立體幾何專題復習講義資料

1、1平行關系例題講解: 例1 :已知四面體 ABCD中，M、N分別是 ABC和厶ACD的重心，求證:MN /平面ABD;(2)BD /平面 CMN。答案與提示：連 CM、CN分別交AB、AD于E、F，連EF，易證MN / EF / BD例2.已知邊長為10的等邊三角形 ABC的頂點A在平面a內，頂點B、C在平面a的上方，BD為AC邊上的中線，B、C到平面a的距離BBi=2 , CCi=4.(1) 求證：BB1 /平面ACC1(2) 求證：BD丄平面 ACC1(3) 求四棱錐 A-BCC1B1的體積答案與提示：(3) 30 ；7例3已知FA丄平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，M、N分別是AB、P

2、C的中點.(1) 求證：MN /平面RAD ;(2) 求證：MN丄CD ;(3) 若平面PCD與平面ABCD所成二面角為 公垂線答案與提示：(3) 45備用題D、E分別為BC、AC的中點，設如圖，在三棱錐 P-ABC中，FA丄面 ABC, ABC為正三角形,AB=2FA=2,(1) 如何在BC上找一點F，使AD /平面PEF ?說明理由;(2) 對于(1)中的點F，求二面角 P-EF-A的大??；答案與提示：(1) F為CD中點(2) arctan2作業(yè)1在正四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，AAi=2AB,點E、M分別為AiB、CiC的中點，過Ai,B,M三點的平面交CiDi于點N。(1)

3、 求證：EM /平面 ABCD ;(2) 求二面角B-AiN-Bi的正切值。答案與提示：(2) arctan542垂直關系例題講解：D為AB的中點.例i :如圖，在三棱錐 p-abc中，ab=bc=ca, pa丄底面abc ,(1) 求證：cd丄PB;i,求三棱錐p-abc的體積.(2) 設二面角A-PB-C的平面角為a,且tan a=7，若底面邊長為答案與提示：(2) 18D B例2：已知ABCD A1b1C1D1是棱長為a的正方體，E、F分別是棱AA1和CC1的中點，G是A1C1的中點.(1) 求證平面 bfd1e平面bgd1 ；(2) 求點G到平面BFDiE的距離； 求四棱錐a1-bfd

4、1e的體積.答案與提示：(2)a36 6例 3：四邊形 ABCD 中.ad / BC, AD=AB，/ BCD=45 / BAD=90 將厶ABD 沿對角線 BD 折 起，記折起點 A的位置為P,且使平面PBD丄平面BCD .(1) 求證：cd丄平面pbd ；求證：平面 pbc丄平面pdc ；求二面角p bc d的大小.答案與提示：(2)先證PB丄面PCD (3)arctan 2備用題在三棱錐 SABC 中，已知 SA=4, AB=AC, BC=3 ,6，/SAB= / SAC=45,SA與底面 ABC 所的角為求證：SA丄BC;(2) 求二面角S BCA的大小；(3) 求三棱錐S ABC的體

5、積.2答案與提示：arctan 3 (3)9 .23作業(yè)1.在四棱錐 P-ABCD 中，已知 PD丄底面 ABCD，底面 ABCD為等腰梯形，且/ DAB =60 AB=2CD , / DCP=45 ,設 CD=a.(1) 求四棱錐P-ABCD的體積. 求證：AD丄PB.答案與提示：早a34BCD=90 / CBD=30 A2.如圖，正三角形 ABC與直角三角形 BCD成直二面角，且/(1) 求證：AB丄CD ;(2) 求二面角 D AB C的大??；2答案與提示：(2)arcta n&33 空間角例1、如圖1,設ABC-A1B1Ci是直三棱柱，F是A1B1的中點，且卜 _:-：-BiEl(1)

6、求證：AF丄A1C;(2)求二面角 C-AF-B的大小.解：(1)如圖2,設E是AB的中點，連接 CE, EA1 .由ABC-A1B1C1是直三棱柱，知 AA1丄平面ABC，而 CE 平面 ABC，所以 CE丄 AA1 , AB=2AA1=2a, a AA1=a, AA1 丄 AE, 知 AAE 是正方形，從而 AF 丄 A1 E.而 AjE 是 A1 C 在平 面AAjFE上的射影，故AF丄A1C;C-AF-B的平面角. AA1FE是正方形，AA1 =a,A EG -E 邁 a2 2, a CG2a2 丄 a22a tan/CGE= CGEG6a _2、3 , / CGE = 60、2a2從

7、而 二面角C-AF-B的大小為60。例2、 一條長為A、B兩點分別作兩平面交線的垂線2的線段夾在互相垂直的兩個平面、之間，AB與 成45角，與 成30角，過AC、BD，求平面 ABD與平面 ABC所成的二面角的大小.以CD為軸，將平ci 1面BCD旋轉至與 平面ACD共面45iff T V M*CL3(FB以AB為軸，將平面ABD旋轉至與 平面ABC共面V 211A-E1 45(2)設G是AB1與A1E的中點，連接CG 因為CE丄平面AA1B1B,AF丄A1E,由三垂線定理，CG丄AF , 所以/ CGE就是二面角解法1、角D AB C的平面角.過D點作DE丄AB于E，過E作EF丄AB交BC于

8、F(圖1)，連結DF，則/ DEF即為二面為計算 DEF各邊的長，我們不妨畫出兩個有關的移出圖.在圖2中，可計算得DE = 1, EF = 1 ,BEBF = COS3002.在移出圖3中,3BDBC20 3 ,在厶BDF中，由余弦定理:cosB=、3 BF cosB= 2222 =333DF 2= BD 2+ BF 2-2BD=(2)2+ ( 2 )2 - 2(注：其實，由于 AB丄DE, AB丄EFAB丄平面 DEFAB丄DF .又 AC丄平面 , AC丄DF . DF丄平面 ABC,/ DF丄BC,即卩DF是RtA BDC斜邊BC上的高，于是由 BC DF = CD BD可直接求得 DF

9、的長.)cos/ DEF =2 2 2DE EF DF2DE EF1 ( 1 )27312 1 -、3在厶DEF中，由余弦定理：3/ DEF = arccos .此即平面ABD與平面ABC所成的二面角的大小.3解法2、過D點作DE丄AB于E,過C作CH丄AB于H，貝U HE是二異面直線 CH和DE的公垂線 段，CD即二異面直線上兩點 C、D間的距離運用異面直線上兩點間的距離公式，得：CD 2= DE 2+ CH 2+ EH 2- 2DE CH cos(*)亦即異面直線CH(注：這里的 是平面ABD與平面ABC所成的二面角的大小，當 Ov ow 90 與DE所成的角；當90。v v 180o，異

10、面直線所成的角為 180。一.)CD = DE = 1, CH =3 , HE = 1 ,2 2從而算得 cos = ,= arccos 二333 例3、如圖1,直三棱柱ABC - A1B1C1的各條棱長都相等， D為棱BC上的一點，在截面 ADC 1中，若/ ADC 1 = 90, 求二面角D - AC1 - C的大小.解：由已知，直三棱柱的側面均為正方形， / ADC1= 90o，即 AD 丄 C1D .又 CC1 丄平面 ABC, AD 丄 CC1. AD 丄側面 BC1,. AD 丄 BC, D為BC的中點.過C作CE丄C1D于E,t 平面ADC1丄側面BC1, CE丄平面ADC1.

11、取 AC1的中點F，連結CF，貝U CF丄AC1.A1BiE空Ay 一圖 7 圖B7 DC1連結EF，貝U EF丄AC1(三垂線定理) / EFC是二面角D- AC1- C的平面角.CE在 RtA EFC 中，sin / EFC =./ BC= CC1 = aCF易求得 CE=, CF = a .，5 2 sin / EFC =, / EFC = arcsin55.面角D AC1- C的大小為.10 arcs in5例4、( 2004年北京春季高考題)如圖， 四棱錐S ABCD的底面是邊長為1的正方形,SSD垂直于底面 ABGD , SB=V3(I) 求證 BG SG ；(II) 求面ASD與

12、面BSG所成二面角的大??；(III )設棱SA的中點為M，求異面直線 DM與SB所成角的大小。(W )求SD與面SAB所成角的大小。分析：本小題主要考查直線與平面的位置關系等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運 算能力。(I) 證明：如圖1底面ABGD是正方形BG DGSD丄底面ABGDDG是SG在平面ABGD上的射影由三垂線定理得BG SG(II )解：SD丄底面ABGD，且ABGD為正方形可以把四棱錐S ABGD補形為長方體A1B1G1S ABGD，如圖2面ASD與面BSG所成的二面角就是面 ADSA1與面BGSA,所成的二面角，SC BC, BC/ASSC AS又SD AQCSD

13、為所求二面角的平面角在Rt SCB中，由勾股定理得 SG 2 在Rt SDC中，由勾股定理得 SD 1CSD 45 即面ASD與面BSG所成的二面角為45lSAB圖2(III )解：如圖3SDSDA是等腰直角三角形ILDA圖3AD 1, SDA 90又M是斜邊SA的中點DM SABA AD, BA SD, AD SD DBA 面ASD, SA是SB在面ASD上的射影由三垂線定理得 DM SB異面直線DM與SB所成的角為90(W ) 45 練習：1設 ABC和厶DBC所在的兩個平面互相垂直，且AB=BC=BD，/ ABC=/ DBC=120o.求：(1) .直線AD與平面BCD所成角的大小.(2

14、) .異面直線AD與BC所成的角.(3) .二面角A-BD-C的大小.答案：(1) 45 (2) 90 ( 3) 180arctan22.如圖，正三棱柱 ABC-AS的底面邊長為2,側棱長為6, D,E分別為AA1BC1的中點.(1) 求證：平面 AA1E丄平面BCD ;(2) 求直線A1B1與平面BCD所成的角.答案：(2) 303.如圖,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形,PD=a, PA=PC= 2a,(1) 求證：PD丄平面 ABCD ;(2) 求異面直線PB與AC所成角的大?。?3) 求二面角 A-PB-D的大??；(4) 在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑.答

15、案：(2) 90 (3) 60(4)(2- V/24.在三棱錐 S-ABC 中，已知 SA=4, AB=AC, BC=3 ,6,Z SAB=Z SAC=45o,SA與底面 ABC 所成的角 為 30o.(1) 求證：SA丄BC;(2) 求二面角S BC A的大小；(3) 求三棱錐S ABC的體積.答案：(3) 94 距離例1、如圖，直三棱柱 ABC-AiBiCi的底面ABC為等腰直 角三角形，/ ACB=9O0, AC=1 , C點到ABi的距離為3CE=,D為AB的中點.2(1) 求證：ABi丄平面CED ；(2) 求異面直線 ABi與CD之間的距離；(3 )求二面角Bi AC B的平面角.

16、解：(1)v D是AB中點， ABC為等腰直角三角形，/ ABC=90,. cd 丄 AB 又 AA!平面 ABC,. CD 丄 AAl. CD 丄平面 AiBiBA CD 丄 ABi, 又 CE丄 ABi , ABi 丄平面 cde ；(2) 由 CD 丄平面 AiBiBA CD丄DE ABi丄平面 CDE DE 丄ABi, DE是異面直線 ABi與CD的公垂線段V32.22- CE= , AC=1 , cd= . de . (CE)2 (CD)2(3) 連結BiC,易證BiC丄AC,又BC丄AC ,在 RtA CEA 中,CE,2BC=AC=1,BiAC=60 BB1(AB1)2 (AB)

17、22,/ BiCB是二面角 Bi AC B的平面角.tg B1CB BB1. 2 , B1CB arctg、2.bc例2、如圖，正方形 ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面 ABCD、ABEF互相垂直。點 M在AC上移動, 點N在BF上移動，若 CM=BN=a( a2).(1) 求MN的長；(2) 當a為何值時，MN的長最小；(3) 當MN長最小時，求面 MNA與面MNB所成的二面角 的大小。例3.如圖，平面 門平面=MN ,二面角 A- MN B 為 60。，點 A ,B , C MN，/ ACM = Z BCN = 45AC = 1,(1) 求點A到平面 的距離；(2) 求二面角 A

18、BC M的大小.答案；(2)arctan(提示：求出點43A在平面3的射影到直線BC的距離為-)例4、已知直三棱柱 ABC AiBiCi的側棱AAi = 4cm,它的底面 ABC中有AC = BC = 2cm，/ C = 90 ,E是AB的 中占I 八、(1)求證：CE和AB1所在的異面直線的距離等于晉cm ；C1C卜.卜、BB1 * ZX LA1A(2)求截面ACB1與側面ABB1A1所成的二面角的大小.10答案（2） arccos .5練習：1.已知：如圖， ABC中，AB=6cm, AC=8cm , BC=10cm , P是平面 ABC外一點，且FA=PB=PC=6cm .(1)求點P到

19、平面ABC的距離；求PA與平面ABC所成角的余弦.2如圖，正三棱柱A1B1C1-ABC中，底面邊長和側棱長都是(1)求點E到平面 ABD的距離：求二面角 A BD C的正切值.3如圖，正三棱柱 ABC-A1B1C1的九條棱均相等， D是BC上一AD 丄C1D.占八、(1).求證：截面 ABC1丄側面BCC1B1.求二面角 C-AC1-D的大小.B若AB=2，求直線 A1B與截面ADC1的距離.4.在棱長為a的正方體 ABCD-AiBiCiDi中，E、F分別是BC、AiDi的中點.(1)求證：四邊形 BiEDF是菱形；求直線AiC與DB的距離；(3) 求直線AD與平面BiEDF所成的角.求平面B

20、iDiC與AiDB的距離5多面體例i 斜三棱柱ABC AiBiCi的底面是邊長為a的正三角形，側棱長為 b, 側棱AAi和AB、AC都成45 勺角，求棱柱的側面積和體積.例2 .三棱錐各側面與底面均成45角，底面三角形三內角 A、B、C滿足2B = A + C,最大邊與最小邊是方程3x2 27x+ 32=0的兩根.(i)求棱錐的高；(2)求棱錐的側面積.例3.如圖，正三棱柱ABC-AiBiCi的所有棱長都為(1) 試求三棱錐 Bi AMN的體積；(2) 求點Ci到平面AMN的距離。例4 .如圖，三棱柱ABC A3G的底面是邊長為ABBiA是菱形且垂直于底面，/ AAB = 60 M是AiBi的

21、中點.(i)求證：BM丄AC；(2) 求二面角B B1C1 A1的正切值;(3) 求三棱錐 M A1CB的體積.習題1.正三棱錐P ABC的底面邊長為a, E、F分別是側棱PB、PC的中點，且E、A、F三點的截面垂直 于側面PBC.(1)求棱錐的全面積；(2)側面與底面所成的角的余弦值.2.如圖，直四棱柱 ABCD ACiBDi的側棱AA的長是a, BD=a的矩形，E為CiDi的中點。AB=2a ,(.1)求二面角E-BD-C的大??；求三棱錐B BDE的體積.3.如圖，正三棱柱ABC A1B1C1的底面邊長為 等腰直角三角形.a,點M在邊BC上， AMC1是以點M為直角頂點的(1)(2)(3)

22、求證點M為邊BC的中點； 求點C到平面AMC1的距離； 求二面角M AC1 C的大小.答案:例題1.(1+ 2 ab，v體2.作 PO4面ABC，作OD,OE,OF分別垂直于三邊,322229,ac ,b a c3恵i PO ,PD3PE10山34. (1)證明：TABB1A是菱形，/M是AB1的中點,又又平面AA1B1B3.三棱錐B1AMN的體積為連結02accos60 =7,點C1到平面AMNPD, PE, PF,易得,11一 acsin B r 22v6a b c)36P 5的距離為5B = 60(ab c),8 63AAB = 60A1BBM平面A1B1C1 AB1B是正三角形BM 平

23、面 A1B1C1BM A1C1be又AC/ A1GACtan2.(2)過M作ME BiCi且交于點EBM 平面 A1B1C1BE BiCi/ BEM為所求二面角的平面角 A1B1C1 中，MEMB1 sin 60 a , RtA BMB1 中，MB4BEM MB2,所求-面角的正切值是2;ME(3) Vm A|CB11111,3 22Vb1A1CB畀ACBVA1 ABC22a34習題_, vr33 2、26S全 (+)a ,cos4461.oMBi.3a2.面角E-BD-C的大小為45，三棱錐BiBDE的體積為 AMC1為以點M為直角頂點的等腰直角三角形，C1M .正三棱柱 ABC A1B1C

24、1,CC1 底面 ABC. C1M在底面內的射影為 CM , AM丄CM .底面ABC為邊長為a的正三角形， 點M為BC邊的中 (2)過點C作CH丄MC1 , AM丄平面C1CM3.AM(1)C1M 且 AM由(1)知AM丄C1M且AM丄CM,CH在平面CiCM內,CH 丄 AM ,CH丄平面CiAM，由(1)知,AMCM a2 ，CMCC13a21a244CHCQ CMC1M點C到平面AMC1的距離為底面邊長為(3)過點C作CI丄AC1于I，連HI ,- HI為CI在平面C1AM內的射影，-HI 丄 AC1，/ CIH 是二面角 MAC16 a .6CH丄平面C1AM在直角三角形ACC1 中

25、,CICG ACAGC的平面角.2a a2(_2 yJ2 )2a ( 2 a)tan60 3 a213a161 且 CC1 BC .2.21a a22V3a2-6 a .6、3.a , sin3CIH占八、.6CH Taci/ CIH = 45,面角M AC1 C的大小為45例1設地球是半徑為 R的球，地球上 A、B兩地都在北緯45上，A、B兩點的球面距離是3 R, A在3OC離.東經20，求點B的位置例2 半徑為13cm的球面上有A、B、C三點，每兩點間的距離是AB=6cm , BC=8cm, CA=10cm，求這三點所在的平面到球心的距例3半球內有一內接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓

26、內，若正方體的一邊長為6，求半球的表面積和體積。0球面求：例4.如圖，A、B、C是半徑為1的球面上的三點，B、C兩點間的1距離為一n點A與B、C兩點間的球面距離均為 一，0為球心，32（1）Z BOC、/ AOB 的大??；（2）球心0到截面ABC的距離.習題1.已知正方體的全面積為 24,求：（1）求外接球的表面積；（2）求內切球的表面積.2一個正四面體的棱長為 2 . 6，求該四面體的外接球的體積 .3.在120。的二面角內放一個半徑為 5的球，分別切兩個半平面于點A、B,求這兩個切點 A、B在球面上的最短距離答案：例題1 東徑11C，或者西徑70。2. 12cm3. 18 n ,18 nv

27、214. / BOC= ,/ AOB=, 球心O到截面ABC的距離為327習題1 .外接球的表面積為 12 n內切球的表面積為 4口2. 36 n53.37綜合應用（1）例題講解：例1 :如圖，在斜四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為4的菱形，/ DAB = 60 若點 A1在平面ABCD上的射影是 BD的中點，設點 E是CC1上的中點，AA1= 4.ABC求證：BBiDiD是矩形;求二面角E BD C的大?。磺笏拿骟wBi BDE的體積.答案與提示：(2)arccos14/21書遠例2：三棱錐S ABC中，底面 ABC是頂角為/ ABC = a、nAC=a的等腰三角形，S

28、CA= 2 , SC=b，側面SAC與底面n所成二面角為 0 ( 09 2)，E、D分別為SA和AC的中點.(1) 求證無論0, a為何值時，點S到截面BDE的距離為定值SC(2) 求三棱錐 SABC的體積.答案與提示：(1)2 (2) i2c2bcot20), PA丄平面 ABCD，且 PA=1.(1) 問BC邊上是否存在點 Q,使得PQ丄QD;(2) 若BC邊上有且僅有一個點 Q,使得PQ丄QD，求這時二面角 Q-PD-A的大小.1答案與提示：(1)當a時存在，當a2時不存在(2)arctan? . 52如圖，四棱錐 P-ABCD中，PB丄底面ABCD , CD丄PD，底面ABCD為直角梯形，AD / BC, AB丄BC,AB=AD=PB=3 ,點 E 在棱 FA 上，且 PE=2EA.PECB(1) 求異面直線PA與CD所成的角；(2) 求證：PC /平面EBD ; 求二面角 A-BE-D的大小.答案與提示：(1) 60 (3)a