全國文數(shù)第48課數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

1、第48課 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入普查講48數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入1 .復數(shù)的基本概念a. 復數(shù)的實部和虛部(1)(2019改編，5分復數(shù)z= (1 + 2i)(3 i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是虛部是.答案：55解析：/ z= 3+ 6i i + 2= 5 + 5i ,二z的實部為5，虛部為5.b. 復數(shù)的分類(2017天津，5分)已知a R, i為虛數(shù)單位，若a -i2 i為實數(shù)，則a的值為答案：2解析:(法一)a 1a -i 2 - i | i 2a -1 i 亠a - 2 i2 i 2-i 4 5絲1 空i為實數(shù),55a+251i(法二)當2 =r時,畀為實數(shù)a=-2.c. 共軛復

2、數(shù)(2016山東，5分)若復數(shù)z滿足2z+ z = 3 2i，其中i為虛數(shù)單位，則 z=()A . 1+ 2iB. 1 2i C. 1+ 2i D. 1 2i答案：B解析：設 z= a+ bi(a, b R),則 z = a bi，代入原式得 2(a+ bi) + a bi = 3 2i，即 3a + bi= 3 2i,3a= 3,b = 2,解得b = 2, z= 1 2i.答案：52解析：由題意可知 a2- b2+ 2abi = 3 + 4i,a2 b2= 3,2ab= 4,廠2/a = 4,解得* 2 a2 + b2= 5, ab= 2.b = 1,2.與復數(shù)的幾何意義相關的問題a .復

3、數(shù)的幾何意義(2017北京，5分)若復數(shù)(1 i)(a + i)在復平面內對應的點在第二象限，則實數(shù) a的取值范圍是()A . ( s, 1)C . (1 ,+s ) 答案：B(s, 1)(1,+s )解析：/ (1 i)(a + i) = a+ 1 + (1 a)ia + 10,得 a0,1 m1 ,實數(shù)m的取值范圍是(1 ,+s ).故選C.4.(經典題，5分)已知i是虛數(shù)單位，a, b R,則a = b = 1”是(a + bi)2 = 2i”的()A .充分不必要條件B.必要不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件答案：A解析：由 a = b= 1,得(a + bi)2= (

4、1 + i)2 = 2i;由(a+ bi)2= 2i，得(a + bi)2= a2 b2 + 2abi = 2i,a2 b2= 0,2ab= 2,ra= 1,解得芒b= 1a=或彳1,b= 1,a= b= 1 ”是(a+ bi)2= 2i”的充分不必要條件.5. (2019改編，5分)已知m為實數(shù)，當m變化時，z= (m+ 3) + (m 1)i在復平面內對應 的點不可能在()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案：B解析：設 z= x+ yi(x, y R),v z= (m+ 3) + (m 1)i , x= m+ 3, y= m 1, y= x 4,.復數(shù)z在復平面內

5、對應的點在直線y= x 4上.又直線y= x 4不經過第二象限，如圖，復數(shù)z對應的點不可能在第二象限.6. （2017全國川，5分）設復數(shù)z滿足（1 + i）z= 2i，則|z|=（）1A. 2C. .2 答案：b.D . 2C解析：(法一)由題意可知 z總2i (1 ( ：) 2 1 + i, |z|12+ 12= 2.1 + i(1 + i)( 1 i)2甲v(法二)由題意可知 z=比=(f = 1 + i, |z|= ,12+ 12= 2.(法三)由題意可知 | (1 + i) z|= |1 + i|z|= |2i|= 2，即,2|z|= 2,二 |z|= .2.7. （2018江蘇鹽城

6、一模，5分）設復數(shù)z= a + i（a R,i為虛數(shù)單位），若（1 + i） z-為純虛數(shù),貝U a的值為.答案：1解析：/ z= a + i，二(1 + i) z= (1 + i)(a+ i) = a 1 + (a + 1)i.又(1 + i) z-為純虛數(shù)，二 a 1 =0且a + 1豐0,解得a= 1.故答案為1.& （經典題,5分）復數(shù)2 mi1+ 2i=A+ Bi(m,A,B R），且A+ B = 0，貝U m的值是（A. ,22B.2答案：C2 = A 2B,解析：由題意知 2 mi = (A + Bi)(1 + 2i) = A 2B+ (2A + B)i ,二 m= 2A + B

7、,A + B = 0,2A= 3，_2解得 B= 3,2m=小.9.（經典題，5分）已知i是虛數(shù)單位，則答案：1 + iX1009=i1009=i4x 252+1=1 ,原式=一=i.1 + i.課后提分練48數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入A組（鞏固提升）1. （2018江蘇，5分）若復數(shù)z滿足iz= 1+ 2i,其中i是虛數(shù)單位，則z的實部為答案：2解析：(法一)設復數(shù) z= a+ bi(a,b C R)，由 i z= 1+ 2i 得 ai b= 1+ 2i，所以 2,即b= 1,z= 2 i，所以z的實部為2.（法二）由 i z= 1 + 2i 得 i2 z= i（1 + 2i），即z= 2 +

8、i，所以 z= 2 i，所以 z 的實部為 2.12. （2018北京，5分）在復平面內，復數(shù) 口的共軛復數(shù)對應的點位于 （）A .第一象限B .第二象限 C.第三象限D .第四象限答案：D11 + i1111解析：（ 1+ i） = 2+R，其共軛復數(shù)為 1 2i，共軛復數(shù)對應的點的坐標1 i （ 1 i）（ 1+ i）2 22 2=ad bc,則符合條件3 + i1 2j = 5+ 5i 的復z zi為2， 2，該點位于第四象限，故答案選d.a b3. (2019改編，5分)定義運算 c d數(shù)z為()A . 3 i B . 1 + 3i C. 1 3i D.答案：A解析：依據(jù)題意可知2zi

9、=zi 2z= 5+ 5i.設 z= a+ bi(a,b R)，則(a+ bi)i 2(a+bi)= b 2a+ (a 2b)i = 5+ 5i,b 2a= 5,a = 3,解得*la 2b= 5,b= 1,- z= 3 i.4. (2018江蘇常州學業(yè)水平監(jiān)測，5分)若復數(shù)z滿足z2i = |z|2+ 1 (其中i為虛數(shù)單位),則 |z|= .答案：1解析：設 z= a+ bi(a, b C R), v復數(shù) z滿足 z 2i = |z|2 + 1, (a + bi) 2i= a2 + b2 + 1, 2air22a = 0,2b= a + b + 1,.v 22解得 a = 0, b= 1,

10、a + b + 1 = 2b,4izz -1A . 1B. - 1C. iD.-答案：C解析：/ z= 1 + 2i , z = 1- 2i,5. (2016全國川,5 分)若 z= 1 + 2i,則4i 4i(1 + 2i)( 1 - 2i)- 1 = 12+ 22 - 14izz -16.(經典題,1A.3C. 3答案：D5分）已知實數(shù)m, n滿足:9 = n- 3i(i 為虛數(shù)單位)，貝U 3m- 2n=(m+ 2i解析：mn + 6= 9,由題意可知 9+ 3i = (m+ 2i)(n 3i) = mn+ 6 + (2n 3m)i, 即 3m-2n 3m = 3,2n=- 3.7. （

11、2018四川南充一診，5分）如果復數(shù)老（其中i為虛數(shù)單位，b為實數(shù)）的實部和虛部互為相反數(shù)，那么b等于（）A. .2答案：C2B.22C. - 3D.22 - bi(2-bi)( 1-2i)2 - 2b - 4-b解析：=廠+廠i1+ 2i5552- bi因為復數(shù)2_b-的實部和虛部互為相反數(shù)，1+ 2i2 2b 4 b2所以 5- =-5 ，解得b=-孑故選c.8. （2019改編，5分）下列四個選項中，正確的是（）A .復平面內實軸上的點都表示實數(shù)，虛軸上的點都表示純虛數(shù) B .若復數(shù) Z1, z2 滿足 z1+ z?= 0,貝V z1= 0 且 z2= 0C .若復數(shù)Z1, z2滿足|引

12、=囤，則z1= z2D .設 z 為復數(shù)，a, b R,若 z+ a = 2z + bi，則 z + a= 2z- bi 答案：D解析：A.虛軸上的原點不表示純虛數(shù)，故A錯誤；B.當z1 = i , z2= 1時，zf + z；= 0，此時 =一 1,z2= 1，故 B 錯誤；C.當Z1 = 1,Z2=i 時，|z*= |z2|,此時zi = 1,z2=- 1,不滿足 zf= z2,故 C 錯誤；D.由 z+ a = 2z + bi，得 z = 2z bi，即 z + a = 2z- bi，故 D 正確.9. （經典題，5分）設集合C= 復數(shù), A = 實數(shù), B= 純虛數(shù)，若全集S= C,則

13、下列 結論正確的是（）A . AU B = CB . ?sA= BC . An (?sB)= ? D. B U (?sB) = C答案：D解析：由復數(shù)與實數(shù)和純虛數(shù)的關系可知A C, B C, An B = ?, AU B C,只有D豐豐豐選項正確.210. (2017山東，5分)已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù) z滿足zi = 1 + i，貝U z =()A . - 2iB . 2iC. - 2D. 2答案：A1 + i (1 + i)( i)22解析：(法一 )z= : =-= 1 i，貝卩 z = (1 i) = 2i.ii ( i)(法二)兩邊同時平方得zi ai12. (2018湖北沖刺，5

14、分)已知復數(shù)(i為虛數(shù)單位)在復平面上對應的點在虛軸上,則實數(shù)a=.答案：22 ai(2 ai)( 1 i)2 a 2 + a ,解析：=i在復平面上對應的點在虛軸上，1 + i (1 + i)( 1 i)22 2 a = 0,解得 a= 2.13. (經典題，5分)若復數(shù)z滿足3z+ z= 1 + i，其中i為虛數(shù)單位，則z=.答案：1+ 1 =(1 + i)?,- z2= 2i, z2= 2i.11 . (2015 陜西，a 3丄1A. 4 + 2-42 n1C.2 答案：5分)設復數(shù)z= (x 1)+ yi(x, y R)，若|z|w 1,則yx的概率為(1 , 1B- +2 n1 1D

15、 242 n解析：|z|=(x 1) 2+ y2 1,則(x 1)2+ y2x的概率為p(yx)= SC1 2 1X nX 1 X 1 X 142=1丄nX 12= 4 2 n4a = 1, 解析：設 z= a+ bi(a, b R)，貝U 3z+ z = 3(a+ bi) + a bi = 4a+ 2bi = 1 + i，2b = 1,解得b=1，5i14. (2018浙江模擬，4分)設i是虛數(shù)單位，若i(x+ yi) =, x, y R,則復數(shù)x+ yi2 i的共軛復數(shù)是()A . 2 iB. 2 iC.2+ iD. 2 + i答案：A解析：由 i(x+ yi) = 27，得 x+ yi

16、= (2= 2i = (2)2 2 + i) = 2+ i，復數(shù) x+ yi的共軛復數(shù)是2 i.故選A.B組（沖刺滿分）15. （2018福建模擬，5分）設 Z1,z?C,已知|引=|羽=1, 0+Z2|= 1,則|z1z?| =答案：3解析：設 z1= a+ bi, z2= c+ di (a, b, c, d R),由題設知 a?+ b?= 1, c?+ d?= 1, (a+ c)? + (b+ d)2= 1.由(a+ c)2 + (b + d)2= a2 + 2ac+ c2+ b2+ 2bd+ d2,可得 2ac+ 2bd= 1, 國一Z2f= (a c)2 + (b d)2= a?+ c

17、?+ b?+ d? (2ac+ 2bd) = 3, |zl z2|= , 3.16. (2019 改編,(1+ i) 45分）若復數(shù)z=（ 1 + 3i）3（ 1 i）2（其中i為虛數(shù)單位），則z z的值為（）11C.8答案:1詠1D.64解析：z = |z|2 =(1 + i) 4(1+ 0)，滿足 |z|= . 10,且復數(shù)(1 2i)z在復平面上對應的點在第二、四象限的角平分線上.(1)求復數(shù)z;答案：z= 3 + i解：由 |z|= 10得 a2+ b2= 10. v復數(shù)(1 2i)z= (1 2i)(a + bi) = a + 2b + (b 2a)i 在復平面 上對應的點在第二、四

18、象限的角平分線上， a + 2b+ b 2a = 0,即a = 3b.(3分) 又 a0, 3b0,即 b0.將 a= 3b 代入 a2 + b2= 10,得(3b)2+ b2= 10b2 = 10,解得 b = 1, - a = 3,. z= 3+ i.(5 分)iz=- 2,z = ( ,2) 2= 2 = i.17.（經典題,5分）已知i為虛數(shù)單位，若1 iZ=- -2，則 z100+ z50 + 1 =()10050502548+ 224 +12 z + z + 1 = ( i) + ( i) + 1 = i i + 1= i i + 1 = 1 i + 1 = i.2 + 2 .3i=1 - 3 -2晶=-2 - 2=2X( 1 + 3) =8、1 -翻 (i + 眉)(i) i(法二)(3 + i) 2=( :3+ i) 2= 3 +