分數(shù)階積分算子的譜半徑及其應(yīng)用

1、分數(shù)階積分算子的譜半徑及其應(yīng)用 馮育強，朱興，王蔚敏 （武漢科技大學(xué)理學(xué)院，武漢 ） 摘要：本文利用 Gelfand 公式和 Stirling 公式，計算了兩種情形下分數(shù)階積分算子譜半徑。隨后討論了該結(jié) 論在分數(shù)階微分方程求解以及分數(shù)階 Gronwall 不等式中的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：二級學(xué)科；分數(shù)階積分算子；譜半徑；Gelfand 公式；Stirling 公式 中圖分類號：O175.08 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號： Spectral radius of fractional integral operators and its applications FENG Yuqiang, ZHU Xin

2、g, WANG Weimin (College of Science, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan , China) Abstract: In this paper, Gelfand formula and Stirling formula are used to calculate the fractional integral spectral radius in two cases. Then the conclusion is applied to discuss the solvability of fracti

3、onal differential equations and fractional Gronwall Inequality. Key words: fractional integral operators; spectral radius; Gelfand formula; Stirling formula 0 引言 分數(shù)階微積分是相對于傳統(tǒng)意義上的整數(shù)階微積分提出的，由于分數(shù)階微積分良好的 記憶和遺傳性，分數(shù)階微積分理論被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)的各個領(lǐng)域，尤其是控制理論、 粘彈性理論、電子化學(xué)、分形理論等領(lǐng)域1。 大量研究成果的面世也極大地推動了分數(shù)階微積分的研究進展，一些學(xué)者紛紛投入到 這

4、個新興的研究領(lǐng)域。在分數(shù)階模型的使用中，出現(xiàn)了一系列分數(shù)階微分積分方程，因此 對分數(shù)階積分算子的研究有著十分重要的意義。 分數(shù)階積分算子本質(zhì)上是一類帶奇異積分核的線性積分算子，對于其譜半徑的計算， 有助于進行分數(shù)階微分方程的定性研究。 在以往的文獻中，不論是證明分數(shù)積分方程可解性，有解性，解的漸近性質(zhì)，還是推 廣Gronwall不等式，其實本質(zhì)上都用到了分數(shù)階積分算子譜半徑的性質(zhì)，但是沒有明確地 指出1,3,6。本文正是從研究的需要出發(fā)，具體計算出分數(shù)積分算子的譜半徑，并將所得結(jié) 論用于分數(shù)階微分方程求解以及分數(shù)階Gronwall不等式。 1 預(yù)備知識 本節(jié)給出文中所涉及的一些基本概念和結(jié)論。

5、 定義定義1 2 設(shè)是Banach空間，是的線性子空間到X中的線性算子，又設(shè)XTX)(TD 是一復(fù)數(shù)，若是正則算子，即是)(TD到X上的一對一的線性算子，)(TI )(TI 且它的逆算子是X到X中的有界線性算子時，稱是T的正則點，并稱 1 )( TI 為T的豫解算子，記為. 不是正則點的復(fù)數(shù)，稱為T的譜點。復(fù)平面 1 )( TI),(TR 基金項目：高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金（003）；國家自然科學(xué)基金（F）；湖北省自然科學(xué)基金重 點項目（2013CFA131）；冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點實驗室基金（z） 作者簡介：馮育強（1975-），男，教授，主要研究方向：非線性泛函分析理論、方法

6、與應(yīng)用. E-mail: 上正則點全體稱為T的正則集或豫解集，記為，譜點全體稱為T的譜集，記為.)(T)(T 定義定義22 設(shè)X是Banach空間，T是X到的有界線性算子，則稱為X )( sup)( T Tr 算子T的譜半徑。 引理引理 12 設(shè)為復(fù)的 Banach 空間，則X)(XBT 1）極限存在且有（Gelfand 公式） ； n n n T lim( )lim n n r TT 2）當(dāng)時，是T的正則點，則是可逆的，并且)(TrTI . 0 1 1 )( n n n T TI 引理引理 2（Stirling 公式3） 當(dāng)時，.x)1 (1 (2) 1(ox e x x x 引理引理 33

7、 設(shè)為一常數(shù)，則分數(shù)階積分0,baLu dttutx x a 1 1 在上幾乎處處存在。進一步，該變上限積分在,ba上是可積的。,baLebesgue 定義定義 34 設(shè)為一 Banach 空間，為X中一個非空凸集，滿足條件XP 1） ;0,PxPx 2） (0 表示X的零元)， . 0 ,xPxPx 則稱P為X中的錐。如果P為X中的錐，則可定義X中的半序“”為 .Pxyyx 定義定義 44 設(shè)P為X中的錐， 1）如果存在常數(shù)，滿足，則稱P是正規(guī)的；NyNxyx0 2）如果，則稱P是再生的。PPX 2 主要結(jié)論 本節(jié)給出了計算分數(shù)階積分算子譜半徑的詳細過程，分為兩種情況進行討論。 定理定理 1

8、 假設(shè)0為一常數(shù)，定義從到的分數(shù)階積分算子為,baL,baL ， , 1 1 baLudttutxxTu x a 則. 0Tr 證明：由引理 3 可知，易見為線性算子。,:baLbaLTT 以下分兩個步驟證明 0Tr. 第一步：利用數(shù)學(xué)歸納法證明有下式成立： . （*） dttutx n xuT n x a n 1 1 事實上， 1）當(dāng)時，由題設(shè)知（*）式顯然成立；1n 2）假設(shè)當(dāng)時， （*）式仍然成立；kn 3）當(dāng)時，1 kn dttuTtxxuTTxuT k x a kk 1 1 1 dtdssust k tx k tx a 1 0 1 11 dsdtsutxst k x a t a k

9、1 1 1 dtdssutxst k x a x s k 1 1 1 dttutx k k k k x a 11 1 . dttutx k x a k 11 1 1 這里令，并且利用 Beta 函數(shù)的性質(zhì)可得下式成立：sxzst dzzztxdtsttx k kk x s 1 1 1 0 11 1 1 11 11 , k k tx k k ktx 因此，當(dāng)時， （*）式依然成立， （*）式得證.1 kn 第二步，證明. 0Tr 因為 dttutx n xuT n x a n 1 1 ， 所以 dxxuTT b a n u n )(sup 1 dtdxtutx n x a n b a u )()

10、( )( 1 sup 1 1 dxdttutx n b a b t n u )()( )( 1 sup 1 1 dttu n tb n b a n u )( )( )( 1 sup 1 u n ab n u) 1( )( sup 1 . ) 1( )( n ab n 由 Stirling 公式可知 . e n on e n n n n n n n n lim)1 (1 (2lim) 1(lim 于是，利用 Gelfand 公式可得 . 0 1 )( lim 1 limlim 1 1 nn n n n n n n n ab n T TTr 因此，. 0Tr 定理定理 2 設(shè)0為一常數(shù)，定義從到的

11、分數(shù)階積分算子為,baC,baC ， , 1 1 baCudttutxxTu x a 則 0Tr. 證明：分兩個步驟來證明結(jié)論。 第一步，證明.,:baCbaCT 事實上，對于任意取定的，設(shè). 當(dāng)時，,baCu,bahxx0, 10h 有 )()(xTuhxTu x a hx a dttutxdttuthx)()( )( 1 )()( )( 1 11 hx x x a dtthx u dttxthx u 111 )( )( )()( )( . h u K u )()( 1 對于，有如下估計： 1 K x a dttxhtxK)()( 11 1 dsssh h ax ) 1( 1 0 1 1）如

12、果，則有hax0 . h dssshK 1 0 1 ) 1( 2）如果，那么hax x a dttxhtxK)()( 11 1 dssshdsssh h ax 1 111 1 0 1 ) 1() 1( dssh h h ax 1 2 )1 ( dssh h 1 2 )1 ( . h) 1 1 ( 綜合 1） ，2）可知.0)()(lim 0 xTuhxTu h 同理，可以證明時，也有.于是知.0h0)()(lim 0 xTuhxTu h ,baCTu 第二步，證明 0Tr. 由定理 1 的證明過程可知 dttutx n xuT n x a n 1 1 ， 所以 x a n bxa u n dt

13、tutx n T 1 1 1 maxsup x a n bxa dttx n 1 1 max n bxa ax nn )( 11 max . n ab n )( 1 1 類似定理 1 可知，此時也有 0Tr. 3 應(yīng)用 利用第 2 節(jié)所獲結(jié)果，可以得到一些有意義的結(jié)論，為此，首先介紹文獻5中定理 3.2 的一個推論。 引理引理 4 設(shè)X為一 Banach 空間，P為X中的正規(guī)、再生錐， “”是由錐P導(dǎo)出的半序， 如果是X到X的增映射，且存在非負線性算子，使得TXX :1)(r ，xyXyxyxTyTx,)( 則T在X中存在唯一不動點，且對任意，均有xXx .xxT n n )(lim 例例 1

14、（分數(shù)階微分方程求解）考察如下分數(shù)階微分方程的初值問題： 0 0 )0( )(,()( uu tutftuD C 其中，連續(xù)，且存在常數(shù)，當(dāng)時，RRf 1 , 0 :0kvut,1 , 0 ；)(),(),(0vukvtfutf 表示 Caputo 導(dǎo)數(shù)；為常數(shù)。 0 D C ) 1 , 0( 注意到方程的解滿足積分方程： ，dssusfstutu t )(,()( )( 1 )( 0 1 0 定義上的算子為 1 , 0CT ，dssusfstutTu t )(,()( )( 1 )( 0 1 0 則映 1 , 0C到 1 , 0C，且為增算子。T 定義 1 , 0C上的錐，則P為X中的正規(guī)、

15、再生錐。 1 , 0, 0)( 1 , 0ttxCxP 由于 ，xyXyxyxTyTx,)( 其中， . 1 , 0, 1 0 Cudttutx k xu x 由定理 2 知，因此，在 1 , 0C中有唯一不動點，即原方程有唯一解。0)(rT 例例 2（一個新的分數(shù)階積分的 Gronwall 不等式）考察積分不等式 ，dssuspsttgtatu t )()()()()()( 0 1 其中，為上的非負局部可積；為上的非負連續(xù)函數(shù)，為常數(shù)au, Rpg, R) 1 , 0( 對于任意的，定義上的映射T如下：0A, 0AL .dssuspsttgtatTu t )()()()()()( 0 1 由

16、引理 3，則T映, 0AL到, 0AL，且為增算子。 定義, 0AL上的錐，則P為X中的正規(guī)、, 0., 0)(, 0AteatxALxP 再生錐。 由于 xyXyxyxTyTx,)( ， 其中， . , 0, 1 0 ALpdttptx M xp x 這里. 由定理 1 知，0)(r，因此，T在中有唯一不)()()(max , 0 tptgM At , 0AL 動點，記為，且有.uuuT n n )(lim 由于，注意到T為增算子， 因此，Tuu .uuTTuu)( 2 取為迭代的初始值，可以計算得到)(ta 其中.)( 0 tau n n )()(),()( 10 aatata nn 這一

17、結(jié)果推廣了文獻6的定理 1. 特別地，當(dāng)時，1)(,)(tpbtg .dssast n b tau t n n n 0 1 1 )()( )( )( )( 這就是文獻6推論 1. 利用這些結(jié)論，可以進一步探討分數(shù)階微分方程解的有界性、穩(wěn)定性及 Heyers-Ulam 穩(wěn)定性。 參考文獻參考文獻 (References) 1 Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I., Fractional Integrals and Derivatives: Theory and ApplicationsM. Switzerland; Philadelphia, Pa., U

18、SA: Gordon and Breach Science Publishers, 1993. 2 張恭慶，林源渠，泛函分析講義（第一版，上冊）M.北京：北京大學(xué)出版社，2003. Zhang G Q, Lin Y Q. Functional Analysis(First Edition,Volume1)M. Beijing: Beijing University Press,2003. 3 Diethelm K., The Analysis of Fractional Differential Equations: An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo TypeM,Springer-Verlag,2010. 4 郭大鈞.非線性分析中的半序方法,濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，1999. Guo D J. Partial Order Method in Nonlinear Analysis M.,JiNan: Shandong Science and Technology