北師大版初中數(shù)學(xué)《直角三角形邊角關(guān)系》講義（初稿）

1、直角三角形邊角關(guān)系講義(初稿)一、 概念部分1、基本概念正弦：在rtabc（如圖），銳角a的對(duì)邊與斜邊的比叫做的正弦，記為，。余弦：在rtabc（如圖），銳角a的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記為，。正切：在rtabc（如圖），銳角a的對(duì)邊與鄰邊的比叫做的正切，記為，。余切：在rtabc（如圖），銳角a的鄰邊與對(duì)邊的比叫做的余切，記為，。2、巧記概念：按正弦、余弦、正切、余切的順序記八個(gè)字：對(duì)斜鄰斜對(duì)鄰鄰對(duì)。3、根據(jù)正弦、余弦、正切、余切的定義，在rtabc中，有sina=cosb，sinb=cosa ，tana=cotb，tanb=cota。4、正弦、余弦、正切的值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系：si

2、na的值越大，梯子越陡；cosa的值越小，梯子越陡；tana的值越大，梯子越陡。5、在rtabc中，a、b、c分別是、的對(duì)邊，那么， ， ， 可以變形為，或，等等，在解題中可以根據(jù)條件正確選用。6、注意：、在初中，正弦、余弦、正切、余切的定義都是在直角三角形中給出的，不能在任意三角形中套用定義。、sina、cosa、tana、cota分別表示正弦、余弦、正切、余切的數(shù)學(xué)表達(dá)符號(hào)，是一個(gè)整體，不能理解為sin與a、cos與a、tan與a、cot與a的乘積。sina、cosa、tana、cota是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示的正弦、余弦、正切、余切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“”，但當(dāng)角用三個(gè)大寫字母或數(shù)字

3、表示時(shí)，角的符號(hào)“”不能省略。例如：tana，tanabc，tan1 都是正確的。、正弦、余弦、正切、余切在直角三角形中它們分別表示對(duì)邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊、鄰邊與對(duì)邊的比值，所以它是沒(méi)有單位的，當(dāng)銳角a確定后，這些比值都是固定值。、求某個(gè)角的正弦、余弦、正切、余切函數(shù)值時(shí)，需把該角放入適當(dāng)?shù)闹苯侨切沃?，在某些非直角三角形的?wèn)題，通過(guò)作垂線轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)解決。、已知直角三角形一銳角的某三角函數(shù)值就知道了某兩邊的比值，設(shè)未知數(shù)可把3條邊都可用一個(gè)未知數(shù)表示出來(lái)，這樣就可以求出任何兩條邊的比值。例1：在abc中，ac=12，bc=5，（1）求ab的長(zhǎng)；（2）求sina、cosa、t

4、ana、cota的值；（3）求的值；（4）比較sina與cosb的大小，tana與cotb的大小。 變式練習(xí)：1、在rtabc中，a=,b=2,則sina= 。2、在rtabc中，如果bc=10，sinb=0.6，那么ac= 。例2、如圖，在abc中，ac=cb，ab=bd，求tand的值。變式練習(xí)：1、已知abc中，bd為ac邊上中線，求的值。例3、 如圖，在中，ad是bc邊上的高，。（1）求證：acbd（2）若，求ad的長(zhǎng)。分析：由于ad是bc邊上的高，則有和，這樣可以充分利用銳角三角函數(shù)的概念使問(wèn)題求解。解：（1）在中，有中，有（2）由可設(shè) 由勾股定理求得 即例4、如圖，已知中，求的面積

5、（用的三角函數(shù)及m表示）分析：要求的面積，由圖只需求出bc。解：由練習(xí)題：一、填空題：1、在abc中，a=4,b=3,則：sina= cosa= tana= cota= sinb= cosb= tanb= cotb= 。2、在rtabc中，已知a=4,c=5則sinb= sina= tana= 3、在abc中，若tanb=2，a=1,則b= 。4、abc中，cosa=0.8746，則sinb= 。5、rtabc中，tana=，則sinb= 。6、在abc中，ac邊上中線bd=5，ab+bc=14，則abc的面積為 .7、 rtabc中， tana=，ab=，則ac= ，bc= 。8、abc中，

6、ab=ac，abbc=21，則sin、= sinb= 。9、等腰三角形的腰長(zhǎng)為10cm，底邊為16cm，則它底角的正弦值是 .10、已知，如圖，在abc中，tanb=bc=，則ab的長(zhǎng)為 。二、選擇題1、在abc中，c=3,b=2，則cosa的值為（ ）a、 b、 c、 d、2、在abc中，ab=13，sina=，則bc=（ ）a、1 b、12 c、5 d、以上都不對(duì)3、在abc中，a、b、c分別是、的對(duì)邊，則（ ）a、 b、 c、 d、4、在abc中，且cosa=，則sinb=（ ）a、 b、 c、 d、5、在abc中，若c=3b ，則cosa等于（）a、 b、 c、 d、6、在rtabc中

7、，如果各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大2倍，那么銳角a的四個(gè)三角函數(shù)值（ ）。a、沒(méi)有變化 b、都縮小2倍 c、都擴(kuò)大2倍 d、不能確定如何變化三、解答題：1、已知： ，為銳角，求的其它三角函數(shù)。2、已知一個(gè)三角形的三邊的比為7：24：25，求最小角的正弦、正切值。3、已知：如圖431，在矩形abcd中，beac于e，ab=3，bc=4，cbe=，求的四個(gè)三角函數(shù)值.4、已知：如圖432，在rtabc中，d是bc中點(diǎn)，deab于e，tanb=，ae=7，求de、bc的長(zhǎng).二、特殊角的三角函數(shù)值1、 初中階段說(shuō)的特殊角指的是五個(gè)特殊角度。2、 規(guī)定，。，沒(méi)有意義（或說(shuō)不存在）。3、三角函數(shù)011001不存在不存

8、在104、從上表中明確sin、cos、tan、cot隨角的變化而變化的規(guī)律：當(dāng)角逐漸增大時(shí)，sin、tan逐漸增大， cos、cot逐漸減小。練習(xí)題：一、 選擇題1、的值等于（ ）a、 b、 c、 d、2、abc中，若，則c的度數(shù)是（ ）a、 b、 c、 d、3、abc中，設(shè)，則此三角形為（ ）a、銳角三角形 b、直角三角形 c、鈍角三角形 d、銳角三角形或鈍角三角形4、abc中，設(shè)，則abc為（ ）a、等腰三角形 b、直角三角形 c、等邊三角形 d、等腰直角三角形5、等腰abc中，ab=ac，高ad=3，則ab+bc+ac等于（ ）a、18 b、 c、 d、6、已知，則銳角a為（ ）a、 b

9、、 c、或 d、或二、填空：1、已知，且為銳角，則（ ）。2、若，則銳角的補(bǔ)角是（ ）。3、在abc中，若，則=（ ）。4、在abc中，若，則面積=（ ）。5、在abc中，若，則=（ ）。三、計(jì)算：1、(2cos600-)2、 2+ 2sin60 3、4、5、6、7、已知，求銳角。8、求適合等式的銳角。9、在abc中，設(shè)均為銳角，且，試判斷abc的形狀。三、規(guī)律與公式：1、 三角函數(shù)定義：正弦：， 余弦：， 正切：，余切：。2、 由銳角的三角函數(shù)定義可知：、 0 1 ， 0 1 。、；、， ，。、，。利用上面的結(jié)論計(jì)算：（1）、（ ），（ ）。（2）、若，求的值。（3）、若，求的值。（4）、已

10、知：，則的值。（5）、= 。（6）、已知，且為銳角，則=（ ）。、誘導(dǎo)公式：； 例、 已知為銳角，下列結(jié)論：；如果，那么； 如果，那么；正確的有（ ）a. 1個(gè)b. 2個(gè)c. 3個(gè)d. 4個(gè)分析：利用三角函數(shù)的增減性和有界性即可求解。解：由于為銳角知不成立；當(dāng)時(shí)，有，即正確當(dāng)時(shí)，即成立； 又，即正確。即成立，故應(yīng)選c。練習(xí)題：1、如果tan=, 那么cossin的值是（）(a) (b) (c) (d) 2、已知sincos=m, 則sincos=( )(a) m21 (b) (c) (d) 3、設(shè)，則（ ）a、 b、 c、 d、4、已知為銳角，且，那么（ ）a、 b、 c、 d、5、已知，則

11、。6、已知+=，若，則 。7、若，則= 。8、已知是銳角，則=_ 度。9、不查表，比較大小，若，則, 若，則。10、 在中，且和的值是方程的兩個(gè)根，則_11、 在中， ，= .12、 中，則 。13、 已知=_.14、已知：sincos=，求下列各三角函數(shù)式的值：、；、；、；四、三角函數(shù)的應(yīng)用概念：四角一度1、 仰角：當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角。2、 俯角：當(dāng)從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角。3、 方向角：目標(biāo)方向線與指南或指北的方向所成的銳角城為方向角。4、 坡角：坡面與水平方向所成的銳角，稱為坡角。5、 坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度的比

12、稱為坡度（或坡比）。即為坡角的正切。三角函數(shù)應(yīng)用題解題主要步驟：1、 審題標(biāo)角2、 酌情擦圖3、 小心分角4、 仔細(xì)標(biāo)注5、 巧列方程6、 破解方程7、 檢驗(yàn)作答例1、 如圖，沿ac方向開(kāi)山修路，為了加快施工速度，要在小山的另一邊同時(shí)施工。從ac上的一點(diǎn)b，取米，。要使a、c、e成一直線，那么開(kāi)挖點(diǎn)e離點(diǎn)d的距離是（ ）a. 米b. 米c. 米d. 米分析：在中可用三角函數(shù)求得de長(zhǎng)。解：a、c、e成一直線 在中， 米，米，故應(yīng)選b。例2、 人民海關(guān)緝私巡邏艇在東海海域執(zhí)行巡邏任務(wù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)在其所處位置o點(diǎn)的正北方向10海里處的a點(diǎn)有一涉嫌走私船只正以24海里/小時(shí)的速度向正東方向航行。為迅速實(shí)

13、驗(yàn)檢查，巡邏艇調(diào)整好航向，以26海里/小時(shí)的速度追趕，在涉嫌船只不改變航向和航速的前提下，問(wèn)（1）需要幾小時(shí)才能追上？（點(diǎn)b為追上時(shí)的位置）（2）確定巡邏艇的追趕方向（精確到）（如圖）參考數(shù)據(jù)：分析：（1）由圖可知是直角三角形，于是由勾股定理可求。（2）利用三角函數(shù)的概念即求。解：設(shè)需要t小時(shí)才能追上，則（1）在中，則（負(fù)值舍去）故需要1小時(shí)才能追上。（2）在中 即巡邏艇沿北偏東方向追趕。例3、 如圖，山上有一座鐵塔，山腳下有一矩形建筑物abcd，且建筑物周圍沒(méi)有平整地帶，該建筑物頂端寬度ad和高度dc都可直接測(cè)得，從a、d、c三點(diǎn)可看到塔頂端h，可供使用的測(cè)量工具有皮尺，測(cè)傾器。（1）請(qǐng)你根

14、據(jù)現(xiàn)有條件，充分利用矩形建筑物，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量塔頂端到地面高度hg的方案，具體要求如下：測(cè)量數(shù)據(jù)盡可能少；在所給圖形上，畫出你設(shè)計(jì)的測(cè)量平面圖，并將應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖形上（如果測(cè)a、d間距離，用m表示；如果測(cè)d、c間距離，用n表示；如果測(cè)角，用等表示，測(cè)傾器高度不計(jì)）。（2）根據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算塔頂端到地面的高度hg（用字母表示）。分析：本題實(shí)際是一道圖形設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)的測(cè)量計(jì)算，依題意可有幾種方案。如測(cè)三個(gè)數(shù)據(jù)、測(cè)四個(gè)數(shù)據(jù)、測(cè)五個(gè)數(shù)據(jù)等。但又要使測(cè)得的數(shù)據(jù)盡可能少，于是以三個(gè)數(shù)據(jù)為例。解：如圖所標(biāo)（1）測(cè)三個(gè)數(shù)據(jù)。（2）設(shè) 在中，在中，即課堂練習(xí)：1、（2004貴陽(yáng)）某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻?/p>

15、居民樓（如圖），該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房.在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓.當(dāng)冬季正午的陽(yáng)光與水平線的夾角為32時(shí).（1）問(wèn)超市以上的居民住房采光是否有影響，為什么？（2）若要使超市采光不受影響，兩樓應(yīng)相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin32，cos32，tan32）2、（2004?？冢┬蹅延^的“千年塔”屹立在?？谑形骱０稁罟珗@的“熱帶海洋世界”.在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，為了測(cè)量這座“千年塔”的高度，雯雯在離塔底139米的c處 c與塔底b在同一水平線上），用高1.4米的測(cè)角儀cd測(cè)得塔頂a的仰角=43（如圖），求這座“千年塔”的高度ab（結(jié)果精確

16、到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：tan430.9325，cot431.0724）3、（2004重慶）如圖，點(diǎn)a是一個(gè)半徑為300米的圓形森林公園的中心，在森林公園附近有b、c兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在b、c兩村莊之間修一條長(zhǎng)為1000米的筆直公路將兩村連通.經(jīng)測(cè)得abc=45，acb=30，問(wèn)此公路是否會(huì)穿過(guò)該森林公園？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明. 30練習(xí)題：1（2004深圳）如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面5米處折斷倒下，倒下部分與地面成30夾角，這棵大樹(shù)在折斷前的高度為abcde(圖1)a10米 b15米 c25米 d30米2（2005徐州）(a類)如圖1，在與旗桿ab相距20米的c處，用高1.20米的測(cè)角

17、儀測(cè)得旗桿頂端b的仰角=30.求旗桿ab的高(精確到0.1米).(b類)如圖2，在c處用高1.20米的測(cè)角儀測(cè)得塔ab頂端b的仰角=30，向塔的方向前進(jìn)20米到e處，又測(cè)得塔頂端b的仰角=45.求塔ab的高(精確到0.1米).abcdefg(圖2)我選做_類題，解答如下：圖13、（2007浙江杭州）如圖，在高樓前點(diǎn)測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，向高樓前進(jìn)60米到點(diǎn)，又測(cè)得仰角為，則該高樓的高度大約為（ ）aa.82米 b.163米 c.52米 d.70米abcd跨度中柱4、（2004大連）如圖，某校自行車棚的人字架棚頂為等腰三角形，d是ab的中點(diǎn)，中柱cd=1米，a=27，求跨度ab的長(zhǎng)(精確到0.01米

18、)。dacb5、（2005深圳）大樓ad的高為10米，遠(yuǎn)處有一塔bc，某人在樓底a處測(cè)得踏頂b處的仰角為60，爬到樓頂d點(diǎn)測(cè)得塔頂b點(diǎn)的仰角為30，求塔bc的高度。0.5m3m6、（2005連云港）如圖所示，秋千鏈子的長(zhǎng)度為3m，靜止時(shí)的秋千踏板（大小忽略不計(jì)）距地面0.5m秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，若最大擺角（擺角指秋千鏈子與鉛垂線的夾角）約為，則秋千踏板與地面的最大距離約為多少？(參考數(shù)據(jù)：0.8,0.6)7、（2007山東青島）一艘輪船自西向東航行，在a處測(cè)得東偏北21.3方向有一座小島c，繼續(xù)向東航行60海里到達(dá)b處，測(cè)得小島c此時(shí)在輪船的東偏北63.5方向上之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距

19、離小島c最近？（參考數(shù)據(jù)：sin21.3，tan21.3， sin63.5，tan63.52）36abd4530c(第20題圖)8、(2007年昆明市)如圖，ab和cd是同一地面上的兩座相距36米的樓房，在樓ab的樓頂a點(diǎn)測(cè)得樓cd的樓頂c的仰角為45，樓底d的俯角為30求樓cd的高(結(jié)果保留根號(hào))9、（2007年云南省）已知：如圖，在abc中，b = 45，c = 60，ab = 6求bc的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)).10、（2005鹽城）我邊防戰(zhàn)士在海拔高度（即cd的長(zhǎng)）為50米的小島頂部d處執(zhí)行任務(wù)，上午8時(shí)發(fā)現(xiàn)在海面上的a處有一艘船，此時(shí)測(cè)得該船的俯角為30，該船沿著ac方向航行一段時(shí)間后到達(dá)b處，又測(cè)得該船的俯角為45，求該船在這一段時(shí)間內(nèi)的航程（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）11、（2005海淀區(qū)）