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1、1,靜定結(jié)構(gòu)的位移計算,第六章,6-1 概述,6-2 變形體虛功原理及位移計算一般公式,6-3 支座移動和溫度變化時的位移計算,6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算,6-5 圖乘法,6-6 互等定理,6-7 結(jié)構(gòu)位移計算公式的另一種推導(dǎo),2,6-1 概述,一、靜定結(jié)構(gòu)的位移,靜定結(jié)構(gòu)在荷載、溫度變化、支座移動以及制造誤差等因素作用下,結(jié)構(gòu)的某個截面通常會產(chǎn)生水平線位移、豎向線位移以及角位移。,1. 截面位移,桁架受荷載作用,剛架受荷載作用,3,2. 廣義位移,通常把兩個截面的相對水平位移、相對豎向位移以及相對轉(zhuǎn)角叫做廣義位移。,a),支座B下沉,溫度變化,4,b),c),相對豎向位移,相對水
2、平位移,5,A左、右截面相對轉(zhuǎn)角,e),d),6,次梁跨中撓度 主梁跨中撓度 樓蓋跨中撓度 吊車梁跨中撓度,二、位移計算的目的,1)驗算結(jié)構(gòu)的剛度,7,2)為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移計算準(zhǔn)備條件,求解超靜定結(jié)構(gòu)時,只利用平衡條件不能求得內(nèi)力或位移的唯一解,還要補(bǔ)充位移條件。,12kN,7.5kN.m,9kN.m,2m,2m,A,B,8,三、實功和虛功:,1. 實功,力 在由該力引起的位移 上所作的功稱為實功。即,右圖中,外力是從零開始線性增大至 ,位移也從零線性增大至 。 也稱為靜力實功。,9,2. 虛功,力FP在由非該力引起的位移上所作的功叫作虛功。,10,實功:,虛功:,虛功強(qiáng)調(diào)作功的力與位
3、移無關(guān)。,11,6-2 變形體虛功原理及位移計算一般公式,一、 變形體虛功原理,定義:設(shè)變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài),又設(shè)該變形體由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形,則外力在位移上做的外虛功W恒等于各微段應(yīng)力的合力在變形上作的內(nèi)虛功Wi ,即W=Wi 。,12,下面討論W及Wi 的具體表達(dá)式。,13,14,外力虛功:,微段ds的內(nèi)虛功dWi:,整根桿件的內(nèi)虛功為:,15,根據(jù)虛功方程W=Wi,所以有:,結(jié)構(gòu)通常有若干根桿件,則對全部桿件求總和得:,16,17,變形體虛功原理有兩種應(yīng)用形式,即虛力原理和虛位移原理。虛力原理:虛設(shè)平衡力系求位移; 虛位移原理:虛設(shè)位移求未知力。 用變形體
4、虛力原理求靜定結(jié)構(gòu)的位移,是將求位移這一幾何問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題。,二、位移計算的一般公式,所以,在變形體虛功方程中,若外力只是一個單位荷載 ,則虛功方程為 :,18,下面以圖示剛架為例對位移計算的一般公式加以具體說明。,給定位移、變形,虛設(shè)平衡力系,1. 欲求 ,則在C截面加上豎向單位載荷 ,則該靜定剛架就產(chǎn)生了一組平衡力系。,19,2. 位移計算一般公式 外力虛功 內(nèi)虛功 所求位移,給定的位移和變形。力和位移無關(guān)。,20,2)正負(fù)號規(guī)則: 若 及 使桿件同側(cè)纖維伸長,則乘積為正,反之為負(fù); 乘積 及 的正負(fù)號分別由力與應(yīng)變的正負(fù)號確定。 使隔離體產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動為正,反之為負(fù), 以順時針方
5、向為正,反之為負(fù); 以拉力為正,壓力為負(fù), 以拉應(yīng)變?yōu)檎?,壓?yīng)變?yōu)樨?fù); 若 與 同向,則乘積 為正,反之為負(fù)。,21,4)根據(jù)所求位移的性質(zhì)虛設(shè)相應(yīng)的單位載荷。,圖示單位荷載分別求位移,5)求位移步驟如下: 沿擬求位移方向虛設(shè)性質(zhì)相應(yīng)的單位載荷; 求結(jié)構(gòu)在單位載荷作用下的內(nèi)力和支座反力; 利用位移計算一般公式求位移。,22,例6-2-1 已知桿AB和BC在B處有折角 (見圖a),求B點下垂距離 。,a),1)將制造誤差明確為剛體位移,即在B截面加鉸,見圖b)。,解:,23,2)虛設(shè)平衡力系如圖c)所示。運用虛功方程W=0得:,1/3,24,例6-2-2 已知桿AB在B左、右截面有豎向相對錯動
6、見圖a) ,求 。,25,解: 1)將制造誤差明確為剛體位移,將截面B變?yōu)榛瑒勇?lián)結(jié),見上頁圖 b)。 2)虛設(shè)平衡力系如圖c)所示 。運用虛功方程W=0得:,26,例6-2-3 已知一直桿彎曲成圓弧狀,求桿中撓度 。,解:虛設(shè)平衡力系如圖所示,運用變形體虛功方程 得:,給定位移,虛設(shè)平衡力系,27,三、廣義位移的計算,求圖a)結(jié)構(gòu)A、B截面相對水平位移 。,+,a) 給定位移,28,虛設(shè)單位載荷如上圖c) ,d)所示。,由上圖b)可得:,所以得:,29,所以,為了求兩個截面的相對位移,只需要在該兩個截面同時加一對大小相等,方向相反,性質(zhì)與所求位移相應(yīng)的單位荷載即可。,下面給出幾種情況的廣義單位
7、荷載:,30,2),31,例6-2-4 因溫度變化底板AB彎曲成半徑R=10m之圓弧狀,求截面C、D的相對水平位移 。,給定位移,虛設(shè)平衡力系,在截面C、D上加一對大小相等 、方向相反、 沿水平方向的單位荷載如圖所示。,解:,32,注意,AC、BD桿無彎曲變形。,33,6-3 支座移動和溫度變化時的位移計算,一、支座移動時的位移計算,若靜定結(jié)構(gòu)只有支座移動而無其他因素作用,則結(jié)構(gòu)只產(chǎn)生剛體位移而無變形,故對于桿件的任意微段,應(yīng)變 均為零。所以支座移動時的位移計算公式為:,34,例6-3-1 已知剛架支座B向右移動a,求 。,解:,1)求,求,35,2)求,3)求,36,二、溫度變化時的位移計算
8、,靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化作用下各桿能自由變形,所以結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力。,1. 是溫度改變值,而非某時刻的溫度。,37,2. 溫度沿桿件截面厚度方向成線性變化。,截面上、下邊緣溫差:,對于矩形截面桿件, , 。,桿軸線處溫度改變值 :,38,3. 微段ds的應(yīng)變,拉應(yīng)變,彎曲應(yīng)變,剪應(yīng)變,4. 位移計算公式,39,小結(jié):,2),40,解:,41,42,6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算,一、 基本公式,求下圖示結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移 。,43,若結(jié)構(gòu)只有荷載作用,則位移計算一般公式為:,上式適用的條件是:小變形,材料服從虎克定律,,即體系是線性彈性體。,44,正負(fù)號規(guī)則:,45,若結(jié)構(gòu)除荷載外,還有
9、支座移動和溫度變化,則位移計算公式為:,2) 和 以拉力為正,壓力為負(fù);,3) 和 的正負(fù)號見下圖。,46,二、各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式,1. 梁和剛架,在梁和剛架中,由于軸向變形及剪切變形產(chǎn)生的位移可以忽略,故位移計算公式為:,在高層建筑中,柱的軸力很大,故軸向變形對位移的影響不容忽略。,對于深梁,即h/l 較大的梁,剪切變形的影響不容忽略。,47,2. 桁架,桁架各桿只有軸力,所以位移計算公式為:,4. 拱,拱軸截面軸向變形的影響通常不能忽略:,3. 組合結(jié)構(gòu),用于彎曲桿,用于二力桿,48,例6-4-1 求簡支梁中點豎向位移 ,并討論剪切變,形對位移的影響。,49,解:,50,若桿截面為矩形
10、,則k=1.2;又=1/3,則E/G=2(1+ )=8/3,I/A=h2/12。,若h/l=1/10,則,h/l=1/2, 則,可見,剪切變形的影響不能忽略。,51,6-5 圖乘法,圖乘法是一種求積分的簡化計算方法,它把求積分的運算轉(zhuǎn)化為求幾何圖形的面積與豎標(biāo)的乘積的運算。,一、圖乘法基本公式,52,53,說明: 1)條件:AB桿為棱柱形直桿,即EI等于常數(shù);Mi與Mk圖形中有一個是直線圖形。 2)y0與的取值: y0一定取自直線圖形, 則取自另一個圖形,且取的圖形的形心位置是已知的,不必另行求解。 3)若y0與在桿軸或基線的同一側(cè),則乘積y0取正號;若y0與不在桿軸或基線的同一側(cè),則乘積y0
11、取負(fù)號。,54,二、 常見圖形的幾何性質(zhì),55,三 、 圖乘法舉例,運用圖乘法進(jìn)行計算時,關(guān)鍵是對彎矩圖進(jìn)行分段和分塊,尤其是正確的進(jìn)行分塊。,56,分段 圖均應(yīng)分為對應(yīng)的若干段,然后進(jìn)行計算。,57,分塊只對 或 中的一個圖形進(jìn)行 分塊,另一個圖形不分塊。,58,例6-5-1 求 。,解:,作 圖 圖,如上圖所示。,分段: , 分為AC、CB兩段, 分塊: 圖的CB段分為兩塊。,MP,59,此題還可以這樣處理:先認(rèn)為整個AB桿的剛度是 ,再加上剛度為 的AC段,再減去剛度為 的AC段即可。,60,例6-5-2 求 , EI等于常數(shù)。,解:,作 圖 圖,如右圖所示。,分段: , 分為AC、CB
12、兩段。 分塊: 圖的AC段分為兩塊。,61,如果將AC段的 圖如下圖那樣分塊,就比較麻煩。,圖,例6-5-3 求 , EI等于常數(shù)。,作 圖 圖,如下頁圖所示。,解:,62,63,例6-5-4 求 , EI等于常數(shù)。,解:,作 圖及 圖, 如右所示。,分段: , 分 為AB、BC兩段。 分塊: 圖的 BC段分為兩塊。,64,65,例6-5-5 求CH,EI等于常數(shù)。,解:,作MP圖和 圖見下頁圖。 分塊:MP圖的AB段分為兩塊。,66,67,6-6 互等定理,互等定理適用于線性變形體系,即體系產(chǎn)生的是小變形,且桿件材料服從虎克定律。,一、 功的互等定理,功的互等本質(zhì)上是虛功互等。,下圖給出狀態(tài)
13、I和狀態(tài)II。,68,69,同樣,令狀態(tài)II的平衡力系在狀態(tài)I的位移上做虛功,得到:,所以,即,70,定理 在任一線性變形體系中,第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功W21。,二、 位移互等定理,定理 在任一線性變形體系中,由荷載FP1引起的與荷載FP2相應(yīng)的位移影響系數(shù)21等于由荷載FP2引起的與荷載FP1相應(yīng)的位移影響系數(shù)12。 即 12= 21,即,71,由功的互等定理可得:,在線性變形體系中,位移ij與力FPj的比值是一個常數(shù),記作ij,即:,或,于是,所以,72,73,例6-6-1 驗證位移互等定理。,解:,74,所以,例6-
14、6-2 驗證位移互等定理。,75,解:,所以,76,三、反力互等定理,反力互等定理只適用于超靜定結(jié)構(gòu),因為靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時只產(chǎn)生剛體位移,其內(nèi)力和支座反力均等于零。,根據(jù)功的互等定理有:,77,在線性變形體系中,反力FRij與Cj的比值為一常數(shù),記作rij,即,或,所以,得,說明: rij 也稱為剛度系數(shù),即產(chǎn)生單位位移所需施加的力。其量綱為 。 i 產(chǎn)生支座反力的方位; j 產(chǎn)生支座移動的支座。,78,例6-6-3 驗證反力互等定理。,可見:r12=r21,定理 在任一線性變形體系中,由位移C1引起的與位移C2相應(yīng)的反力影響系數(shù)r21等于由位移C2引起的與位移C1相應(yīng)的反力影響系數(shù)r12
15、。,79,四、位移反力互等定理,根據(jù)功的互等定理有:,令,上述支座可以是其它種類的支座,則支座位移、支座反力應(yīng)與支座種類相應(yīng)。,80,位移反力互等定理在混合法中得到應(yīng)用。,所以,由此得到,即,定理 在任一線性變形體系中,由位移C2引起的與荷載FP1相應(yīng)的位移影響系數(shù) 在絕對值上等于由荷載FP1引起的與位移C2相應(yīng)的反力影響系數(shù) ,但二者符號相反。,81,例6-6-4 驗證位移反力互等定理。,82,6-7 結(jié)構(gòu)位移計算公式的 另一種推導(dǎo),本節(jié)討論問題的思路是:先導(dǎo)出局部變形時的位移公式,然后運用疊加原理,導(dǎo)出結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式。,一、 局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算公式,先討論三個例題。,例6
16、-7-1 下圖示懸臂梁B左右截面有相對轉(zhuǎn)角,試求A截面豎向位移。,83,令虛設(shè)平衡力系在實際位移上做虛功,可得出:,解:,84,b,在截面B上加上滑動連結(jié),把實際位移表示為剛體位移。在截面A沿方向加上單位荷載,在B左右截面虛設(shè)一對剪力 如圖所示。顯然:,令虛設(shè)平衡力系在實際位移上做虛功,可得出:,解:,例6-7-2 圖示懸臂梁B截面有相對剪切位移 ,試求A截面沿 方向位移。,85,在截面B上加上軸向連結(jié),把實際位移表示為剛體位移。在截面A沿方向加單位荷載,在B左右截面虛設(shè)一對軸力 如圖所示。顯然:,令虛設(shè)平衡力系在實際位移上做虛功,可得出:,解:,C,例6-7-3 圖示懸臂梁B截面有相對軸向位移 ,試求A截
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