全國文數第36課直線方程與兩條直線的位置關系

1、第36課直線方程與兩條直線的位置關系普查講361直線的傾斜角、斜率和方程1. 直線的傾斜角與斜率a. 直線的傾斜角與斜率的定義及相互關系(1) (2018山西大同模擬，5分)下列命題中，正確的命題是 直線的傾斜角為a,則此直線的斜率為tan a； 直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為a； 任何一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都存在斜率； 直線的斜率為0,則此直線的傾斜角為0或n(1)答案：n解析：錯誤：當直線的傾斜角a= 2時，此直線的斜率不存在；錯誤：當直線的斜率為tan n =.3時，由直線的傾斜角一定在20 , n)內，可得其傾斜角為3 n;正確：任3何一條直線都有傾斜角，但當直

2、線的傾斜角a= 2時，斜率不存在；錯誤：直線的斜率為0 ,則此直線的傾斜角為 0,而不是 兀綜上所述，只有是正確的.b. 已知直線上兩點，求傾斜角和斜率的值(或范圍)(2) (經典題，5分)直線I過不同的兩點 A(cosB, sin2 0), B(0, 1)，則直線I的傾斜角a的 取值范圍是.答案: fu予解析：當cos 0= 0時,sin2 0 1cos2 0tan a= =cos 0 0cos 02sin 0= 1,. A(0, 1)，與點 B 重合，故 cos 片 0 ;當 cos 片 0 時，-cos 0. K cos0v 0 或 0cos 1,. tana 1, 0) U (0, 1

3、.又t 0W aV n,二直線 I 的 傾斜角a的取值范圍是(0, nu嚴，n.yy0c. 利用斜率公式靈活解決形如-的取值范圍問題x X0(3) (2018江蘇南通模擬，5分)已知x，y滿足關系x=1-y2,則/的取值范圍是答案:1, 1解析：由 x=1 y2得 x2 + y2= 1(0 w x 1, 1 y 1 ,- 1 W W 11 xy1 一 X1 一 X且0即丁的取值范圍是1, 0)U (0, 1 (n1 + x+ 1y + 1令 1 + = a, 0W aw 2, x+ 1x+ y+ 1當a=0 時，(X+1)2+疔0；x+ y+ 1當 aa0 時，.(X+ 1) 2 + y2-

4、.1+( a 1) 2 .a2 2a + 212 2 .+ 2a a/ 0aw 2,.1a 二2x+ y+ 1x+ y+ 1=J2 V2 2,其中|x+ 廠11表示點(x, y)到直線x+y+ 1 = 0V(x+ 1) 2+ y2邁的距離， (x+ 1) 2 + y2表示點(x, y)和點(一1, 0)之間的距離，如圖所示，|x+ y+ 1|-22= sin0,(x+ 1)+ y2x+y+1_ (x+1) 2+ y2從圖中可得0w sin 0w 1,.x+y+1 x+y+1 / (x+1) 2+ y2=2sin 0.22的取值范圍是【0，,(x+1)+ y 0 1 w 2，即 0 3或kw 4

5、，二k的取值范圍是(m一 3,4 u J4，+m 卜d 利用斜率公式解決動直線與線段相交的問題(4) (2018北京順義模擬，5分)已知點A(2, 3), B( 3, 2)，直線I過點P(1 , 1)且與 線段AB有交點，設直線l的斜率為k,則k的取值范圍是()B. T，3A ( m, 4 u 4，故選A.-3)(法二)設過點P(1 ,)的直線方程為 y 1 = k(x 1)，即kx-y-k+ 1 = 0.v直線1過點P(1,1)且與線段 AB 有交點，(2k+ 3 k+ 1)( 3k+ 2 k+ 1)0，解得 k 或 kw 4,. k 的取值范圍是(一， 4 U4故選A.2. 直線的方程a.

6、 直線方程的系數與直線所在象限的關系(5) (2019改編，5分)若直線Ax+ By+ C = 0(A2 + B2 0)經過第一、二、三象限，則系數A, B, C滿足的條件為()A. A, B, C 同號B. AC0, BC0C. AC0D . AB0, AC0,在By 軸上的截距 C0, AB0, BC0, AC0.故選 B.b. 靈活選擇五種基本形式求直線的方程(6) (2019匯編，15分)(I )已知直線l過點(1, 0),且傾斜角為直線 x 2y 2= 0的傾斜 角的2倍，則直線l的方程為;(H )經過點P(3, 1)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的直線I的方程是 (川)已知點

7、A(1 , 2), B( 1, 4), C(5 , 2)，則 ABC的邊AB上的中線所在的直線方程(W )已知直線I的斜率為6,且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，則直線l的方程是?(V )已知點 P(2 , 1)到直線I的距離為2，且直線l過原點，則直線 I的方程是(6)答案：(I )4x 3y 4= 0( n )x + 3y= 0 或 x+ y 2= 0(川)x + 5y 15= 0(W )x 6y+ 6= 0 或 x 6y 6 = 0(V )x= 0 或 3x+ 4y= 01解析：(I )依題意設直線x 2y 2= 0和直線l的傾斜角分別為a, 2 a,則tana=?,二直線l的斜率k=

8、 tan2a=-2ianjr = 4，由點斜式可得直線I的方程為y 0=勺x 1)，即1 tan a 33 八4x 3y 4= 0.(n )(法一)當直線I在y軸上的截距為0時，由題意可得I在x軸上的截距也為0,.直線 I 過點(0, 0), (3, 1),、， 1 0 1 1貝U直線I的斜率k= -,由點斜式可得直線I的方程是y= -x,即x+ 3y3 033=0 ;當直線I在y軸上的截距為a，且az0時，由題意可得在 x軸上的截距也為 a,則可 設直線I的方程是X + y = 1. v直線I經過點P(3, 1), - 1= 1，解得a= 2 ,直線I的 a aa a方程是x + y= 2，

9、即x+ y 2= 0,綜上可知，直線 I的方程為x+ 3y = 0或x+ y 2= 0.(法二)由題意可知直線I的斜率必然存在，且不為零，1可設直線 I 的方程為 y+ 1= k(x 3).令 x= 0，得 y= 3k 1;令 y= 0，得 x=-+ 3. v k直線I在x軸上的截距等于在y軸上的截距， k+ 3 = 3k 1，即3k2+ 4k + 1 = 0,解得k1=1或k= -，經驗證兩解均為原分式方程的解直線 I的方程為y+ 1 = (x 3)或y3+ 1 = 1(x 3)，即直線 I 的方程為 x+ y 2= 0 或 x+ 3y= 0.1 12 + 4(川)(法一)設邊AB的中點為D

10、(x, y),則由中點坐標公式可得，x= 0, y=3 一 213,.點D的坐標為(0, 3)，邊AB上的中線CD所在直線的斜率 k = 5 = 5,由點1斜式可得直線的方程為y 3 = 5(x 0),即x+ 5y 15= 0.y一 3 x 0(法二)由法一得D(0 , 3)，邊AB上的中線CD所在的直線方程為 =；=，即x +2 35 05y 15= 0.1(W)設直線I在y軸上的截距為b，則直線I的方程是y= x+ b.令y = 0，則x= 6b.v直線I與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3, 2 6b| |b|= 3，解得b= 1 ,直線I1 1的方程是 y = 6x+ 1 或 y = 6x

11、 1，即 x 6y+ 6 = 0 或 x 6y 6 = 0.線I(V )v直線I過原點，.可設直線I的方程為Ax+ By= 0(A2 + B2工0).又點P(2, 1)到直3B2= 0,解得B= 0或4A= 3B，直線I的方程是x = 0或3x+ 4y= 0.c. 求含參直線系所過的定點(7) (2018湖北襄陽模擬，5分)已知實數a, b滿足a + 2b = 1，則直線ax+ 3y+ b= 0必過 定點，這個定點的坐標為()-1答案：D解析：(法一)由 a+ 2b = 1,得 a = 1-2b,二直線 ax+ 3y+ b= 0 的方程即(1 2b)x+ 3y1 2x= 0 和 x+ 3y=

12、0+ b = 0，進一步可變形為 b(1 2x) + (x+ 3y)= 0易得該直線經過直線的交點.聯立彳一2x= 0,x+ 3y= 0,解得y= 2 = 1，解得直線ax+ 3y+ b= 0必過定點1，- j.故選D.x(法二)比較xa+ b+ 3y= 0和a+ 2b 1 = 0的對應系數，令 彳所以一定是方程ax + 3y + b= 0的解，y=-6所以1， 6即為所求定點的坐標.故選 D.3. 與直線方程有關的最值問題(8) (經典題，15分)過點P(2, 1)作直線I，分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于 A, B 兩點.(I )當厶AOB的面積最小時，求直線I的方程；(n )當|OA

13、|+ |OB|取最小值時，求直線I的方程；(川)當|PA| |PB|取最小值時，求直線I的方程.(8) 答案：(I )x+ 2y 4= 0( n )x + . 2y (2 + .2)= 0(川)x + y 3= 0解：(I )由題，可設直線I的方程為y 1= t(x 2) ,tv 0.令x= 0,得y= 1 2t;令y= 0,1得 x= * + 2, A 1 + 2, 0 , B(0, 1 2t),|OA|= 1 + 2, |OB|= 1 2t, Saaob=OA|OB|= 2 1 + 2 (1 2t) = 土 ； 4t + 4 .T tv 0 ,.一 t 0,. 1 4t 2 、 J - (

14、 4t) = 4,當且僅當一 1 = 4t,即 t = 1 時取等號，1 1 Saaob(4 + 4) = 4.當 Saaob= 4 時，直線 I 的方程是 y 1 = (x 2)，即 x+ 2y 4=0.(5 分)(n )(法一)由題，可設直線I的方程為a+b = 1(a0, b0)，則由點P(2, 1)在直線I 上,得a+ b = 1, |OA|+ |0B|= a + b= (a + b) a + b = 3 + b + 2b3 + 2 :乍警 3 + 2 2，當且僅當b=詈且a+ b =1,即a=2+ 2, b=1+ 2時取等號，直線l的方程為2 +.,2+1+,2=1，即 x+ 2y

15、(2 + 2) = 0.(10 分)1(法二)由題，可設直線I的方程為y 1 = t(x 2), t v 0由(I )得|OA|= - + 2, |0B|= 1+ ( - 2t) +132t.又 T t v 0 , t 0 , |OA| + |OB| = t + 2 + 1 2t =等號，此時直線1 ( 2t)+ 3= 2 2+ 3,當且僅當一1 = 2t, 即卩 t =I 的方程為 y 1 = -(x-2), 即卩 x+ 2y (2 + 2) = 0.(10 分)(川)過點P作PM丄x軸，PN丄y軸，垂足分別為 M , N，設/ BAO = a在RtA PAM中，/ |PM|= 1,.人|=

16、丄；在 RtA PBN 中，/ |P N| = 2, |PB| = Z ,. |PA| |PB| = - 丄 Sin aCOS aSin a cos a4,|PA|PB|取得最小值4，此時直線sin2 a又 0an02 a4當MP丄x軸時,此時 t= 6, xN= 6,SOMN =y = x,求過點 P(6, 4)的直線與 并求出此時點M , N1t 40N|MN|= 2X6X 6= 18.當 MN 與 X軸不垂直，即 X6，Xn-6 時，易得 kMP =三，kNP=XN 64 t 一 442t16； kMP = kNP, 匚z 6n，解得Xn =匚;，圍成的三角形的面積S = 2XNyM21

17、 _2L丄 1八2t 4t= t 4= 14(4 分 )2t t14P= 4t t 4y+1=-當t = 8時，圍成的三角形的面積?1)+16,二當2=1，即t=8時，i細得最大值末Saomn 取得最小值 16,此時 M(8, 8), N(4, 0). (8 分)隨堂普查練36 I1. (2018廣東湛江期末，5分)下列四個命題中，假命題是 (填序號). 經過定點p(xo, yo)的直線不一定都可以用方程y yo= k(x x)表示； 經過兩個不同的點pi(xi,y”，卩2(畑丫2)的直線都可以用方程(y yi)(x2 xi)= (x xi)(y2yi)來表示； 與兩條坐標軸都相交的直線不一定

18、可以用方程x+ y =i表示；a b 經過點Q(0, b)的直線都可以表示為y= kx+ b.i .答案：解析：正確：經過定點P(xo, yo)且斜率不存在的直線不可以用方程y yo= k(x x)表示，故正確； 正確：當xi X2且yi* y2時，直線方程為 -yi = 一；當xi= X2且yi* y時，直線y2 yi X2 Xi方程為x = %;當yi = y2且xi* x2時，直線方程為y= yi，綜上可知，經過兩個不同的點 Pi(xi, yi), P2(X2, 丫2)的直線都可以用方程(y yi)(x2 xi) = (x xi)(y2 yi)來表示，故正確； 正確：當直線過原點時，直線

19、不可以用方程X+ y = i表示，故正確；a b 錯誤：經過點Q(o, b)的直線，當斜率不存在時，不可以表示為y= kx+ b，故錯誤.2. (2oi8黑龍江哈爾濱模擬，5分)若好a2 n則直線 親 + 補=i必不經過()2 cos a sin aA .第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限2. 答案：B3 n 解析：令 x= 0,得 y= sin a;令 y= 0，得 x= cos a, 直線過(0, si n%),(cosa, 0)兩點.三 a2 n / sin a0,.直線必不經過第二象限.故選B.4. (2018江西模擬，5分)已知點(1, 2)和直線I: axy 1 =

20、0(a工0)的兩側,則直線I傾斜角的取值范圍是()A.n 52n 5n4，3B. 3， 6C. 0,n.4，n4. 答案：C解析：(法一 )由 ax y 1 = 0(a工0)，得直線l過定點(0 , 1),斜率為a. 兩條臨界直線的斜率分別為 一1(一2)= 1 , 0 ( 1)= 3 , a 1a3且a豐0設直線I的傾01亞0“73斜角為B,則a = tan 0, a lta n,3且tan片0，二0 0或 哄 9 n即直線I傾斜角的取34值范圍是色，nln，n .故選c.(法二)點(1, 2)和 ，0 在直線 I: ax y 1 = 0(aM 0)的兩側，a (a+ 2 1)于a 1 0，

21、解得1aV3.又T0,法一可得直線I傾斜角的取值范圍是0 , 撲 嚴，巧.故選C.5. (2018福建模擬，5分)點M(x , y)在函數y= 2x + 8的圖像上，當x 2 , 5時，弓.X. I I的取值范圍是A.D.2, 41C. - 6，5. 答案：C解析：當x 2 , 5時，函數y= 2x+ 8的圖像是線段，它的兩個端點分別為(2, 4),(5, 2),如圖所示.LJA .HT二y + 14 一 (一 1)5 2 ( 1)-士表示動點(x, y)和定點(1, 1)連線的斜率，且(4)=舟,X 十 12 ( 1 )35 ( 1 )16,寧的取值范圍是-15|6， 3故選 c.10分)根

22、據所給條件分別求直線的方程.傾斜角的正弦為；(n )過點M(1, 2)的直線分別與x軸、y軸交于P, Q兩點，若M為PQ的中點，求直 線PQ的方程.6.答案：(I )x 3y+ 4= 0 或 x+ 3y+ 4= 06.(I(2018湖北黃岡期末,)直線過點(4, 0),解:(I )設直線的傾斜角為a則由已知得sin(n )2x y 4 = 0702a=0.又 0W a n COSa= 1 Sin a=昇：0,；直線的斜率k= tana= COOSa= 3,二直線方程為 y 0= 3(x+ 4)或 y 0= g(x +a + 01 = 2,解得尸=2,b= 4,4)，即 x 3y + 4= 0

23、或 x+ 3y+ 4= 0.(5 分)(H )設P(a, 0), Q(0, b)，則由中點坐標公式，可得-2 =寧 P(2, 0), Q(0, 4),直線PQ的截距式方程為號+4 = 1,整理得 2x y 4 = 0.(10 分)7. (2019改編，8分)已知直線I: kx y+ 1 + 2k= 0(k R).若直線B,設 AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值，并求I交x軸的負半軸于點A,交y軸的正半軸于點 此時直線I的方程.7.答案：S的最小值為解：由已知條件，易得4,此時直線I的方程為x 2y+ 4= 0kz 0令y= 0,得A點坐標為(-2 p 0 j,且2 k0 或 k0,

24、解得 k ?, k0, (4 分) AOB 的面積 S= 2 2 方程為 x y+ 1十 1 = 0，即 x 2y+ 4 = 0.(8 分)|(2k+ 1) = !(2 十)2k+ 1) = 1(4k+1 + 4 卜珈/十 4 =4，當且僅當4k= 1，即k=右時取等號， AOB的面積S的最小值為4，此時直線I的k2普查講36 n兩條直線的位置關系和距離公式4. 兩條直線的位置關系a. 直線垂直與平行的充要條件(9) (經典題，10分)已知直線11： (a 1)x+ y+ b= 0, I2： ax+ by 4= 0，求分別滿足下列 條件的a, b的值.(I )11 丄I2，且 I1 過點(1,

25、 1);(n)i 1/12 ,且I2在第一象限內與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2.(9) 答案：(I )a = 2 , b= 2 ( n )a= 2 , b= 2解：(法一 )(I 廠丄 I2, a(a 1)+ b= 0. (1 分)又直線 I1 過點(1, 1) , a + b= 0.(2 分)聯立得a (a 1) + b= 0 ,a+ b = 0 ,解得a = 0 ,|b = 0a = 2 ,b = 2.當a = 0 , b = 0時，I?的方程不成立，舍去.- a= 2 , b= 2.(5 分)(n).Ti / I2,a b (a 1)= 0,4 (a 1) ab 工 0. (6 分)直

26、線l2在第一象限內與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2,直線i2與兩坐標軸的交點坐標分別為a，0,0,4，且a0,半0, ab = 4.(8 分)2=4一b4-aJ 2a b (a 1 )= 0, 聯立得4 ( a 1) abz 0,ab= 4,解得嚴2, (10分)b= 2.4(法二)當 b= 0 時，11： y= (1 a)x, I2： x= (az 0)；當 bz 0 時, aI1： y= (1 a)x b,a 412： y= /+ d(2 分)(I )當b= 0時，直線l1過點(1, 1),二1 = 1 a,解得a= 0,與az 0矛盾;(3分)當b z 0時,h丄 12, (1 a) a

27、 = 1.(4 分)又直線I1過點(1, 1), 1= 1 a b,即 a+ b= 0.(5 分)聯立，得(1 a)解得a = 2 , (6分)b = 2.(n )當b= 0時，直線l2： x= 4(az 0)垂直于x軸，直線|1: y= (1 a)x不可能垂直于軸， li與12不平行；(7分)當 b 豐 0 時，Tli / I2 ,a1-a=-，(8分)同法一可知ab= 4.彳 ab 2(10 分)1a=b解得聯立，得b工4b，ab= 4 ,b. 利用兩直線重合的充要條件研究三點共線問題23(10) (2018河南安陽殷都區(qū)模擬，5分)若平面內三點 A(1, a) , B(2 , a ) ,

28、 C(3 , a )共線,則a =()B.2： 5或 0C2 5C . 2(10) 答案：A解析：(法一)平面內三點 A(1, a), B(2 , a2), C(3, a)共線，直線 AB與直線AC 重合，a(a2 2a 1) = 0 ,23 kAB= kAC , a =a ,整理得2 13 1解得a= 0或a= 1 土. 2.故選A.(法二)平面內三點 A(1, a), B(2,a2), C(3, a3)共線，存在唯一實數 入使得AB =AC.又 AB= (1 , a + a) , AC = (2 , a + a),- (1, a?+ a) = ?(2 , a+ a) , j = 2入a?+

29、 a =入鄉(xiāng)+入a解得a= 0或a= 1 士, 2.故選A.c. 根據直線的位置關系巧設直線方程(11) (2019 改編，10 分)已知直線 11： x+ y+ 2= 0 , I2： 2x 3y 3= 0.(I )經過l1 , l2的交點且與已知直線3x + y 1 = 0平行的直線I的方程是 ;(n )經過11 , 12的交點且與已知直線x + 4y 7 = 0垂直的直線I的方程是(11) 答案：(I )15x+ 5y+ 16= 0(n )4x y+ 1 = 0解析：(I )(法一)設直線l的方程為3x+ y+ m = 0 , m 1.,x+ y+ 2= 0,由12x 3y 3= 0,x

30、=得y =3-5 7-5直線丨1與12的交點為一3 , 3X+ m= 0,解得 m=亍直線 1線段0A的垂直平分線方程為 y扌=x +寸，x y + 1 = 0,x= 3,即x y+ 1 = 0聯立得i解得F2x 3y+ 6= 0,y= 4,點P的坐標為(3, 4).(法二)設P(a, b)，則根據題意得2a 3b + 6= 0,a = 3,|A B|, |PA|+ |PB|= |FA +|PB|= |A B|,. |P A|+ |P B|PA|+ |PB|,(|PA|+ |PB|)min = |A B|=( 3 2) 2+( 3 5) 2= . 65.(4 分)3 5易得直線A B的方程為y

31、 5=(x 2),即8x+ y 21 = 0.聯立直線A B,1的方程,3 2X=血8x+ y 21 = 0,x= 7得解得l3x 4y+ 4= 0,y= 19二 P16,號.(6 分)(n )如圖，連接AC并延長，與直線I的交點即為使|PA|PC|最大的點P.(7分)證明如下：設直線 I上任意一點P (異于點P),則|P A| |P C|=|P A |P C|.T|P A |P C|P A| |P C|,(|PA|PC|)max=A C|= . ( 3 2) 2+( 3 1) 2=17.(8 分)3 1易得直線A C的方程為y 1 =(x 2)，即4x + y 9= 0.3 2聯立直線A C

32、, I的方程，32x= 19,19得 tx 4y+ 4= 0,解得；43=1943d. 直線關于直線的對稱問題(17) (經典題，7分)已知直線1: 3x+ 4y 1 = 0，直線I1： 2x + y 4 = 0,直線b與直線h 關于直線I對稱，求直線l2的方程.(17) 答案:2x+ 11y+ 16= 0解：(法一)在直線11： 2x+ y 4= 0上取兩點A(2, 0), B(0, 4)，設點A, B關于直線I 的對稱點分別為 A (X1, y1), B (x2, y2),fy10 匚3L1X1-2I 4廠1,則有4x1 = 5,解得；8.y1 = 5,18x2= T,y2=-|.(5分)

33、4x5不 4,即卩 2x+ 11y+ 16 = 0.(7 分)8y+5直線I2的方程為 4 + 8(法二)聯立直線I與li的方程，得3x+ 4y 1= 0,2x+ y 4 = 0,x= 3,解得直線I與I1的交點為y= 2,(3, 2),該點在直線由法一得點a5,12上. (3 分)-8也在直線I2 上, 直線I2的方程為丄攔=尸，即2x+ 11y +84-+2 - 35516= 0.(7 分)1. (2018福建模擬,1A込隨堂普查練36 n5 分)若 A( 2, 3), B(3, 2), C(1 , m)三點共線,則m的值為()C.- 21 答案：D解析：由題意易得直線AB的斜率AC的斜率

34、kAc =5555m 3= m 3m 3，解得 m= 0.1( 2) = I-A( 2, 3), B(3, 2), C(1, m)三點共線， kAB= kAc，即一1 = 故選D.2. (經典題，5分)若點P為x軸上的一點，A(1 , 1), B(3, 4)，則|PA|+|PB|的最小值是4. 答案：x+ y+ 1 = 0 或 x + y 3 = 0解析：直線li與S：x+ y 1 = 0平行，.可設直線“的方程為x + y+ b= 0(b豐一1).：li與12的距離是詔2,b= 1 或 b= 3,直線li的方程為x+y+ 1 = 0或 x+ y 3 = 0.5.(經典題，5分)若直線l1：

35、y= k(x 4)與直線l2關于點(2, 1)對稱，則直線12恒過定點( )A . (0, 2)B . (0, 4)C. ( 2, 4)D . (4, 2)5. 答案：A解析：易得直線l1： y= k(x 4)過定點(4, 0). 直線l1： y= k(x 4)與直線I?關于點(2,1) 對稱，點(4, 0)關于點(2, 1)的對稱點(0, 2)在直線12 上, 直線12恒過定點(0, 2).故 選A.6. (經典題，5分)在平面直角坐標系內，到點A(1, 2), B(1 , 5), C(3 , 6) , D(7 , 1)的距離之和最小的點的坐標是 .6.答案：(2, 4)解析：經分析可知，直

36、線 AC與直線BD的交點M即為到點A(1, 2), B(1 , 5) , C(3 , 6) , D(7, 1)的距離之和最小的點，此時最小距離為|MA|+ |MB|+ |MC|+ |MD |= |AC|+ |BD|.證明如下：設點P為平面上任意一點，T |PA|+ |PC| |AC| ,當且僅當點P位于線段AC上時 取等號；|PB|+ |PD| |BD| ,當且僅當點 P位于線段 BD上時取等號， |PA汁|PB|+ |PC| + |PD | |AC|+ |BD| ,當且僅當點P位于線段AC與BD的交點時取等號.綜上所述,至到點 A(1 ,2) , B(1, 5) , C(3 , 6) , D

37、(7 , 1)的距離之和最小的點為直線 AC與直線BD的交點M.易得 直線AC的方程為y_2 = x_1,即y= 2x;直線BD的方程為 y. 5 = x_1,即y= x + 6.6 2 3 1 I 5 7 1聯立直線AC與BD的方程，得y = 2x ,y= x+ 6 ,解得 / = 2， M(2 , 4). y=4 ,7. (2018河北模擬，5分)已知 ABC的三個頂點分別是 A(0 , 3) , B(3 , 3) , C(2 , 0), 若直線I: x= a將厶ABC分割成面積相等的兩部分，貝Ua的值是()A. . 3B . 1 + 孑C. 1 + 于7.答案：AD. ,21解析：如圖，

38、 ABC的三個頂點分別是 A(0 , 3) , B(3 , 3) , C(2 , 0) , Sbc =寸 3X 3=2易得直線x y3AC的方程為2+ 3= 1，即y= ?x+ 3設直線l： x = a與AB交于點D ,與AC交于點E,則D(a , 3) , E a, |a + 3 .顯然 a0 , |AD|= a , |DE |= 3 I AD丨丨2-=和羅=4，解得a= . 3.故選A.2x y-2 = 0,平行于AB邊的中位線所在直線方C且與AB邊平行的直線方程；2x+ y-9 = 0,求過點A且與平行于 AB的x- 2y+ 1 = 0,y= 0,8. (2019 改編，x-2y+ 1

39、= 0,Z B的平分線所在直線方程為y = 0,(I )若AC邊上的高所在直線方程為 求直線BC的方程及點C坐標；(n)若過點C的中線所在直線方程為 程為2x+ y-9= 0，求點C坐標，及過點(川)若平行于AB邊的中位線所在直線方程為中位線垂直的直線 I的方程.8.答案：(I )x+ y+ 1 = 0, C (5,- 6) (n )C(4, 6), 2x+ y- 14= 0 (川)x - 2y+ 3 = 0 解：(I )(法一)設AC邊上的高為BM，/ ABC的平分線交 AC于點 N，聯立x= 1,解得點B坐標為(-1 , 0)點A (1 , 2)，直線 AB的斜ly= 0,/ ABC的平分線所在直線方程為 y= 0, 直線AB, BC的斜率互為相反率為-= 1.數，.直線BC的斜率為1又點B坐標為(1 , 0)，直線BC的方程為y= x- 1 ,1 -1 即x+