立體幾何中的向量方法3——空間角

1、,3.2立體幾何中的向量方法 空間角,1、兩條直線的夾角：,l,m,l,m,所以 與 所成角的余弦值為,所以：,例：,2、直線與平面的夾角：,l,例：,D,C,B,A,3、二面角：,方向向量法：,二面角的范圍：,法向量法,法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角； 同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角,設(shè)平面,例：,1. 三棱錐P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E為PC中點(diǎn) ,則PA與BE所成角的余弦值為_ .,2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 則AC1與截面BB1CC1所成 角的余弦值為_ .,3.正方體中ABCD-A1B1C1D1中E為

2、A1D1的 中點(diǎn), 則二面角E-BC-A的大小是_,利用“方向向量”與“法向量”來解決 距離問題.,第三問題：,1、點(diǎn)與點(diǎn)的距離：,2、點(diǎn)與直線的距離：,CD中點(diǎn)，求:點(diǎn)F到直線AE的距離.,例：在正方體,中，E、F分別是BB1,，,3、點(diǎn)到平面的距離：,3、點(diǎn)到平面的距離：,D,A,B,C,G,F,E,a,b,C,D,A,B,CD為a,b的公垂線,A，B分別在直線a,b上,已知a,b是異面直線,4. 異面直線間的距離,A,B,C,C1,E,A1,B1,5. 其它距離問題：,（1）平行線的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離） （2）直線與平面的距離（轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離） （3）平面與平面的距離（轉(zhuǎn)化

3、為點(diǎn)到平面的距離）,練習(xí)1：如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)， （I）求證：AO平面BCD； （II）求異面直線AB與CD所成角的大小； （III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離.,解：（I）略 （II）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，,所以異面直線AB與CD所成角的 余弦值為,（III）解：設(shè)平面ACD的法向量為,則,令,得,是平面ACD的一個(gè)法向量，又,所以點(diǎn)E到平面ACD的距離,如圖，已知：直角梯形OABC中， OABC,AOC=90，SO面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值; (2)OS與面SAB所成角的余

4、弦值; (3)二面角BASO的余弦值.,練習(xí)2：,如圖，已知：直角梯形OABC中， OABC,AOC=90，SO面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(1)異面直線SA和OB所成的 角的余弦值;,如圖，已知：直角梯形OABC中， OABC,AOC=90，SO面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(2)OS與面SAB所成角的余弦值 ;,所以O(shè)S與面SAB所成角的余弦值為,如圖，已知：直角梯形OABC中， OABC,AOC=90，SO面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(3)二面角BASO的余弦值.,練習(xí)3：如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn). (1)證明：PA/平面EDB； (2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值.,A,B,C,D,P,E,(1)證明：設(shè)正方形邊長為1，則PD=DC=DA=1.連AC、BD交于G點(diǎn),(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。,練習(xí)5： 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作