2015年高考數(shù)學(xué)(理)真題分項(xiàng)解析：專題06+數(shù)列

1、專題六數(shù)列1.【 2015 高考重慶，理 2】在等差數(shù)列an 中，若 a2 =4， a4 =2，則 a6 =（）A、-1B 、 0C、 1D 、 6【答案】 B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得a6 2a4a2224 0，選 B.【考點(diǎn)定位】本題屬于數(shù)列的問題，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)晴】本題可以直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，也可應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，主要考查學(xué)生靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力. 是基礎(chǔ)題 .2.【 2015 高考福建，理 8】若 a,b 是函數(shù) fxx2pxq p 0,q0 的兩個不同的零點(diǎn)，且 a, b, 2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)

2、列，則p q 的值等于（）A 6 B7C 8D 9【答案】 D【解析】由韋達(dá)定理得a bp ， abq ，則 a0, b0 ，當(dāng) a, b, 2 適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時， 2 必為等比中項(xiàng)，故a bq4， b4當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時，2 必a不是等差中項(xiàng)， 當(dāng) a 是等差中項(xiàng)時，2a42 ，解得 a1 ， b 4 ；當(dāng)4 是等差中項(xiàng)時，8aa4， b1，綜上所述， abp5 ，所以 p q9，選 Da 2 ，解得 aa【考點(diǎn)定位】等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)【名師點(diǎn)睛】 本題以零點(diǎn)為載體考查等比中項(xiàng)和等差中項(xiàng)，其中分類討論和邏輯推理是解題核心 三個數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，項(xiàng)與項(xiàng)之間是有順序的，但是等差

3、中項(xiàng)或等比中項(xiàng)是唯一的，故可以利用中項(xiàng)進(jìn)行討論，屬于難題3. 【 2015 高考北京，理 6】設(shè)an 是等差數(shù)列 . 下列結(jié)論中正確的是（）A 若 a1 a20 ，則 a2a3 0B若 a1a3 0 ，則 a1a20C若 0 a1a2 ，則 a2a1a3D若 a10 ，則 a2a1a2a3 0【答案】 C1【解析】先分析四個答案支，A 舉一反例 a2, a1, a4， a1 a2 0 而123a2a30 ，A 錯誤， B 舉同樣反例 a2, a1, a34，a1a30 ，而 a1 a20 ，12B 錯誤，下面針對C 進(jìn)行研究， an是等差數(shù)列，若 0a1 a2，則 a10, 設(shè)公差為 d ，則

4、 d0 ，數(shù)列各項(xiàng)均為正，由于a22a1a5( a1d )2a1( a12d )a122a1d d 2a122a1d d 20 ，則a 2a aaa a ，選 C.113113考點(diǎn)定位： 本題考點(diǎn)為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體， 考查不等關(guān)系問題，重 點(diǎn)是對知識本質(zhì)的考查.【名師點(diǎn)睛】 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和比較法，本題屬于基礎(chǔ)題，由于前兩個選項(xiàng)無法使用公式直接做出判斷，因此學(xué)生可以利用舉反例的方法進(jìn)行排除，這需要學(xué)生不能死套公式，要靈活應(yīng)對，作差法是比較大小常規(guī)方法，對判斷第三個選擇只很有效.4.【2015 高考浙江， 理 3】已知 an 是等差數(shù)列， 公差 d 不為零，前

5、n 項(xiàng)和是 Sn ，若 a3 ，a4 ，a8 成等比數(shù)列，則（）A. a1 d0,dS40B.a1 d0, dS40C.a1d0, dS40D.a1d0, dS40【答案】 B.【名師點(diǎn)睛】 本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的概念等知識點(diǎn)，同時考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于容易題，將a1d ， dS4 表示為只與公差d 有關(guān)的表達(dá)式，即可求解，在解題過程中要注意等等差數(shù)列與等比數(shù)列概念以及相關(guān)公式的靈活運(yùn)用.5.【 2015 高考安徽，理14】已知數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列，a1a49, a2a38 ，則數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和等于.2【答案】 2n 1a1a49，解得 a11,a

6、48 或者 a18,a41，而數(shù)列 an 【解析】由題意，a3a1 a4a28是遞增的等比數(shù)列，所以 a11,a4 8 ，即 q3a48，所以 q2，因而數(shù)列 an 的a1前 n 項(xiàng)和Sn a1 (1 qn ) 1 2n2n 1 .1 q12【考點(diǎn)定位】 1.等比數(shù)列的性質(zhì)； 2.等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 .【名師點(diǎn)睛】 對于等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合考查的問題，要做到： 熟練掌握等差或等比數(shù)列的性質(zhì)，尤其是 mnpq ，則 am anapaq（等差數(shù)列），aman ap aq（等比數(shù)列）；注意題目給定的限制條件，如本題中“遞增”，說明 q 1；要熟練掌握數(shù)列中相關(guān)的通項(xiàng)公式，前n 項(xiàng)和公式等

7、.6.【 2015 高考新課標(biāo)2，理 16】設(shè) Sn 是數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和，且 a11 ， an 1Sn Sn 1 ，則 Sn _【答案】1n【解析】由已知得 an1Sn 1 SnSn 1 Sn ，兩邊同時除以Sn 1Sn ，得11Sn 11，Sn故數(shù)列11 為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則11 (n1)n ，所以是以SnSnSn1n【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列和遞推關(guān)系【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式和等差數(shù)列通項(xiàng)公式，要搞清楚項(xiàng)an 與 Sn 的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為 Sn 1 與 Sn 的遞推式，并根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷1是等差數(shù)列，屬于中檔題Sn7.【 2015高考廣東，理10】在等差數(shù)列 an

8、中，若 a3a4a5a6 a725 ，則3a2 a8 =.【答案】 10 【解析】因?yàn)閍n 是 等 差 數(shù) 列 ， 所 以 a3a7a4a6a2 a82 a5 ，a3 a4 a5 a6 a75a5 25 即 a5 5 ，所以 a2 a82a510 ，故應(yīng)填入 10【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】 本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)及其簡單運(yùn)算和運(yùn)算求解能力，屬于容易題， 解答此題關(guān)鍵在于熟記 aman ap aqm,n, p,q N * 且mn pq，am an 2ap m,n, pN * 且m n2 p 及其熟練運(yùn)用8. 【 2015 高考陜西，理13】中位數(shù)1010 的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末

9、項(xiàng)為2015 ，則該數(shù)列的首項(xiàng)為【答案】 5【解析】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1 ，則 a120152 10102020 ，所以 a15 ，故該數(shù)列的首項(xiàng)為 5 ，所以答案應(yīng)填：5 【考點(diǎn)定位】等差中項(xiàng)【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是等差中項(xiàng)，屬于容易題解題時一定要抓住重要字眼“中位數(shù)”和“等差數(shù)列” ，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點(diǎn)是等差中項(xiàng)的概念，即若 a ， b 成等差數(shù)列，則稱為 a 與 b 的等差中項(xiàng)，即2ab 9.【 2015 江蘇高考， 11】數(shù)列 an 滿足 a11，且 an 1ann1（ nN * ），則數(shù)列 1 an的前 10 項(xiàng)和為20【答案】【考點(diǎn)定位】數(shù)列通項(xiàng)，裂項(xiàng)求和【

10、名師點(diǎn)晴】 由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式時，若遞推關(guān)系為an1 an f( n) 或 an 1 f(n) an，則可以分別通過累加、累乘法求得通項(xiàng)公式，另外，通過迭代法也可以求得上面兩類數(shù)列的通項(xiàng)公式， 注意：有的問題也可利用構(gòu)造法，即通過對遞推式的等價變形，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列4求通項(xiàng)數(shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組求和法，并項(xiàng)求和法等，可根據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)進(jìn)行選用.10. 【 2015 江蘇高考， 20】（本小題滿分 16 分）設(shè) a1 ,a2 , a3, a4 是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d ( d0) 的等差數(shù)列（ 1）證明： 2a1 ,2a2 ,2a3 , 2a 4 依次成等比

11、數(shù)列；（ 2）是否存在 a1 , d ，使得 a1 , a22 , a33 , a4 4 依次成等比數(shù)列，并說明理由；（ 3）是否存在 a1 , d 及正整數(shù) n,k ，使得 a1n , a2n k , a3n 2k , a4n 3k 依次成等比數(shù)列，并說明理由 .【答案】（ 1）詳見解析（2）不存在（ 3）不存在【解析】試題分析（ 1）根據(jù)等比數(shù)列定義只需驗(yàn)證每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值都為同一個不為零的常數(shù)即可（ 2）本題列式簡單，變形較難，首先令td將二元問題轉(zhuǎn)化為一元，再分別求解兩a1個高次方程，利用消最高次的方法得到方程：7t 2 +4t3 0 ，無解，所以不存在（ 3）同d將二元問題轉(zhuǎn)化為

12、一元，為降次，所以兩邊取對數(shù)，消去n,k 得到關(guān)于 t（2）先令 ta1的一元方程 4ln(13t)ln(1t) ln(1 3t )ln(12t)3ln(1 2t )ln(1t ) 0，從而將方程的解轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)g(t)4ln(1 3t)ln(1t)ln(13t )ln(1 2t)3ln(12t )ln(1 t ) 零點(diǎn)情況，這個函數(shù)需要利用二次求導(dǎo)才可確定其在(0,) 上無零點(diǎn)試題解析：（ 1）證明：因?yàn)?2an 1an 1 a nd（ n 1 ，2， 3 ）是同一個常數(shù)，2an22所以 2a1， 2a2， 2a3 ， 2a4 依次構(gòu)成等比數(shù)列（2）令a1 da ，則 a1 ，a2 ，a3

13、 ，a4 分別為 ad ，a ，ad ，a2d（ ad ，a2d ，d 0）假設(shè)存在 a1 ， d ，使得 a1 ， a22 ， a33 ， a44 依次構(gòu)成等比數(shù)列，則 a436a24a d a d，且 a da 2d 5令 td ，則 13641 t 1 t ，且 1 t1 2t（a12t1， t0 ），化簡得 t32t 2 2 0 （ ），且 t2 t 1 將 t 2 t 1 代入（ ）式，t t 1 2 t 1 2 t 23t t 1 3t 4t 1 0 ，則 t1 4顯然 t1不是上面方程得解，矛盾，所以假設(shè)不成立，4因此不存在 a1 ， d ，使得 a1 ， a22 ， a33 ，

14、 a44 依次構(gòu)成等比數(shù)列（3）假設(shè)存在 a，d及正整數(shù) n ， k，使得n ，n k，n 2k ，n 3k依次構(gòu)成等比數(shù)列，1a1a2a3a4則 a1n a12dn 2ka1d2 n kdn ka1n 3 ka12d2 n 2k，且 a13d分別在兩個等式的兩邊同除以a2 n k及 a 2 n2 k，并令 td1， t0），（ t11a13則 1 2tn 2 k1 t2 n kn kn 3k1 2t2 n 2 k，且 1 t1 3t將上述兩個等式兩邊取對數(shù)，得n2k ln12t2nkln 1t，且 n kln 1tn3kln13t2 n2kln12t化簡得 2kln12tln1tn2ln 1

15、tln 12t，且 3k ln1 3tln1 tn3ln1 tln 13t令 2 t1 t ，則 2120 t1 t 1 2t 13t由 g 001 02 00 ， 2 t0 ，6知 2ttt ， g t 在10,， 1，,0和上均單調(diào)3故 gt只有唯一零點(diǎn) t0 ，即方程（）只有唯一解 t0 ，故假設(shè)不成立所以不存在 a，d及正整數(shù) n ， k ，使得n，n k，n 2 k，n 3 k依次構(gòu)成等比數(shù)列1a1a2a3a4【考點(diǎn)定位】等差、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，函數(shù)與方程【名師點(diǎn)晴】 解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題， 關(guān)鍵是理清兩個數(shù)列的關(guān)系 如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列， 部分項(xiàng)成等比數(shù)列

16、， 要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來單獨(dú)研究； 如果兩個數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解11. 【 2015 高考浙江，理20】已知數(shù)列an滿足 a1 =1 且 an 1 = an - an2 （ nN *）2（1）證明： 1an2 （ nN *）；an 1（2）設(shè)數(shù)列an2的前 n 項(xiàng)和為 Sn，證明1Sn1（ nN* ）.2( n2)n2(n1)【答案】（ 1）詳見解析；（ 2）詳見解析 .試題分析：（ 1）首先根據(jù)遞推公式可得an1，再由遞推公式變形可知2ananan11,2 ，從而得證；（ 2）由11=an和1an2 得，

17、an 1an21 anan 1anan 1an 11112，從而可得11)an 11(nN* ) ，即可得證 .an1an2(nn2試題解析：（ 1）由題意得， an1anan20，即 an1an ，an1，由 an(1an 1) an 112得 an(1an 1)(1 an2) (1a1 )a10，由 0a得，n2ananan11,2 ，即 1an2 ；（2）由題意得 an2anan 1 ，an 1an21 anan 1 Sna1an 1 ，由11an和 1an2得， 111an 1=an 1an 12 ，anan 1an n112n ，因此11)an 11(nN * ) ，由得an1a12

18、(nn 271Sn1.2(n2)n2(n1)【考點(diǎn)定位】數(shù)列與不等式結(jié)合綜合題.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式，不等式的證明等知識點(diǎn)，屬于較難題，第一小問易證，利用條件中的遞推公式作等價變形，即可得到anan1，再結(jié)合已知條件即可an 1an an21 an得證，第二小問具有較強(qiáng)的技巧性，首先根據(jù)遞推公式將Sn 轉(zhuǎn)化為只與 an 1 有關(guān)的表達(dá)式，再結(jié)合已知條件得到 an 1 的取值范圍即可得證，此次數(shù)列自2008 年之后作為解答題壓軸題重出江湖，算是一個不大不小的冷門（之前浙江各地的?？冀獯痤}壓軸題基本都是以二次函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題），由于數(shù)列綜合題常與不等式，函數(shù)的最值，歸納猜

19、想，分類討論等數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，技巧性比較強(qiáng)，需要平時一定量的訓(xùn)練與積累，在后續(xù)復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注.12.【 2015 高考山東，理18】設(shè)數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn . 已知 2Sn3n3 .（ I ）求an 的通項(xiàng)公式；（ II ）若數(shù)列 bn滿足 anbnlog 3 an ，求 bn的前 n 項(xiàng)和 Tn .3,n1,（ II ） Tn136nn3 .【答案】（ I ） an1,;3nn 1,12438所以 T1b113當(dāng) n 1 時，Tn b1b2 b3bn11 3 12 3 2n 1 31 n3所以 3Tn1 1302 3 1n 1 32 n兩式相減，得2012 n1 n2 1 31

20、 nn 1 31 n2Tn33 33n 1 33 131136n3623n136n3所以 Tn4 3n12經(jīng)檢驗(yàn)， n1時也適合，綜上可得：Tn136n31243n【考點(diǎn)定位】 1、數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn 與通項(xiàng) an的關(guān)系； 2、特殊數(shù)列的求和問題 .【名師點(diǎn)睛】 本題考查了數(shù)列的基本概念與運(yùn)算，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，思維的嚴(yán)密性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，在利用Sn 與通項(xiàng) an 的關(guān)系求 an 的過程中，一定要注意 n1的情況，錯位相減不法雖然思路成熟但也對學(xué)生的運(yùn)算能力提出了較高的要求.913. 【 2015 高考安徽，理18】設(shè) nN * ， xn 是曲線 yx2n 21在點(diǎn)

21、 (1，2) 處的切線與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) .（）求數(shù)列 xn 的通項(xiàng)公式；（）記 Tnx12 x32x22n 1 ，證明 Tn1.n14n【答案】（） xn1；（） Tn.n4n【解析】試題分析：（）對題中所給曲線的解析式進(jìn)行求導(dǎo)，得出曲線yx2 n 21 在點(diǎn) (1，2) 處的切線斜率為 2n2 .從而可以寫出切線方程為y 2(2 n2)( x 1) .令 y0 .解得切線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xn11nn1n.11（）要證 Tn，需考慮通項(xiàng)x2n12 ，通過適當(dāng)放縮能夠使得每項(xiàng)相消即可證明.思4n(1)2(3)2( 2n 1)2 ，求出初始條件當(dāng)路如下：先表示出 Tx2 x2x21n1

22、時，n132 n242n1T1.當(dāng) n 22，并放縮得4時 ， 單 獨(dú) 考 慮 x2n 1x2 n22n12(2n1)2(2n1)214n24nn 11()(2n)2(2n) 2(2n)2n，所以2nTn(1)212n11，綜上可得對任意的 nN * ，均有 Tn1.223n4n4n試題解析：（）解： y ( x2n21)(2n2)x2n1 ，曲線 yx2 n2 1 在點(diǎn) (1，2)處的切線斜率為 2n2 .從而切線方程為y2(2 n2)( x1) . 令 y0 ，解得切線與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xn111n .nn1（）證：由題設(shè)和（）中的計(jì)算結(jié)果知Tn22212322n12.x1 x3x2n

23、1( )( )(2n)124當(dāng) n1時， T1.4當(dāng) n22n12(2n 1)2(2 n 1)214n24nn12 時，因?yàn)?x2 n 1()(2 n) 2(2n)2(2n)2，2nn10所以 Tn ( 1 )21 2n 1 1 .223n4nnN * ，均有 Tn1綜上可得對任意的.4n【考點(diǎn)定位】 1.曲線的切線方程； 2.數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.放縮法證明不等式 .【名師點(diǎn)睛】 數(shù)列是特殊的函數(shù)， 不等式是深刻認(rèn)識函數(shù)與數(shù)列的重要工具，三者的綜合是近幾年高考命題的新熱點(diǎn)，且數(shù)列的重心已經(jīng)偏移到不等式的證明與求解中，而不再是以前的遞推求通項(xiàng)， 此類問題在2010 年、2012 年、2013 年

24、安徽高考解答題中都曾考過 .對于數(shù)列問題中求和類（或求積類）不等式證明，如果是通過放縮的方法進(jìn)行證明的，一般有兩種類型：一種是能夠直接求和（或求積），再放縮；一種是不能直接求和（或求積），需要放縮后才能求和（或求積），求和（或求積）后再進(jìn)行放縮.在后一種類型中，一定要注意放縮的尺度，二是要注意從哪一項(xiàng)開始放縮.14.【 2015 高考天津，理18】（本小題滿分13 分）已知數(shù)列 an 滿足an 2 qan (q為實(shí)數(shù)，且 q1)， nN *, a1 1,a22 ，且a2 + a3 , a3 +a4 , a4 +a5 成等差數(shù)列 .(I) 求 q 的值和 an 的通項(xiàng)公式；(II) 設(shè) bnlo

25、g 2 a2n, nN * ，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 .a2 n1n 122為奇數(shù) ,n2【答案】 (I), n; (II).anSn4n 1n22為偶數(shù).2, n11(II)由 (I) 得 bnlog2 a2nn，設(shè)數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，則a2n2n 11Sn12131n1101222n 1 ，221Sn112131n122122232n兩式相減得11 111n11n2nSn12n2，22 22232n 12n112n2n2n2整理得 Snn242n 1nn 12 , n所以數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 4N * .2【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列定義、等比數(shù)列及前n 項(xiàng)和公式、錯位相減

26、法求和.【名師點(diǎn)睛】 本題主要考查等差、等比數(shù)列定義與性質(zhì)，求和公式以及錯位相減法求和的問題，通過等差數(shù)列定義、等比數(shù)列性質(zhì)，分n 為奇偶數(shù)討論求通項(xiàng)公式，并用錯位相減法基本思想求和 .是中檔題 .15.【 2015 高考重慶，理22】在數(shù)列 an中， a1 3,an 1anan 1an20 nN（ 1）若0,2, 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；（ 2）若1k0N , k0 2 ,1, 證明： 211ak01211k03k02k0【答案】（ 1） an3 2n 1 ；（ 2）證明見解析 .【解析】試題分析：（ 1）由于0,2 ，因此把已知等式具體化得an 1an2an2 ，顯然由于 a13 ，則 a

27、n 0 （否則會得出a10 ），從而 an1 2an ，所以 an 是等比數(shù)列，由其通項(xiàng)公式可得結(jié)論；（2）本小題是數(shù)列與不等式的綜合性問題，數(shù)列的遞推關(guān)系是an +1an + 1 an+1 - an2 = 0, 可變形為 an 1 an1an2 n N ,k0k012由 于k00， 因 此an1，于是可得an 1an， 即 有1ank03 = a1 a2 an an +1 0，又2an2 - 12 + 121+1?an +1 =an=k0k0= an -1，于是有an +1an +1k0k0 k0an +1k0k0ak0 +1 = a1 + (a2 - a1) + (ak0 +1 - ak0

28、 )11111a1k0 k0k0k0 a11 k0 a21k0ak01211113k013k013k01k021，這里應(yīng)用了累加求和的思想方法，由這個結(jié)論可知an 2(nN*) ，因此3k01ak0 +1 =11111a1k0 kk0k a 1 k a 1k a 100 10 20 k02111121，這樣結(jié)論得證，本題不等式的2k012k012k01k02k01證明應(yīng)用了放縮法.(1)由0，2,有 an 1 an2an2,(nN )若存在某個 n0N，使得 an0= 0 ，則由上述遞推公式易得an +1= 0 ，重復(fù)上述過程可得0a1 = 0，此與 a1= 3矛盾，所以對任意nN , an0 .從而 an +1 = 2annN，即 an 是一個公比 q = 2 的等比數(shù)列 .故 an = a1qn- 1 = 3?2n - 1 .13求和得 ak0 +1 = a1 +(a2 - a1) + (ak0 +1 - ak0 )11111a1k0 k0k0k0 a1 1 k0 a21k0ak012111121k03