等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案

1、6.3 等比數(shù)列及其前n 項(xiàng)和考情分析高考中主要在選擇題、填空題中考查等比數(shù)列的定義、基本運(yùn)算和性質(zhì)，在解答題中多與等差數(shù)列、函數(shù)、不等式等綜合考考查基礎(chǔ)知識(shí)1、等比數(shù)列的判定： （ 1）定義法：an 1anq(q為非零常數(shù)，nn * ) （ 2）等比中項(xiàng)法：a 2aa(a0, nn * 且n2)（3）通項(xiàng)公式法：nn 1n 1nnacqn (c, q均為非零常數(shù)，nn * )（4）nnnnskqnk(ka1是常數(shù)且 q0且q1)（ 5）若 a , b 均為等比數(shù)列， s1q為 a 的前 n 項(xiàng)和，則 ka( k0),| a|ma b；( a)k ；1 ；公比不為 1 的等nnnn nnan比

2、 數(shù) 列 由 相 鄰 兩 項(xiàng) 的 差 a2a1 , a3a2 , a4a3， 相 鄰k項(xiàng) 和 sk , s2 k仍等比sk , s3 ks2k 仍是等比；由原等比數(shù)列中相隔k 項(xiàng)的項(xiàng)從新組成的數(shù)列2、等比數(shù)列的性質(zhì)（1） ）通項(xiàng)公式：aa qn 1 anqn mn1amna1 (q1)（2） ）前 n 項(xiàng)和公式： sa (1qn )aa qn11n(q1)1q1q（3） ）下腳標(biāo)性質(zhì)：若m+n=p+q，則 am anap aq（4） ）兩個(gè)常用技巧：若三個(gè)數(shù)成等比通常設(shè)成a , a, aq ，若四個(gè)數(shù)成等比通常設(shè)qaa成3 , aq, aq qq3 ，方便計(jì)算注意事項(xiàng)1.利用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)等比

3、數(shù)列的前n 項(xiàng)和： sn a1a1qa1q2a1qn 1，同乘 q 得： qsna1qa1q2a1q3 a1qn，a1 1qn兩式相減得 (1q)sn a1a1qn， sn1 q(q 1)2.(1)由 an1qan，q0 并不能立即斷言 an 為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a10.(2)在運(yùn)用等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q1 與 q 1 分類討論，防止因忽略 q1 這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤3.等比數(shù)列的判斷方法有：(1) 定義法：若 an1q(q 為非零常數(shù) )或 an q(q 為非零常數(shù)且 n2 且 n n* )，an則 an 是等比數(shù)列an 12*(2) 中項(xiàng)公式法：在數(shù)列 an 中， a

4、n0 且 an 1an an2(n n比數(shù)列)，則數(shù)列 an 是等n(3) 通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an cqn* )，則 an 是等比數(shù)列題型一等比數(shù)列基本量的計(jì)算(c，q 均是不為0 的常數(shù)， n【例 1】設(shè) sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和已知 s37，a13,3a2，a3 4 構(gòu)成等差數(shù)列(1) 求 a2 的值；*(2) 若 an 是等比數(shù)列，且an1 an (nn )，試求 sn 的表達(dá)式解： (1)由已知得：a1 a2a3 7， a13 a342 3a2 .a2 2.(2)設(shè)數(shù)列 an 的公比為 q，由 a22，可得 a12a32q.q，22又 s37，可知 q 22q7

5、，即 2q 5q20，2解得 q11，q2 2(舍去， an10 時(shí)， tn 1 ；11 1a1(2) 當(dāng) aa1.1【變式 3】在等比數(shù)列 an 中，若 a12，a4 4，則公比 q ； |a1|a2| |an| .解析設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q，則 a4 a1q3，代入數(shù)據(jù)解得 q3 8，所以 q1n1 2；等比數(shù)列 | an| 的公比為 |q|2，則|an|22，所以|a1| |a2|a3|11 |an| 2 22 2n1)n1) 2n112(12答案 22n112(22.重難點(diǎn)突破【例 4】成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列 bn 中的

6、 b3、b4、b5. (1)求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式；5(2) 數(shù)列 b 的前 n 項(xiàng)和為 s ，求證：數(shù)列sn是等比數(shù)列nn4解析 (1)解設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a d， a， ad.依題意，得 adaad15，解得 a5所以 bn 中的 b3，b4，b5 依次為 7 d,10,18d.依題意，由 (7d)(18 d)100，解得d2 或 d 13(舍去 )故 bn 的第 3 項(xiàng)為 5，公比為 2，4.由 b3b122，即 5b122，解得 b1 55所以 bn 是以4為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn52n 152n345n4 1 2n255n 2(2)證明數(shù)列 bn

7、的前 n 項(xiàng)和 sn51 2 524，即 sn45255sn145 2n 1所 以 s1 ， 242因此 sn 55sn4552n 22 的等比數(shù)列鞏固提高4 是以2為首項(xiàng)，公比為1. 公比為 2 的等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a2a1216，則 a5()a. 1b. 2c. 4d. 8答案： a7解析： a2a1216， a216，a7 4 a522， a51.2. 已知等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 sn，a33，s39，則公比 q()1a. 1 或 2222b. 12c. 1d.1 或1答案： a解析： 設(shè)數(shù)列的公比為 q， a33s39a1q23a1(1qq2)92，2， 2，

8、2.21qq2兩式相除得q23，即 2q q10.2.q1 或 q 13. 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中， a13，前三項(xiàng)的和 s3 21，則 a3a4 a5的值為()a. 33b. 72c. 84d. 189答案： c解析： 由題意可知該等比數(shù)列的公比q1，故可由 s33 1q31q21，得q3 7q60，解得 q2 或 q 3(舍去)所以 a3a4a5 3 (222324) 84，故選 c.4.已知數(shù)列 an 滿足 a11，an 1an2n(n n*)，則 a10()a. 64b. 32c. 16d. 8答案： bnn1解析： an 1an 2 ，an2an 1 2，a兩式相除得 an22.na1 1.a1，a3，a5，a7，a9 構(gòu)成以 1 為首項(xiàng)，以 2 為公比的等比數(shù)列， a9 16.又 a10a929， a102532.5. 設(shè) an 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，sn 為其前 n 項(xiàng)和已知 a2a41，s37，則s5