平面的法向量[基礎(chǔ)資料]

1、3.2.2 平面的法向量與平面的向量表示,1,蒼松優(yōu)選,已知平面，如果向量 的基線與平面垂直，則向量 叫做平面的法向量或說(shuō)向量 與平面正交。,由平面法向量的定義可知，平面的一個(gè)法向量垂直于與平面共面的所有向量。 由于同時(shí)垂直于同一平面的兩條直線平行，可以推知，一個(gè)平面的所有法向量互相平行。 由平面法向量的性質(zhì)，很容易通過(guò)向量運(yùn)算證明直線與平面垂直的判定定理。,2,蒼松優(yōu)選,直線與平面垂直的判定定理,如果一條直線和平面的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。,已知: a、b是平面內(nèi)的兩條相交直線，且直線na，nb， 求證：n.,3,蒼松優(yōu)選,4,蒼松優(yōu)選,5,蒼松優(yōu)選,6,蒼松優(yōu)選,由直

2、線與平面垂直的判定定理，就可以推知，在平面AM1M2內(nèi)的任一點(diǎn)M都滿足條件式， 又知滿足條件的所有點(diǎn)M都在平面AM1M2內(nèi)。 這就說(shuō)明，我們可以用式表述通過(guò)空間內(nèi)一點(diǎn)并且與一個(gè)向量垂直的平面。式通常稱為一個(gè)平面的向量表示式。,7,蒼松優(yōu)選,8,蒼松優(yōu)選,例1.設(shè) 分別是平面,的法向量,根據(jù)下列條件,判斷,的位置關(guān)系.,垂直,平行,相交,9,蒼松優(yōu)選,例2、設(shè)平面的法向量為(1, 2, 2),平面的法向量為(2, 4, k), 若/，則k= ； 若, 則 k= 。,4,5,10,蒼松優(yōu)選,1、已知l/，且l的方向向量為(2, m, 1)，平面的法向量為(1, , 2), 則m= .,8,2、已知

3、l，且l的方向向量為(2, 1, m),平面的法向量為(1, , 2), 則m= .,4,練 習(xí),11,蒼松優(yōu)選,例3已知點(diǎn)A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc0，如圖，求平面ABC的一個(gè)法向量。,=(bc，ac，ab),12,蒼松優(yōu)選,例4已知：AB，AC分別是平面的垂線和斜線，BC是AC在內(nèi)的射影，l 且lBC，求證：lAC.,三垂線定理,13,蒼松優(yōu)選,14,蒼松優(yōu)選,三垂線定理: 如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它和這條斜線垂直。 類似地可以證明 三垂線定理的逆定理： 如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它和這條斜

4、線在平面內(nèi)的射影垂直。,15,蒼松優(yōu)選,1已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)M(1, 1, 2)，平面的一個(gè)法向量是 (6,3, 6)，則下列點(diǎn)P中在平面內(nèi)的是() AP(2, 3, 3) BP(2, 0, 1) CP(4, 4, 0) DP(3,3, 4),A,16,蒼松優(yōu)選,2正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為() A75B60 C45 D30,C,17,蒼松優(yōu)選,3正四棱錐SABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SOOD，則直線BC與平面PAC所成的角是_,30,18,蒼松優(yōu)選,D,19,蒼松優(yōu)選,20,蒼松優(yōu)選,21,蒼松優(yōu)選,22,蒼松優(yōu)選,7在正方體ABCDA1B1C1D1中, E, F分別是BB1, CD中點(diǎn)，求證：D1F平面ADE.,23,蒼松優(yōu)選,24,蒼松優(yōu)選,8如圖，在底面是菱形的四棱錐PAB CD中, ABC=60,PA=AC=a, PB=PD= a, 點(diǎn)E在