初高中數(shù)學銜接教材已整理

1、初高中數(shù)學銜接教材編者的話現(xiàn)有初高中數(shù)學教材存在以下“脫節(jié)”：1、絕對值型方程和不等式，初中沒有講，高中沒有專門的內(nèi)容卻在使用；2、立方和與差的公式在初中已經(jīng)刪去不講，而高中還在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次項系數(shù)為1的二次三項式的分解，對系數(shù)不為1的涉及不多，而且對三次或高次多項式的分解幾乎不作要求；高中教材中許多化簡求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數(shù)學中函數(shù)、不等式常用的解題技巧；5初中教材對二次函數(shù)的要求較低，學生處于了解水平。而高中則是貫穿整個數(shù)學教材的始終的重要內(nèi)容；配方、作簡圖、求值域（取值范圍）、

2、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大最小值、研究閉區(qū)間上的函數(shù)最值等等是高中數(shù)學所必須掌握的基本題型和常用方法；6、二次函數(shù)、二次不等式與二次方程之間的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）初中不作要求，此類題目僅限于簡單的常規(guī)運算，和難度不大的應用題，而在高中數(shù)學中，它們的相互轉(zhuǎn)化屢屢頻繁，且教材沒有專門講授，因此也脫節(jié)；7、圖像的對稱、平移變換初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)時，則作為必備的基本知識要領(lǐng)；8、含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式初中只是定量介紹了解，高中則作為重點，并無專題內(nèi)容在教材中出現(xiàn)，是高考必須考的綜合題型之一；9、幾何中很多概念（如三角形的五心：重心、內(nèi)心、外心、垂心、旁心）和定

3、理（平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已經(jīng)刪除，大都沒有去學習；10、圓中四點共圓的性質(zhì)和判定初中沒有學習。高中則在使用。另外，象配方法、換元法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老師根本沒有去延伸發(fā)掘，不利于高中數(shù)學的學習。新的課程改革，難免會導致很多知識的脫節(jié)和漏洞。本書當然也沒有詳盡列舉出來。我們會不斷的研究新課程及其體系。將不遺余力地找到新的初高中數(shù)學教材體系中存在的不足，加以補充和完善。歡迎廣大讀者提出寶貴意見，我們將不勝感激！ 目錄第一章 數(shù)與式1.1 數(shù)與式的運算1.1.1 絕對值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次

4、根式1.1.4 分式1.2 分解因式第二章 二次方程與二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判別式2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系2.2 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)2.2.2 二次函數(shù)的三種表達方式2.2.3 二次函數(shù)的應用2.3 方程與不等式2.3.1 二元二次方程組的解法第三章 相似形、三角形、圓3.1 相似形3.1.1 平行線分線段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性質(zhì)與判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心3.2.2 解三角形：鈍角三角函數(shù)、正弦定理和余弦定理及其應用3.3 圓3.3.1 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系：圓冪定理3.3.2 點的軌跡

5、3.3.3 四點共圓的性質(zhì)與判定3.3.4 直線和圓的方程（選學）1.1 數(shù)與式的運算1.1絕對值絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零即絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離 兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離例1 解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可變?yōu)?，?，解得x0，又x1，x0；若，不等式可變?yōu)?，?4，不存在滿足條件的x；若，不等式可變?yōu)?，?， 解得x4又x3，x4綜上所述，原不等式的解為 x0，或x413ABx04CDxP|x1|x3|圖111解法二：如圖111，表示x

6、軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x軸上點P到坐標為2的點B之間的距離|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的幾何意義即為|PA|PB|4由|AB|2，可知點P 在點C(坐標為0)的左側(cè)、或點P在點D(坐標為4)的右側(cè) x0，或x4練 習1填空：（1）若，則x=_；若，則x=_.（2）如果，且，則b_；若，則c_.2選擇題：下列敘述正確的是 （ ）（A）若，則 （B）若，則 （C）若，則 （D）若，則3化簡：|x5|2x13|（x5）1.1.2. 乘法公式我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我們還可

7、以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數(shù)和平方公式 ；（4）兩數(shù)和立方公式 ；（5）兩數(shù)差立方公式 對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明例1 計算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 已知，求的值解： 練 習1填空： （1）（ ）； （2） ； (3 ) 2選擇題：（1）若是一個完全平方式，則等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不論，為何實數(shù)，的值 （ ） （A）總是正數(shù) （B）總是負數(shù) （C）可以是零 （D）可以是正數(shù)也可以是負數(shù) 1.1.3二次根式 一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式根號下含有字母、且不能夠開得盡

8、方的式子稱為無理式. 例如 ，等是無理式，而，等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化為了進行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等 一般地，與，與，與互為有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然

9、后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類二次根式2二次根式的意義例1 將下列式子化為最簡二次根式：（1）； （2）； （3）解： （1）； （2）； （3）例2計算：解法一： 解法二： 例3 試比較下列各組數(shù)的大?。海?）和； （2）和.解： （1）， ，又， （2） 又 42， 42， .例4化簡：解： 例 5 化簡：（1）； （2） 解：（1）原式 （2）原式=，所以，原式例 6 已知，求的值 解：，練 習1填空：（1）_ _；（2）若，則的取值范圍是_ _ _；（3）_ _；（4）若，則_ _2選擇題：等式成立的條件是 （ ）（A）

10、 （B） （C） （D）3若，求的值4比較大小：2 （填“”，或“”）1.1.分式 1分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式當M0時，分式具有下列性質(zhì)：； 上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)2繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1若，求常數(shù)的值解： ， 解得 例2（1）試證：（其中n是正整數(shù)）； （2）計算：； （3）證明：對任意大于1的正整數(shù)n， 有（1）證明：， （其中n是正整數(shù)）成立（2）解：由（1）可知 （3）證明：， 又n2，且n是正整數(shù)，一定為正數(shù)， 例3設(shè)，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20兩邊同除以a2，得 2e25e2

11、0， (2e1)(e2)0， e1，舍去；或e2 e2練 習1填空題：對任意的正整數(shù)n， ()；2選擇題：若，則 （ ）（A） （B） （C） （D）3正數(shù)滿足，求的值4計算習題11A 組1解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空：（1）_；（2）若，則的取值范圍是_；（3）_B 組1填空： （1），則_ _；（2）若，則_ _；2已知：，求的值C 組1選擇題：（1）若，則 （ ） （A） （B） （C） （D）（2）計算等于 （ ）（A） （B） （C） （D）2解方程3計算：4試證：對任意的正整數(shù)n，有1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式

12、法、分組分解法，另外還應了解求根法及待定系數(shù)法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 解：（1）如圖111，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成1與2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為3x，就是x23x2中的一次項，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx圖1142611圖1131211圖11212xx圖111 說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖111中的兩個x用1來表示（如圖112所示）（2）由圖113，得x24x12(x2)(x6)（3）由圖114，得11xy圖115 （4）xy(xy)1

13、(x1) (y+1) （如圖115所示）課堂練習一、填空題：1、把下列各式分解因式：（1）_。（2）_。（3）_。（4）_。（5）_。（6）_。（7）_。（8）_。（9）_。（10）_。2、3、若則，。二、選擇題：（每小題四個答案中只有一個是正確的）1、在多項式（1）（2）（3）（4） （5）中，有相同因式的是（ ）A、只有（1）（2） B、只有（3）（4） C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式得（ ）A、 B、 C、 D、3、分解因式得（ ）A、 B、C、 D、4、若多項式可分解為，則、的值是（ ）A、， B、， C、， D、，5、若其中、為整

14、數(shù)，則的值為（ ）A、或 B、 C、 D、或三、把下列各式分解因式1、 2、3、 4、2提取公因式法例2 分解因式： （1）（2） 解： （1）=（2）= = 或 課堂練習：一、填空題：1、多項式中各項的公因式是_。2、_。3、_。4、_。5、_。6、分解因式得_。7計算= 二、判斷題：（正確的打上“”，錯誤的打上“” ）1、（ ）2、（ ）3、（ ）4、（ ）3：公式法例3 分解因式：（1） （2）解：(1)=(2) =課堂練習一、，的公因式是_。二、判斷題：（正確的打上“”，錯誤的打上“” ）1、（ ）2、 （ ）3、 （ ）4、（ ）5、（ ）五、把下列各式分解1、 2、3、 4、4分組

15、分解法例4 （1） （2） （2）= =或 = = =課堂練習：用分組分解法分解多項式（1）（2）5關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c(a0)的因式分解若關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根是、，則二次三項式就可分解為.例5把下列關(guān)于x的二次多項式分解因式：（1）； （2）解： （1）令=0，則解得， = =（2）令=0，則解得， =練 習1選擇題：多項式的一個因式為 （ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3；（3）x22x1； （4）習題121分解因式：（1） ； （2）； （3）； （4）2在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）3三邊，

16、滿足，試判定的形狀4分解因式：x2x(a2a)5. （嘗試題）已知abc=1，a+b+c=2，a+b+c=，求+的值.2.1 一元二次方程2.1.1根的判別式情境設(shè)置：可先讓學生通過具體實例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（1）(2) (3) 我們知道，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以將其變形為 因為a0，所以，4a20于是（1）當b24ac0時，方程的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根 x1，2；（2）當b24ac0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根 x1x2；（3）當b24ac0時，方程的右端是一個負數(shù)，而方程的左邊一定大于或等于零，因此

17、，原方程沒有實數(shù)根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情況可以由b24ac來判定，我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判別式，通常用符號“”來表示綜上所述，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 當0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根x1，2；（2）當0時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1x2；（3）當0時，方程沒有實數(shù)根例1 判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）3241330，方程沒有實數(shù)根（2）該方程的根的判

18、別式a241(1)a240，所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根， （3）由于該方程的根的判別式為a241(a1)a24a4(a2)2，所以，當a2時，0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x21；當a2時，0， 所以方程有兩個不相等的實數(shù)根 x11，x2a1（3）由于該方程的根的判別式為2241a44a4(1a)，所以當0，即4(1a) 0，即a1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 ， ； 當0，即a1時，方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x21； 當0，即a1時，方程沒有實數(shù)根說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分

19、類討論分類討論這一思想方法是高中數(shù)學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問題2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個實數(shù)根 ，則有 ； 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系： 如果ax2bxc0（a0）的兩根分別是x1，x2，那么x1x2，x1x2這一關(guān)系也被稱為韋達定理特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化為 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩

20、根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2(x1x2)xx1x20例2 已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值解法一：2是方程的一個根，522k260，k7所以，方程就為5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一個根為，k的值為7解法二：設(shè)方程的另一

21、個根為x1，則 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一個根為，k的值為7例3 已知關(guān)于x的方程x22(m2)xm240有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21，求m的值分析：本題可以利用韋達定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式應大于零解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化簡，得 m216m170， 解得 m1，或m17當m

22、1時，方程為x26x50，0，滿足題意；當m17時，方程為x230x2930，302412930，不合題意，舍去綜上，m17說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應的m的范圍，然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可（1）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根例4 已知兩個數(shù)的和為4，積為12，求這兩個數(shù)分析：我們可以設(shè)出這兩個數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個數(shù)也可以利用韋達定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是

23、x，y，則 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，這兩個數(shù)是2和6解法二：由韋達定理可知，這兩個數(shù)是方程x24x120的兩個根 解這個方程，得x12，x26所以，這兩個數(shù)是2和6說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷例5 若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23解：x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x26， | x1x2|

24、（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則，| x1x2| 于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論例6 若關(guān)于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍解：設(shè)x1，x2是

25、方程的兩根，則 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范圍是a4練 習1選擇題：（1）方程的根的情況是 （ ） （A）有一個實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根 （D）沒有實數(shù)根（2）若關(guān)于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2填空:（1）若方程x23x10的兩根分別是x1和x2，則 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情況是 （3）以3和1為根的一元二次方程是 3已知，當k取何值時，方程kx2axb0有兩個不相等的實數(shù)根？4已知方程x

26、23x10的兩根為x1和x2，求(x13)( x23)的值習題2.1A 組1選擇題:（1）已知關(guān)于x的方程x2kx20的一個根是1，則它的另一個根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四個說法： 方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程3 x270的兩根之和為0，兩根之積為；方程3 x22x0的兩根之和為2，兩根之積為0其中正確說法的個數(shù)是 （ ） （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個（3）關(guān)于x的一元二次方程ax25xa2a0的一個根是0，則a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:

27、（1）方程kx24x10的兩根之和為2，則k （2）方程2x2x40的兩根為，則22 （3）已知關(guān)于x的方程x2ax3a0的一個根是2，則它的另一個根是 （4）方程2x22x10的兩根為x1和x2，則| x1x2| 3試判定當m取何值時，關(guān)于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？4求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)B 組1選擇題:若關(guān)于x的方程x2(k21) xk10的兩根互為相反數(shù)，則k的值為 ( ) （A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程x22005x10的兩個實數(shù)根，

28、則m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式a3a2bab2b3的值是 3已知關(guān)于x的方程x2kx20（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求實數(shù)k的取值范圍4一元二次方程ax2bxc0（a0）的兩根為x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235關(guān)于x的方程x24xm0的兩根為x1，x2滿足| x1x2|2，求實數(shù)m的值C 組1選擇題：（1）已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x28x70的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于 （ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9（2

29、）若x1，x2是方程2x24x10的兩個根，則的值為 （ ） （A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如果關(guān)于x的方程x22(1m)xm20有兩實數(shù)根，則的取值范圍為 （ ） （A） （B） （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是ABC的三邊長，那么方程cx2(ab)x0的根的情況是( ) （A）沒有實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根 （D）有兩個異號實數(shù)根2填空：若方程x28xm0的兩根為x1，x2，且3x12x218，則m 3 已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx24kxk10的兩個實數(shù)根（1）是否存在實數(shù)k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？若存

30、在，求出k的值；若不存在，說明理由；（2）求使2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k2，試求的值4已知關(guān)于x的方程（1）求證：無論m取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個相異實數(shù)根；（2）若這個方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足|x2|x1|2，求m的值及相應的x1，x25若關(guān)于x的方程x2xa0的一個大于1、零一根小于1，求實數(shù)a的取值范圍22 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖象和性質(zhì)情境設(shè)置：可先讓學生通過具體實例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖（1） (2) (3) 問題1 函數(shù)yax2與yx2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y2x2，yx2，y2x2的圖象，通過

31、這些函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系，推導出函數(shù)yax2與yx2的圖象之間所存在的關(guān)系先畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象先列表：x3210123x294101492x2188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2的值擴大兩倍就可以了再描點、連線，就分別得到了函數(shù)yx2，y2x2的圖象（如圖21所示），從圖21我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y2x2的圖象可以由函數(shù)yx2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫酵瑢W們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)

32、yax2(a0)的圖象可以由yx2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到在二次函數(shù)yax2(a0)中，二次項系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大小問題2 函數(shù)ya(xh)2k與yax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？圖2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系同學們可以作出函數(shù)y2(x1)21與y2x2的圖象（如圖22所示），從函數(shù)的同學我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y2(x1)21的圖象這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點類似地

33、，還可以通過畫函數(shù)y3x2，y3(x1)21的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的圖象可以看作是將函數(shù)yax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)yax2bxc(a0)具有下列性質(zhì)：（1）當a0時，函數(shù)yax2b

34、xc圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x；當x時，y隨著x的增大而減?。划攛時，y隨著x的增大而增大；當x時，函數(shù)取最小值y（2）當a0時，函數(shù)yax2bxc圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x；當x時，y隨著x的增大而增大；當x時，y隨著x的增大而減小；當x時，函數(shù)取最大值y xyOxA圖2.2-3xyOxA圖2.2-4上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖223和圖224直觀地表示出來因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題yx2y2x2圖2.2-1xOy例1 求二次函數(shù)y3x26x1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出

35、當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫出該函數(shù)的圖象xOyx1A(1,4)D(0,1)BC圖2.25解：y3x26x13(x1)24，函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x1；頂點坐標為(1，4)；當x1時，函數(shù)y取最大值y4；當x1時，y隨著x的增大而增大；當x1時，y隨著x的增大而減??；采用描點法畫圖，選頂點A(1，4)，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖25所示）說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確函數(shù)yax2bxc圖象作圖要領(lǐng)：（1） 確定開口方向：由二次項

36、系數(shù)a決定（2） 確定對稱軸：對稱軸方程為（3） 確定圖象與x軸的交點情況，若0則與x軸有兩個交點，可由方程x2bxc=0求出若=0則與x軸有一個交點，可由方程x2bxc=0求出若0則與x軸有無交點。（4） 確定圖象與y軸的交點情況,令x=0得出y=c，所以交點坐標為（0，c）（5） 由以上各要素出草圖。練習：作出以下二次函數(shù)的草圖（1）(2)(3) 例2 某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少

37、元？此時每天的銷售利潤是多少？分析：由于每天的利潤日銷售量y(銷售價x120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤的最大值解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)ykx（B）將x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200設(shè)每天的利潤為z（元），則z(x+200)(x120)x2320x24000(x160)21600，當x160時，z取最大值1600答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元例3 把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平

38、移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)yx2的圖像，求b，c的值解法一：yx2bxc(x+)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的圖像，也就是函數(shù)yx2的圖像，所以， 解得b8，c14解法二：把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)yx2的圖像，等價于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)yx2bxc的圖像由于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y(x4)22的圖像，即為yx28x14的圖像，函數(shù)yx28x14與函數(shù)yx2bxc表示同一個函數(shù)，b8，c14說明：本例的兩種解法都

39、是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉(zhuǎn)化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點今后，我們在解題時，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題例4 已知函數(shù)yx2，2xa，其中a2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應的自變量x的值 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論解：（1）當a2時，函數(shù)yx2的圖象僅僅對應著一個點(2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x2；（2）當2a0時，由圖226可知，當x2時，函數(shù)取最大值y4；當xa時，函數(shù)取最小值ya2；（3）當0a2時，由圖226可知，當x2時，函數(shù)取最大值y4；當x0時，函數(shù)取最小值y0；（4）當a2時，由圖22