經(jīng)典雙曲線知識(shí)點(diǎn)

1、雙曲線：了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程；了解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。重點(diǎn)：雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì). 難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的漸進(jìn)線.知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.注意：1. 雙曲線的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來(lái)理解；2. 若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；3.

2、若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；4若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；5若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中.注意： 1只有當(dāng)雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí),才能得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 2在雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有； 3雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，即系數(shù)為正的項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上.當(dāng)?shù)南禂?shù)為正時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)?shù)南禂?shù)為正時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.知識(shí)點(diǎn)三：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何

3、性質(zhì)雙曲線（a0，b0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱(chēng)性：對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（a0，b0），把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時(shí)換成x、y，方程都不變，所以雙曲線（a0，b0）是以x軸、y軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)對(duì)稱(chēng)中心稱(chēng)為雙曲線的中心。（2）范圍：雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線x=a和x=a的兩側(cè)，是無(wú)限延伸的。因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x-a或xa。（3）頂點(diǎn)：雙曲線與它的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)稱(chēng)為雙曲線的頂點(diǎn)。雙曲線（a0，b0）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（a，0），A2（a，0），頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)。兩個(gè)頂點(diǎn)間

4、的線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)B1（0，b），B2（0，b）為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。注意：雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。 雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上。實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱(chēng)為等軸雙曲線。（4）離心率：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作。因?yàn)閏a0，所以雙曲線的離心率。由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開(kāi)口大小，越大，e也越大，雙曲線開(kāi)口就越開(kāi)闊。所以離心率可以用來(lái)表示雙曲線開(kāi)口的大小

5、程度。等軸雙曲線，所以離心率。（5）漸近線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2、A1作y軸的平行線x=a，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1、B2作x軸的平行線y=b，四條直線圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是。我們把直線叫做雙曲線的漸近線。注意：雙曲線與它的漸近線無(wú)限接近，但永不相交。知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線與的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距范圍，對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)軸實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)= 離心率準(zhǔn)線方程漸近線方程知識(shí)點(diǎn)五：雙曲線的漸近線：（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為注意：（1）已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。（2）已知漸近

6、線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可。（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為.知識(shí)點(diǎn)六：雙曲線圖像中線段的幾何特征： 雙曲線，如圖：（1）實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng),焦距，（2）離心率：；（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，；（4）中結(jié)合定義與余弦定理，將有關(guān)線段、和角結(jié)合起來(lái).1如何確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。2雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a、b、c的

7、幾何意義雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：ca，cb，且c2=b2+a2。3如何由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上。注意：對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上。4方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有

8、A、B異號(hào)，方程表示雙曲線。當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上。5求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類(lèi)型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。注意：若定義中“差的絕對(duì)值”中的絕對(duì)值去掉，點(diǎn)的集合成為雙曲線的一支，先確定方程類(lèi)型，再確定參數(shù)a、b，即先定型，再定量。若兩種類(lèi)型都有可能，則需分類(lèi)討論。6如何解決與焦點(diǎn)三角形PF1F2（P為雙曲線上的點(diǎn)）有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題？ 與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，常考慮到用雙曲線的定義

9、及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、，有關(guān)角結(jié)合起來(lái)，建立、之間的關(guān)系.7如何確定離心率e的取值情況與雙曲線形狀的關(guān)系？ ：離心率，因?yàn)閏2=a2+b2，用a、b表示為，當(dāng)e越大時(shí)，越大，即漸近線夾角（含x軸）越大，故開(kāi)口越大；反之，e越小，開(kāi)口越小。離心率反映了雙曲線開(kāi)口的大小，且e1。8橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系： 橢圓雙曲線根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a根據(jù)|MF1|MF2|=2aac0，a2c2=b2（b0）0ac，c2a2=b2（b0），（ab0），（a0，b0，a不一定大于b）標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：類(lèi)型一：雙曲線的定義1已知O1：(x+5)2+

10、y2=4，O2：(x5)2+y2=9（1）若動(dòng)圓P與1，2均內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P點(diǎn)的軌跡；（2）若動(dòng)圓Q與1，2均外切，求動(dòng)圓圓心Q點(diǎn)的軌跡。解析：（1）設(shè)P半徑為R， O1與O2相離， |PO1|=R2，|PO2|=R3 |PO1|PO2|=1，又|O1O2|=10由雙曲線的定義，P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)，2a=1，2c10的雙曲線的右支。（2）設(shè)Q半徑為r，則|QO1|=r+2，|QO2|=r+3 |QO2|QO1|=1，又|O1O2|=10 由雙曲線的定義，Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)，2a=1，2c10的雙曲線的左支。舉一反三：【變式1】已知定點(diǎn)F1(2,0)、F2(2,0)，平

11、面內(nèi)滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的是（ ）A|PF1|PF2|=3B|PF1|PF2|=4C|PF1|PF2|=5 D|PF1|2|PF2|2=4 【答案】A【變式2】已知點(diǎn)F1(0,13)、F2(0,13)，動(dòng)點(diǎn)P到F1與F2的距離之差的絕對(duì)值為26，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）Ay=0 By=0（x13或x13）Cx=0（|y|13）D以上都不對(duì)【答案】C【變式3】已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）A橢圓 B雙曲線中的一支 C兩條射線 D以上都不對(duì) 答案：B類(lèi)型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 2求與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解法一：依題意設(shè)雙曲線方程為=1由

12、已知得，又雙曲線過(guò)點(diǎn)， ：故所求雙曲線的方程為.解法二：依題意設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入，解得，所以雙曲線方程為.【變式1】求與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程?！敬鸢浮恳李}意設(shè)雙曲線方程為 由已知得，又雙曲線過(guò)點(diǎn)， 故所求雙曲線的方程為.【變式2】求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且頂點(diǎn)在軸，焦距為10，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】3已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2之間的距離為26，雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為24，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：由題意得2a=24，2c=26。a=12，c=13，b2=132122=25。當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線的方程為； 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在

13、y軸上時(shí)，雙曲線的方程為。總結(jié)升華：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是求a2、b2的值，同時(shí)還要確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸。雙曲線所在的坐標(biāo)軸，不像橢圓那樣看x2、y2的分母的大小，而是看x2、y2的系數(shù)的正負(fù)。【變式】求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且虛軸長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)的比為，焦距為10的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】由已知設(shè), ，則()依題意，解得.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線的方程為 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線的方程為.類(lèi)型三：雙曲線的幾何性質(zhì)4方程表示雙曲線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解析：由題意得或或。實(shí)數(shù)m的取值范圍為。總結(jié)升華：方程Ax2+By2=1表示雙曲線時(shí)，A、B異號(hào)?！咀兪?】k9是方程表示雙曲

14、線的（ ）A充分必要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分又不必要條件【答案】B【變式2】求雙曲線的焦距?！敬鸢浮?【變式3】已知雙曲線8kx2ky2=2的一個(gè)焦點(diǎn)為，則k的值等于（ ）A2 B1 C1 D【答案】C【變式4】（2011 湖南）設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為A4 B3 C2 D1【答案】C5已知雙曲線方程，求漸近線方程。（1）；（2）；（3）；（4）解析：（1）雙曲線的漸近線方程為：即（2）雙曲線的漸近線方程為： 即（3）雙曲線的漸近線方程為： 即（4）雙曲線的漸近線方程為：即總結(jié)升華：雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為即；若雙曲線的方程為（，焦點(diǎn)在軸上

15、，焦點(diǎn)在y軸上），則其漸近線方程為。【變式1】求下列雙曲線方程的漸近線方程。：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【變式2】中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的圓錐曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則它的漸近線方程為（ ）AB CD【答案】D6根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。（1)與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)；（2）一漸近線方程為，且雙曲線過(guò)點(diǎn)。解析：（1）解法一： 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為 由題意，得，解得， 所以雙曲線的方程為當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為 由題意，得，解得，（舍去） 綜上所得，雙曲線的方程為 解法二：設(shè)所求雙曲線方程為（），將點(diǎn)代入得，所以雙曲線方程為即（2）依題意知

16、雙曲線兩漸近線的方程是. 故設(shè)雙曲線方程為，點(diǎn)在雙曲線上， ，解得， 所求雙曲線方程為.總結(jié)升華：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求、，在解題過(guò)程中應(yīng)熟悉各元素（、及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用。若已知雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程為（）.【變式1】中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)在(0,3)，一條漸近線為的雙曲線方程是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】D【變式2】過(guò)點(diǎn)(2，-2)且與雙曲線有公共漸進(jìn)線的雙曲線是 ( )AB CD【答案】A 【變式3】以為漸近線的雙曲線方程不可能是（ ）A4x29y2=1 B9y24x2=1 C4x29y2=（R且0） D9x24y2=（R且0）【答案】D【變式4】雙曲線與有相同的（ ）A實(shí)軸 B焦點(diǎn) C漸近線 D以上都不對(duì) 【答案】C類(lèi)型四：雙曲線的離心率：7已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn),若是正三角形,求雙曲線的離心率。解析：，是正三角形， ，【變式1】已知雙曲線-=1與x軸正半軸交于A點(diǎn)，F(xiàn)是它的左焦點(diǎn)，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,b)，且ABBF，則雙曲線的離心率為（ ） A、 B、 C、 D、【答案】B 【變式2】 若橢圓的離心率為,則雙曲線的離心率為_(kāi)【答案】【變式3】 雙曲線的漸進(jìn)線方程,則雙曲線的離心率為_(kāi) 【答案】【變式