中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法的理解和教學(xué)設(shè)計(jì)

1、中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法的理解和教學(xué)設(shè)計(jì),第一部分 數(shù)學(xué)概念的理解和教學(xué),一、“三個(gè)理解”的內(nèi)涵,理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。 掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)；中學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解釋的知識(shí)；關(guān)于評(píng)估學(xué)生的知識(shí)理解水平的知識(shí)；等。 特別強(qiáng)調(diào)“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解，決定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。,例1 數(shù)學(xué)理解的幾個(gè)例子,直線與平面垂直的定義； 推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的思想方法； 兩個(gè)變量的線性相關(guān)； 定積分的概念。,二、 數(shù)學(xué)思想方法PK技巧,概念及其蘊(yùn)含的思想方法根本大法！ 技巧雕蟲(chóng)小技也，不足道也！ 技巧無(wú)法窮盡，教技

2、巧的結(jié)果：“講過(guò)練過(guò)的不一定會(huì)，沒(méi)講沒(méi)練的一定不會(huì)”。,要強(qiáng)調(diào)知識(shí)及其蘊(yùn)含的思想方法教學(xué)的重要性無(wú)知者無(wú)能； 讓學(xué)生養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣解題訓(xùn)練應(yīng)該針對(duì)概念的理解和應(yīng)用；,加強(qiáng)概念的聯(lián)系性，從概念的聯(lián)系中尋找解決問(wèn)題的新思路解題的靈活性來(lái)源于概念的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，技巧是不可靠的。 例2 “比較1.70.3與0.93.1的大小”該如何教？,三、數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在的問(wèn)題,概念教學(xué)走過(guò)場(chǎng)，常常采用“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒(méi)有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機(jī)會(huì)，認(rèn)為讓學(xué)生多做幾道題目更實(shí)惠 有些老師不知如何教概念,四、教概念的意義,李邦河院士：數(shù)學(xué)根本

3、上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！ 以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正否則，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空,五、概念教學(xué)的核心,概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開(kāi)，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。,理論依據(jù),概括是人們掌握概念的直接前提； 概括是思維的速度、靈活遷移程度、廣度和深度、創(chuàng)造程度等思維品質(zhì)的基礎(chǔ)； 概括是科學(xué)研究的關(guān)鍵機(jī)制； 學(xué)習(xí)和應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程也是概括的過(guò)程； 數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的基礎(chǔ)，概

4、括能力的訓(xùn)練是數(shù)學(xué)能力訓(xùn)練的基礎(chǔ)； 概括與歸納、類比等直接相關(guān)，是培養(yǎng)創(chuàng)造力的基礎(chǔ)。,六、概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié),概念的引入借助具體事例，從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程或解決實(shí)際問(wèn)題的需要引入概念； 內(nèi)涵的概括提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，概括不同例證的共同特征； 概念的明確下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述（文字的、符號(hào)的）；,概念的辨析以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）； 概念的鞏固用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟； 概念的應(yīng)用納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。,第二部分 準(zhǔn)確理解教學(xué)內(nèi)容合理設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程 以“歸納推理”的教學(xué)為例,關(guān)于“歸納推理”的注

5、記,過(guò)去沒(méi)有的，值得研討； 內(nèi)容特點(diǎn)：入口寬且淺、收攏難實(shí)際上是沒(méi)有知識(shí)點(diǎn)； 如何以“思維方式”、“思維方法”的內(nèi)容為載體，搞好“思維的教學(xué)”； 合情推理與演繹推理的不同點(diǎn)到底在哪里？經(jīng)驗(yàn)、直覺(jué)在起作用，這是我國(guó)教育所缺乏的。,一、如何設(shè)計(jì)一堂課,凡事豫則立，不豫則廢。 課堂教學(xué)必須精心設(shè)計(jì)：教學(xué)是有目的、有計(jì)劃、有組織地進(jìn)行的一種傳承人類已有經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)。 必須處理好預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系：預(yù)設(shè)是為了使生成更具有方向感，更富有成效性。備課要從重“教”走向重“學(xué)”，為“學(xué)”而設(shè)：預(yù)設(shè)學(xué)生的問(wèn)題、體驗(yàn)、感悟、答案、錯(cuò)誤、疑惑 ,1. 從領(lǐng)會(huì)課標(biāo)開(kāi)始,目的：把握教學(xué)的方向 “推理與證明”是學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常

6、使用的思維方式。 推理一般包括合情推理和演繹推理。 合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程經(jīng)驗(yàn)、直覺(jué)都是要積累的。,歸納、類比是合情推理常用的思維方法。 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)加強(qiáng)合情推理能力的培養(yǎng)，對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)造性人才有重要意義。,演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程，培養(yǎng)和提高學(xué)生的演繹推理或邏輯證明的能力是高中數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)。 合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成。,課標(biāo)規(guī)定的內(nèi)容與要求,結(jié)

7、合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。 結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理。,對(duì)課標(biāo)安排的理解,加強(qiáng)合情推理思維方式的學(xué)習(xí)，具體落實(shí)創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)； 將零散、分散的合情推理內(nèi)容系統(tǒng)化，使歸納、類比的思維方法顯性化，通過(guò)具體事例，讓學(xué)生體會(huì)歸納、類比的特點(diǎn)，明確它們的“動(dòng)作要領(lǐng)”，認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。,2. 理解教材的編寫(xiě)意圖,本章內(nèi)容屬數(shù)學(xué)思維方法范疇，即把過(guò)去滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中的思維方法，以系統(tǒng)的、顯性的形式呈現(xiàn)出來(lái)

8、，使學(xué)生更加明確這些方法，并能在今后的學(xué)習(xí)中有意識(shí)地使用它們，以培養(yǎng)言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣,教材注重了什么？,以典型事例為載體，提煉概括歸納推理的含義：以哥德巴赫猜想為背景引入歸納推理哥德巴赫猜想的提出過(guò)程是一個(gè)典型的運(yùn)用歸納推理的過(guò)程，教科書(shū)詳細(xì)分析了猜想的提出過(guò)程，同時(shí)分析了其中的思維方法，并從這個(gè)過(guò)程中提煉出歸納推理的含義,注重學(xué)科之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)從不同學(xué)科的事例中，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)歸納推理的含義和作用。 通過(guò)簡(jiǎn)單事例，使學(xué)生體會(huì)歸納推理的基本過(guò)程和一般步驟。,3. “歸納推理”的安排,第一步，陳述數(shù)學(xué)歷上的著名猜想，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣； 第二步，詳細(xì)分析哥德巴赫猜想的提出過(guò)程； 第三步，

9、闡述歸納推理的含義。 第四步，舉例說(shuō)明歸納推理在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用； 第五步，用歸納推理得出數(shù)學(xué)猜想的例題。,兩點(diǎn)說(shuō)明,第一，無(wú)論是課標(biāo)還是教材，都強(qiáng)調(diào)了以簡(jiǎn)單事例為載體，體會(huì)歸納推理的含義、過(guò)程和方法，不是要用歸納推理解決復(fù)雜問(wèn)題； 第二，為什么用“哥德巴赫猜想”為例子？名氣大，內(nèi)涵豐富，能說(shuō)明問(wèn)題。所以這個(gè)例子要用好！,4. 教學(xué)目標(biāo)的確定 從幾個(gè)例子說(shuō)起,知識(shí)與技能：結(jié)合實(shí)例，理解歸納推理的思維過(guò)程，掌握歸納推理的方法，能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。要求太高，無(wú)法實(shí)現(xiàn) 過(guò)程與方法：通過(guò)讓學(xué)生的積極參與，親身經(jīng)歷歸幾種歸納推理的思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察比較、分析綜合、抽象概括的能力，體會(huì)并認(rèn)識(shí)歸納

10、推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。不具體，難落實(shí),情感態(tài)度與價(jià)值觀：提高數(shù)學(xué)思維能力，感受數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。放之四海而皆準(zhǔn)，正確的廢話，是無(wú)效目標(biāo)。,例2,知識(shí)目標(biāo)：結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解歸納推理的含義，能利用歸納推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。 過(guò)程與方法目標(biāo)：體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美感。,共性問(wèn)題,沒(méi)有反映內(nèi)容特點(diǎn)；不具體；目標(biāo)分類混亂、不準(zhǔn)確，條目繁瑣，表達(dá)不確切，空話、套話連篇，對(duì)課堂教學(xué)活動(dòng)的定向功能太弱 原因：混淆了“課程目標(biāo)”和“課堂教學(xué)目標(biāo)”的關(guān)系。,“三維目

11、標(biāo)”的理解,“三維目標(biāo)”是課程目標(biāo)的設(shè)計(jì)思路，是同一學(xué)習(xí)過(guò)程中的三個(gè)心理維度，不是教學(xué)目標(biāo)的維度。 教學(xué)目標(biāo)取決于教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，要在“三個(gè)維度”的指導(dǎo)下，綜合考慮學(xué)段目標(biāo)、內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)情來(lái)確定；課堂教學(xué)不是為了體現(xiàn)課程目標(biāo)的“三個(gè)維度”而存在，而是要具體而扎實(shí)地把課程內(nèi)容傳遞給學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生健康發(fā)展。,課堂教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)、技能、方法為載體，在過(guò)程中滲透情感態(tài)度價(jià)值觀教育。 教學(xué)目標(biāo)要聚焦在數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思維能力、理性精神上。,數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)系統(tǒng),教育方針學(xué)校一切學(xué)科的目標(biāo)。 課程目標(biāo)宏觀目標(biāo)，要付出大量時(shí)間和精力，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期努力才能實(shí)現(xiàn)的學(xué)習(xí)結(jié)果；通常包含多方面的、更為具體的目標(biāo)。目前采用

12、“總體目標(biāo)+學(xué)段目標(biāo)”的方式來(lái)呈現(xiàn)。,單元目標(biāo)中觀目標(biāo)，用于計(jì)劃需要幾周或幾個(gè)月的時(shí)間學(xué)習(xí)的單元，是課程目標(biāo)的具體化。例如，“理解函數(shù)的概念”就是一個(gè)單元目標(biāo)，因?yàn)楹瘮?shù)的概念包含了函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)等眾多內(nèi)容。從這個(gè)單元目標(biāo)到課堂教學(xué)目標(biāo)，還需要教師的工作。,教學(xué)目標(biāo)微觀目標(biāo)，即課堂教學(xué)目標(biāo)。專注于具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)，只處理細(xì)節(jié)，它們?cè)谟?jì)劃日常教學(xué)中發(fā)揮作用。 例如，“理解函數(shù)的概念”這一單元目標(biāo)要具體化為： 理解函數(shù)的定義和三種表示法，能用函數(shù)的概念作簡(jiǎn)單判斷（是不是函數(shù)）。 能分析簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系。 能確定簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會(huì)求出函數(shù)值。 能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻

13、畫(huà)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系。 結(jié)合對(duì)函數(shù)關(guān)系的分析，能對(duì)變量的變化情況進(jìn)行初步討論。,正確理解內(nèi)容基礎(chǔ)上制定目標(biāo),歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理；從幾個(gè)事實(shí)中概括出一般結(jié)論的推理。 過(guò)程：幾個(gè)事實(shí)一種觀察一般觀點(diǎn)驗(yàn)證提出猜想。 關(guān)鍵：“一種觀察”，即部分對(duì)象共性的獲得過(guò)程；得出“共性”需要敏銳的觀察力，這正是創(chuàng)造力的表現(xiàn)之一。,共性的概括過(guò)程，經(jīng)驗(yàn)、直覺(jué)都在發(fā)揮作用，同時(shí)也有邏輯的成分。因此，多舉例，多經(jīng)歷，并及時(shí)總結(jié)很重要；還要讓學(xué)生掌握一定的方法“合情”的體現(xiàn)。 直覺(jué)之中融入邏輯的成分，經(jīng)驗(yàn)之中融入理性的成分經(jīng)驗(yàn)之中找規(guī)律，這也是

14、“合情”的體現(xiàn)。,“合情推理”的教學(xué)目標(biāo),學(xué)生能通過(guò)具體事例的分析，了解合情推理的含義； 通過(guò)簡(jiǎn)單事例，學(xué)會(huì)從部分對(duì)象中得出共同特征并概括出一般結(jié)論，理解歸納推理的一般過(guò)程（方法和步驟）； 通過(guò)具體事例，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。,5.關(guān)于重點(diǎn)、難點(diǎn),兩位老師確定的重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：理解歸納推理的思維過(guò)程，掌握歸納推理的方法。 難點(diǎn)：理解歸納推理的思維過(guò)程。 重點(diǎn)：了解歸納推理的含義，能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。 難點(diǎn)：用歸納進(jìn)行推理，做出猜想。 共性問(wèn)題：以“面”代“點(diǎn)”，不精準(zhǔn)，針對(duì)性不夠。,落實(shí)在“點(diǎn)”上的重、難點(diǎn),重點(diǎn)：歸納推理的特征，從部分對(duì)象中抽象出共性。 難點(diǎn)：從部分對(duì)

15、象中抽象出“共性”。 突破難點(diǎn)的方法：在“幾個(gè)事實(shí)一種觀察一般觀點(diǎn)從頭驗(yàn)證提出猜想”中，突出“一種觀察”。,6. 教學(xué)過(guò)程概要,引入：典型例子（猜想）引出課題，給“推理”的概念； 分析：生活事例的作用引發(fā)興趣、知道日常生活、科學(xué)研究中常用。,哥德巴赫猜想的教學(xué),幾個(gè)事實(shí)：3+7=10，3+17=20，13+17=30； 一種觀察（倒過(guò)來(lái)看）：10=3+7，20=3+17，30=13+17；不是誰(shuí)都能做到的，經(jīng)驗(yàn)、直覺(jué)的作用 一般觀點(diǎn)：偶數(shù)=奇質(zhì)數(shù)+奇質(zhì)數(shù)；不是誰(shuí)都能提出的，經(jīng)驗(yàn)、直覺(jué)、豐富的知識(shí)等都在起作用（因?yàn)橛胁煌挠^察角度，所以觀點(diǎn)也可以是多種多樣，但有“含金量”的差異）,驗(yàn)證：2=1+

16、1（錯(cuò)），4=1+3（錯(cuò)），6=3+3（對(duì)），8=3+5（對(duì)），10=3+7（對(duì)），12=5+7，14=3+11 提出猜想：任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和。,給概念。 問(wèn)：“由銅、鐵、金、銀、鋁等金屬能導(dǎo)電，得出一切金屬都能導(dǎo)電”用了什么推理，為什么？ 設(shè)計(jì)意圖：辨析概念，要求說(shuō)出與概念對(duì)應(yīng)的各部分。 自己舉出一些歸納推理的例子，并說(shuō)明你舉的例子確實(shí)是歸納推理。 概念辨析，初步應(yīng)用概念作判斷。,例1的處理 小結(jié)： 問(wèn)1：歸納推理的一般過(guò)程是怎么樣的？ 幾個(gè)事實(shí)-一種觀察-一般觀點(diǎn)-從頭驗(yàn)證-提出猜想。 問(wèn)2：歸納推理是由個(gè)別特征概括出一般結(jié)論的推理，那么部分對(duì)象中的個(gè)別特征是如何得

17、到的？,預(yù)設(shè)：先列出幾個(gè)事實(shí)，然后觀察，觀察要有明確目標(biāo)，有時(shí)需要變形，有時(shí)需要語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，有時(shí)需要多角度看。 師：觀察的目標(biāo)就是“幾個(gè)事實(shí)”中蘊(yùn)含的那個(gè)“共性”。變形、語(yǔ)言轉(zhuǎn)換、不同角度看等是為了突出“共性”，以利于得出結(jié)果。由于結(jié)果僅是根據(jù)“幾個(gè)事實(shí)”得到的，因此其正確性還需通過(guò)邏輯推理論證才能得到保證。 歸納的前提是特殊的，所得結(jié)論是一般的，是一種“合乎情理的推理”，稱為“合情推理”。,二、怎樣進(jìn)行“思維的教學(xué)”,數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。 數(shù)學(xué)是思維的體操。 多給“先行組織者”； 把概括的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生。,例 二元一次不等式表示平面區(qū)域,如何獲得猜想？ 如何證明“同側(cè)同號(hào)”學(xué)生做出“垂直于x軸的垂線，比較x相同時(shí)的y的值”以后該怎么辦？ 問(wèn)一問(wèn)：你是怎么想到的？,點(diǎn)P(x0 ,y0 )在直線Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”如何用不等式語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)！ y P(x0 ,y0 ) O x,怎樣用1=1，1+3=4，1+3+5=9，在教“歸納猜想”的過(guò)程中，體現(xiàn)思維的教學(xué)？,題外話：教學(xué)是“慢”的藝術(shù),題目太多，技巧太雜，事無(wú)巨細(xì)，核心不突出，導(dǎo)致線索不清楚，霧里看花，一筆糊涂帳； 走馬觀花，蜻蜓點(diǎn)水，匆匆忙忙，導(dǎo)致