第38煉 向量的數量積——數量積的投影定義(含數量積綜合練習題)

1、第 38 煉 向量的數量積數量積的投影定義一、基礎知識1、向量的投影：（1）有向線段的值：設有一軸l ， ab 是軸上的有向線段，如果實數l 滿足 l = ab ，且當ab與軸同向時，l0，當ab與軸反向時，l0 ，所以 l=b cos q（2）當 q為銳角時，l = b cos(p-q)=-bcosq，因為 l0 ，所以 -l=-bcosq即l=b cosq（3）當q為直角時，l=0，而cosq=0，所以也符合l=b cosq( )( ) 2綜上可得：a在b上的投影l(fā)=b cosq，即被投影向量的模乘以兩向量的夾角4、數量積與投影的關系（數量積的幾何定義）：向 量 a , b 數 量 積 公

2、 式 為a b= a b cosq， 可 變 形 為a b = a bc o qs)或a b=b a cos q ，進而與向量投影找到聯系（1）數量積的投影定義：向量a , b的數量積等于其中一個向量的模長乘以另一個向量在該向量上的投影，即a b=b l（記l為 a 在 b 上的投影）a ba b（2）投影的計算公式：由數量積的投影定義出發(fā)可知投影也可利用數量積和模長進行求解：la b=a ba即數量積除以被投影向量的模長5、數量積投影定義的適用范圍：作為數量積的幾何定義，通常適用于處理幾何圖形中的向 量問題（1）圖形中出現與所求數量積相關的垂直條件，尤其是垂足確定的情況下（此時便于確定投影）

3、，例如：直角三角形，菱形對角線，三角形的外心（外心到三邊投影為三邊中點）（2）從模長角度出發(fā)，在求數量積的范圍中，如果所求數量積中的向量中有一個模長是定 值，則可以考慮利用投影，從而將問題轉化為尋找投影最大最小的問題二、典型例題：例 1：已知向量 a , b滿足a =3, b =2 3，且a (a+b)，則b在a方向上的投影為（ ）a3 b-3. c-3 3 3 3d2 2思路：考慮 b 在 a 上的投影為a ba，所以只需求出 a b即可。由a a +b可得：a a +b =a +a b=0，所以a b=-9。進而a b -9 3 3 = =-b 2 3 2答案：c小煉有話說：本題主要應用投

4、影的計算公式，注意在哪個向量投影，便用數量積除以該向量 的模長221( )( ) ( )例 2：如圖，在abc中，ab =bc =4, abc =30，ad是邊bc上的高，則ad ac的值等于（ ）a0 b4 c8 d-4思 路 ： 由 圖 中 垂 直 可 得： ac 在 ad 上 的 投 影 為 ad ， 所 以ad ac = ad， 只 需 求 出 abc 的 高 即 可 。 由 已 知 可 得ad = ab sin abc= 2，所以 答案：bad ac = ad =4例 3 ： 兩 個 半 徑 分 別 為r , r1 2的 圓m , n, 公 共 弦ab長 為 3 ， 如 圖 所 示

5、， 則a m a b+ a n a b=_.思路： ab 為兩個圓的公共弦，從而圓心 m , n 到弦 ab 的投影為ab的中點，進而am , an在ab上的投影能夠確定，所以考慮計算am ab和an ab時可利用向量的投影定義。解：取 ab 中點 t ，連結 mt , nt ，由圓的性質可得：mt ab, nt ab am ab = at ab =1 2 9 1 2 9 ab = an ab = at ab = ab =2 2 2 2 am ab +an ab =9例 4：如圖， o 為 abc 的外心， ab =4, ac =2, bac 為鈍角， m 是邊 bc 的中點，則am ao的值

6、為（ ）a. 4 b.5c.6d.7思路：外心o在ab, ac上的投影恰好為它們的中點，分別設為p , q，所以ao在ab, ac上的投影為ap =1 1 ab , aq = ac2 2，而m恰好為bc中點，故考慮am = ab +ac ，所以 21 1 1 1 2 1 2 am ao = ab +ac ao = ab ao +ac ao = ab + ac =5 2 2 2 2 2 答案：b小煉有話說：題目中遇到外心時，要注意外心的性質，即到各邊的投影為各邊的中點，進而 在求數量積時可聯想到投影法。( )oa oc(2 2 2例 5：若過點p (1,1)的直線l與o : x2 +y 2=4

7、相交于 a, b 兩點，則 oa ob 的取值范圍是_思路：本題中因為 oa, ob 位置不斷變化，所以不易用數量積定義求解，可考慮利用投影，即過b作直線oa的垂線，垂 足 為d， 通 過 旋 轉ab可 發(fā) 現 ， 當ob oa時 ，oa ob =0，ab位于其他位置時，d點始終位于oa的反向延長線上，oa ob =-oa od ，故 oa ob 0 ，故 oa ob=0，下面尋找max最小值，即do的最大值，可得當b在oa上的投影與c重合時，da最大，即為ac，此時直線op即為直線ab 。所以 (oaob)=-oa od =-oa oc =-r2=-4。min進而oa ob的范圍是-4,0答

8、案：-4,0例 6：已知oa =1, ob =3，且oa, ob的夾角為150，點c是aob的外接圓上優(yōu)弧ab上的一個動點，則oa oc的最大值是_思路：題中 oa 的模長為定值，考慮 oa oc 即為 oa 乘以 oc在oa上的投影，從而oa oc的最大值只需尋找投影的大小，觀 察 圖 形 可 得 只 有 當 mc 與 oa 同 向 時 ， 投 影 最 大 。 即( )max= oa od ，只需計算 od 的模長即可解：當mc與oa同向時，oc在oa上的投影最大 oa oc)max= oa od在aob中，ab = oa +ob -2 oa ob cos aob =7 ab = 7ab 7

9、 2r = = =2 7sin aob 1即r =721( )a m a n1am an=am ac = ad +dm ad +dc = ad + dc ad +dc2=ad +2 1 2 31 1 od = on + nd = oa +r = + 72 2 oa oc = oa od = + 7max 2答案：12+ 7例 7：如圖，菱形abcd的邊長為2, a =60 , m為dc中點，若n為菱形內任意一點（含邊界），則am an的最大值為（ ）a.3b.2 3c.6d.9思路：在所給菱形中am方向大小確定，在求數量積時可想到投影定義，即am乘以an在am上的投影，所以am an的最大值只

10、需要尋找 an 在 am 上的投影的最大值即可，而 a 點也確定，所以只需在菱形內部和邊界尋找在am投 影 距 離 a 最 遠 的 ， 結 合 圖 像 可 發(fā) 現 c 的 投 影 距 離 a 最 遠 ， 所 以( )=a m，a再c由ad , dc表示后進行數量積運算即可m a x解：( ) ( )( ) ( ) max dc + ad dc =92 2答案：9小煉有話說：（1）從例 7 也可以看出投影計算數量積的一個妙用，即在求數量積最值時，如果其中一個向量位置確定，那么只需看另一向量在該向量處的投影即可，這種方法往往能夠迅速找到取 得最值的情況（2）在找到取到最值的n點位置后，發(fā)現利用投影

11、計算數量積并不方便（投影，am不便于計算），則要靈活利用其他方法把數量積計算出來（尋求基底，建系等）。正所謂：尋找 最值用投影，而計算時卻有更多方法供選擇。2例 8：如圖，在等腰直角abc中，ac =bc =2，點m , n分別是ab, bc的中點，p點是abc內（包括邊界）任一點，則an mp的取值范圍是_思路：因為p點為abc內任一點，所以很難用定義表示出an mp，考慮利用投影定義。由 an 長為定值，可得an mp為an乘以mp在an上的投影，所以只需找到投影的范圍即可。如圖，過 m 作 an 的垂線，則 m 點的投影為f，當 p 在 b 點時， mp 在 an 上的投影最大且為線段

12、fe 的長，當 p 在 a 點時， mp 在 an 上的投影最小，為 - af ，分別計算相關模長即可。在圖中有條件可得：an =5, cn = bn =1 be ae，所以可得：rt acn rt ben，則an ne= ne =cn bn55，所以6ae = an + ne = 55，由fmbe，m為中點可得：f為ae中點，從而mb , ma在an方向上的投影分別為3 35, - 55 5，由an = 5,即可求得an mp的范圍為-3,3答案：-3,3例 9 ： 已 知m為 直 角 三 角 形abc的 外 接 圓 ，ob是 斜 邊ac上 的 高 ， 且ac =6, ob =2 2 ， a

13、o 0)bi ba，則 的值為（ ） baac ba.2b.4c.3d.5思 路 ： 從 條 件 上 判 斷 很 難 用 代 數 方 式 求 解 ， 所 以 考 慮 作 圖 觀 察 幾 何 特 點 ， 則pa -pb = ab =10。由pa pcpa=pb pcpb及所求bi baba可想到投影與數量積的關系 ， 即pc在pa, pb上 的 投 影 相 等 ， 即 可 得 到pc平 分apb。 再 分 析 b i = b a+l + (l0)a c a p a il=a c a p+ ， 且 a c a pa c+a ca p為a pac , ap的單位向量，由平行四邊形性質可得和向量平分p

14、pac，而ai與和向量共線，從而ai平分pac，由此d可得i為apb的內心，作出內切圓。所求bi baba也可視ieac f b為 bi 在 ba 上的投影，即 bf ，由內切圓性質可得：pd = pead = afbf = be，所以pa - pb = pd + ad - be + pe = af - bf =4，且有af + bf = ab =10，可解得bi baba= bf =3答案：c小煉有話說：本題用到向量運算中的兩個幾何意義，從而將表達式與圖形特征聯系起來：一個是向量投影的定義；一個是兩個模長相等向量（如單位向量）的和平分向量夾角。2三、歷年好題精選（數量積三種求法綜合）1、如圖

15、：在平行四邊形 abcd 中，已知 ab ad的值是 .ab =8, ad =5 ， cp =3 pd , ap bp =2，則2、已知o的半徑為 1，四邊形abcd為其內接正方形，ef為o的一條直徑，m為正方形abcd邊界上一動點，則me mf的最小值為_3、已知點m是邊長為 2 的正方形abcd的內切圓內（含邊界)的一動點，則ma mb的取值范圍是（ ）a.-1,0b.-1,2c.-1,3d.-1,44、已知p, m , n是單位圓上互不相同的三個點,且滿 足pm = pn，則pm pn的最小值為（ ）a-1 1 3b - c -4 2 4d-15、如圖， a, b 是半徑為 1 的圓 o

16、 上兩點，且 aob =p3，若點bc是圓o上任意一點，則oa bc的取值范圍是_ca6、（2015，福建文）設a =(1,2),b=(1,1),c=a+kb，若b c，o則實數k的值等于（ ）a.-3 5 5 3b. - c. d.2 3 3 27 、（2015 ，天津）在等腰梯形 abcd 中, 已知 ab / / dc , ab =2, bc =1, abc =60,動點e和f分別在線段bc和dc上, 且 ,be =lbc , df =19ldc ,則ae af的最小值為 _d fce8、（2015，山東）已知菱形 abcd 的邊長為 a, abc =60 bd cd =則（ ），aba

17、.3- a22b.3- a42c.3 3a d.4 2a29 、（2015，福建）已知1ab ac , ab = , ac =t ，若 p 點是 abc 所在平面內一點，t且ap =abab+4 acac，則pb pc的最大值等于（ ）a.13b.15c.19d.2110、（2016，無錫聯考）如圖，已知正方形 abcd 的邊長為 2，點 e 為 ab 的中點以 a 為圓心，ae為半徑，作弧交ad于點f若p為劣弧ef上的動點，則 pc pd 的最小值為_11 、（ 2016 ，南京金陵中學期中）如圖，梯形abcd中，abcd, ab =6, ad =dc =2 ， 若 ac bd =-12，

18、則ad bc =_12、已知圓 o 的直徑為 bc ，點 a 是圓周上異于 b, c 的一點，且ab ac =1，若點p是圓o所在平面內一點，且ap =abab+9acac，則pb pc的最大值為（ ）a.2 3b.9c.76d.8113、如圖，在半徑為 1 的扇形aob中，aob =60 , c為弧上的動點，ab與oc交于點p，則op bp最小值是_14、如圖，已知圓m : (x-4)2+(y-4)2=4，四邊形abcd為圓 m 的內接正方形， e , f 分別為邊 ab, ad 的中點，當正方形ydfcmbabcd 繞 m 圓心轉動時， me of 的取值范圍是（ ）aea.-8 2,8

19、2 b. -8,8c. -4,4 d. -4 2,4 2 ox15、在直角梯形abcd中，abcd，bad =p2，且ab =ad =12cd =1，m是ab的中點，且bn =2 nd ，則 cm an 的值為（ ）a.5 5 7 7b. - c. d. -4 4 6 616 、如圖，在平行四邊形abcd中，ab =2, ad =1,a =p3，點m在ab邊上，且1am = ab ，則 dm db = 3（ ）a.-3 3b.2 2c.-1d.11 3 2 1 31( ) 習題答案：1、答案：22解析：ap =ad +dp =ad +1 3 3 ab ， bp =bc +cp =bc + cd

20、 =ad - ab4 4 4，所以ap bp =( ad +ab ) (ad - ab) =ad - ad ab - ab 4 4 2 162，即2 =25 -1 3ad ab - 64 ，解得 ad ab =22 2 162、答案：-12解析：以ef為坐標軸建系，則e (-1,0),f(1,0)，設m(x,y) me =(-1-x.-y),mf =(1-x.-y) me mf =x 2 +y 2 -1，所以me mf的最小值只需找到x 2 +y 2的最小值即正方形邊上的點到原點距離的最小值，數形結合可得： me mf =-min 2(x2+y2)min=123、答案：c解析：考慮如圖建立坐標

21、系，可得：a (-1,-1),b(1,-1) m (rcosq,r sin q),q0,2p),0r1設，則，內切圓方程為：x 2 +y 2 =1，故ma =(-1-rcosq,-1-r sinq),mb =(1-rcosq,-1-r sinq)ma mb =r2cos2q-1+(1+rsinq)2=r2+2 r sinq設f(q)=2rsinq+r2，可得f (q)r2-2r,r2 +2 r ，再由0 r 1可得：r 2 -2r -1,0,r2+2r0,3，所以ma mb -1,34、答案：b解析：設p (1,0)m(cosq,sinq)，則由pm = pn可得：n (cosq,-sinq) pm =(cosq-1,sin q),pn =(cosq-1,-sinq)，其中0 q0)，以a為原點，ab, ac所在直線為軸建系，可得 1 ab ac b t ,0 , c 0, ，且 , t ab ac為ab , ac的單位向量，則坐標分別為(1,0),(0,1)，所以ap=abab+9acac=(1,0)+9(0,1)=(1,9)，即p(1,9)， 可 得