,以上都不對,解析,f,(,x,),6,x,2,12,x,6,x,(,x,2),，,f,(,x,),在,(,2,0),上為增函數(shù)，在,(0,2),上為減函數(shù)，,當,x,0,時，,f,(,x,),m,最大,m,3,，從而,f,(,2),37,，,f,(2),5.,最小值為,37.,A,4,設,f,(,x,),

26、、,g,(,x,),分別是定義在,R,上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，,當,x,0,時，,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,)0,，且,g,(,3),0,，,則不等式,f,(,x,),g,(,x,)0,的解集是,(,),A,(,3,0),(3,，,),B,(,3,0),(0,3),C,(,，,3),(3,，,),D,(,，,3),(0,3),解析,設,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，由題意知,F,(,x,),是,奇函數(shù)，所以,F,(,x,),的圖象關(guān)于原點對稱，由,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,)0,知，,F,(,x,)0,，即當,

27、x,0,時，,F,(,x,),是增函數(shù)又,g,(,3),0,，,F,(,x,),的圖象大體如圖所示，,f,(,x,),g,(,x,)0,的范圍為,(,，,3),(0,3),D,5,設,a,R,，,若函數(shù),y,e,x,ax,，,x,R,有大于零的極值,點，則,(,),A,a,1,B,a,1,C,a,1,e,D,a,1,e,解析,y,e,x,ax,，,y,e,x,a,.,當,a,0,時，,y,不可能有極值點，故,a,0.,由,e,x,a,0,得,e,x,a,，,x,ln(,a,),，,x,ln(,a,),即為函數(shù)的極值點，,ln(,a,)0,，即,ln(,a,)ln 1,，,a,1.,A,二、填空

28、題,6,已知函數(shù),f,(,x,),1,2,mx,2,ln,x,2,x,在定義域內(nèi)是增函,數(shù)，則實數(shù),m,的取值范圍為,_,解析,f,(,x,),mx,1,x,2,0,對一切,x,0,恒成立，,m,(,1,x,),2,2,x,，令,g,(,x,),(,1,x,),2,2,x,，則當,1,x,1,時，,函數(shù),g,(,x,),取得最大值,1,，故,m,1.,1,，,),7,某名牌電動自行車的耗電量,y,與速度,x,之間有如下,關(guān)系：,y,1,3,x,3,39,2,x,2,40,x,(,x,0),，為使耗電量最小，,則速度應定為,_,解析,y,x,2,39,x,40,，令,y,0,即,x,2,39,x

29、,40,0,，解得,x,40,或,x,1(,舍,),當,x,40,時，,y,0.,當,0,x,40,時，,y,0,，,所以當,x,40,時，,y,最小,40,8,若函數(shù),f,(,x,),1,3,x,3,a,2,x,滿足：,對于任意的,x,1,，,x,2,0,1,都有,|,f,(,x,1,),f,(,x,2,)|,1,恒成立，則,a,的取值范圍是,_,解析,問題等價于在,0,1,內(nèi),f,(,x,),max,f,(,x,),min,1.,f,(,x,),x,2,a,2,，函數(shù),f,(,x,),1,3,x,3,a,2,x,的極小值點是,x,|,a,|,，,若,|,a,|1,，,則函數(shù),f,(,x,)

30、,在,0,1,上單調(diào)遞減，,故只要,f,(0),f,(1),1,即可，即,a,2,4,3,，即,1|,a,|,2,3,3,；,若,|,a,|,1,，此時,f,(,x,),min,f,(|,a,|),1,3,|,a,|,3,a,2,|,a,|,2,3,a,2,|,a,|,，,由于,f,(0),0,，,f,(1),1,3,a,2,，,故當,|,a,|,3,3,時，,f,(,x,),max,f,(1),，,此時只要,1,3,a,2,2,3,a,2,|,a,|,1,即可，即,a,2,(,2,3,|,a,|,1),2,3,，由,于,|,a,|,3,3,，,故,2,3,|,a,|,1,2,3,3,3,10

31、,，,故此時成立；,當,3,3,|,a,|,1,時，此時,f,(,x,),max,f,(0),，故只要,2,3,a,2,|,a,|,1,即可，,此式顯然成立故,a,的取值范圍是,2,3,3,，,2,3,3,答案,2,3,3,，,2,3,3,三、解答題,9,(,2010,全國,),設函數(shù),f,(,x,),x,(e,x,1),ax,2,.,(1),若,a,1,2,，求,f,(,x,),的單調(diào)區(qū)間；,(2),若當,x,0,時，,f,(,x,),0,，求,a,的取值范圍,解,(1),a,1,2,時，,f,(,x,),x,(e,x,1),1,2,x,2,，,f,(,x,),e,x,1,x,e,x,x,(e,x,1)(,x,1),當,x,(,，,1),時，,f,(,x,)0,；當,x,(,1,0),時，,f,(,x,)0,；當,x,(0,，,),時，,f,(,x,)0.,故,f,(,x,),在,(,，,1),，,(0,，,),上單調(diào)遞增，,在,(,1,0),上單調(diào)遞減,(2),f,(,x,),x,(e,x,1,ax,),，令,g,(,x,),e,x,1,ax,，,g,(,x,),e,x,a,.,若,a,1,，則當,x,(0,，,),時，,g,(,x,)0,，,g,(,x,),為,增函數(shù)，,而,g,(0),0,，,從而當,x,0,