數(shù)學建模論文匯編

1、蘇北數(shù)學建模聯(lián)賽試題b題 籃球比賽問題運動員比賽過程的技術表現(xiàn)是決定競賽成績的主要因素之一?；@球競賽臨場技術統(tǒng)計數(shù)據(jù)既是衡量運動員技術水平的量化指標也是判定運動隊競賽成績的客觀標準。某大學有12個學院，每個學院派出一支男子籃球隊參加校內(nèi)籃球比賽。首先進行分組賽，共分兩組，每組6支代表隊；小組賽結束后，每組選出兩支代表隊參加第二階段的決賽。附表1和附表2（附表略）分別為第一組和第二組的比賽結果。請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)，研究各個代表隊的下列問題：（1）每支代表隊的技術指標與該隊的成績之間的關聯(lián)關系。（2）按照技術指標對代表隊成績貢獻的大小，將這些技術指標進行排序。（3）找出對代表隊成績起重要作用的關鍵比

2、賽場次。（4）根據(jù)這兩個小組賽的成績，預測哪支代表隊最有可能奪冠，并將這12支代表隊的名次進行排序。（5）對每支代表隊給出幾點技術方面的改進建議，以提升該隊的競技水平?；@球比賽問題摘 要籃球是世界上公認的三大球類運動之一，在世界各地都有著廣泛而深遠的影響。在我國籃球也是一項十分普及的運動，深受廣大人民群眾尤其是青少年的喜愛。本文主要針對某大學舉辦的一次校內(nèi)籃球聯(lián)賽，討論了籃球比賽中每支參賽代表隊的各項技術指標與其比賽成績的關聯(lián)關系，并根據(jù)各項指標對球隊成績的“整體”貢獻度將其進行了排序，然后又探討了各支參賽隊伍的排名問題和影響其排名的關鍵場次問題。為此，我們先后建立了灰色系統(tǒng)關聯(lián)模型、競賽圖理

3、論排序模型和灰色理論預測模型。在灰色系統(tǒng)關聯(lián)模型中，我們定義相關度這一指標來衡量各項技術指標與比賽成績的關聯(lián)關系，構建出衡量球隊比賽成績的指標體系，并且對每支球隊的技戰(zhàn)術水平進行了簡要的分析，給出簡單的改進意見。然后應用權變理論改進該模型，使其能夠根據(jù)對球隊成績貢獻的大小將各項技術指標排序，最后得到的排序結果與實際情況十分吻合。在對各支代表隊的排序和關鍵場次的確定中，我們首先用競賽圖排序模型找出了各支球隊的關鍵比賽場次，實質(zhì)上這是一種窮舉的方法，但通過優(yōu)化我們達到了較小的算法復雜度實現(xiàn)窮舉的效果，既保證了科學性和準確性，又體現(xiàn)出效率性。然后我們通過分析，認為不同的比賽賽制將對應不同的球隊排序，

4、為此我們采用男籃世錦賽的排名方法，并且在競賽排序模型的基礎上引入灰色預測模型，預測出信電學院將最有可能奪冠，并對其他各支代表隊的排名進行了預測。具體的結果參見結果分析。最后我們還對上述各模型進行了優(yōu)化，同時探討了其他的技術指標與球隊成績相關性評價模型。關鍵字：灰色系統(tǒng)理論、灰色預測、競賽圖排序、關聯(lián)度（系數(shù)）、權變理論一、問題重述與分析1.1問題重述（略）1.2問題分析（略）二、問題假設1、參賽各隊存在客觀的真正實力；2、在每場比賽中體現(xiàn)出來的強隊對弱隊的表面實力對比服從以它們真正實力對比為中心的相互獨立的正態(tài)分布；3、題目給出的19項指標足以反映該球隊的真實實力；4、小組賽的競賽成績是球隊實

5、力的真實反映，小組賽中各項技術統(tǒng)計能夠代表球隊的技戰(zhàn)術水平；5、不存在球場不公平競爭現(xiàn)象，如裁判問題和假球問題等。三、符號說明全局符號說明如下：技術指標（因素數(shù)列）； ：基準指標（基準因素數(shù)列）；：比較指標（比較因素數(shù)列） ：場次號（時刻值）；：因素在時刻觀察得到的值； ：比較數(shù)列對基準數(shù)列 在的關聯(lián)系數(shù)；：分辨系數(shù)； ：殘差；：兩極最小差；：兩極最大差。四、模型建立與求解4.1數(shù)據(jù)的整合由于題目中的數(shù)據(jù)是在word文檔中，處理起來較為困難，根據(jù)后面模型建立與求解過程中的要求，我們首先對數(shù)據(jù)進行整合，將其導入excel，同時統(tǒng)計出每支球隊在小組賽六場比賽中的技術統(tǒng)計情況，具體表格見附錄1，表中

6、我們按照場次的先后順序排序，標注出每支球隊每場比賽的勝負關系和總的勝負關系，計算出每支球隊在全部六場小組賽中的技術統(tǒng)計的總體情況。4.2灰色系統(tǒng)模型的建立：模型i 灰色系統(tǒng)相關模型根據(jù)問題分析和灰色理論相關原理，我們首先為各項技術指標建立一個灰色系統(tǒng)相關模型。假設為系統(tǒng)的多個因素，我們在這里即是多個技術指標?，F(xiàn)在選取其中一個因素作為比較基準，可以表示為數(shù)列（稱為基準數(shù)列）：其中表示時間序號，這里即是場次號，則表示因素在時刻觀察得到的值。假設另外有個需要與基準因素比較的因素的數(shù)列（稱為比較數(shù)列）：那么，比較數(shù)列對基準數(shù)列在的關聯(lián)系數(shù)定義為：其中稱為分辨系數(shù)，和分別稱為兩極最小差和兩極最大差。一般

7、來說，分辨系數(shù)。而且越大，則關聯(lián)系數(shù)越大，分辨率也越高。反之，越小，則關聯(lián)系數(shù)越小，分辨率也就越小。關聯(lián)系數(shù)這一指標描述了比較數(shù)列與基準數(shù)列在某一時刻的關聯(lián)程度，但是每一個時刻都有一個關聯(lián)系數(shù)就顯得過于分散，難以全面比較。因此，定義比較數(shù)列對基準數(shù)列的關聯(lián)度為，作為衡量系統(tǒng)因素間的關聯(lián)程度大小的唯一指標。這里我們還要注意兩個問題，一個是在計算關聯(lián)系數(shù)和關聯(lián)度時，要求不同的技術指標數(shù)列具有相同的量綱單位，但顯然本題中的量綱不統(tǒng)一，因此就需要我們對其進一步處理。我們采用的辦法是以每支球隊的第一場比賽的各項技術統(tǒng)計為標準，將其后每場比賽的各項技術統(tǒng)計與第一場的各項技術統(tǒng)計做商，得到一個新的相對技術統(tǒng)

8、計矩陣，即為所要矩陣，我們稱其為技術指標數(shù)據(jù)的初始化，以實現(xiàn)無量綱化：如原始序列：則可以構造其初始化序列：第二個問題是關聯(lián)系數(shù)的定義公式其算出的數(shù)值均是正數(shù)，不能區(qū)分是正關聯(lián)（兩個技術指標成正比）還是負關聯(lián)（兩個技術指標成反比）。在計算的過程中，我們發(fā)現(xiàn)不區(qū)分正、負關聯(lián)，可能的出比較怪異的結果，比如失誤這一技術指標反而成為球隊取勝的重要技術指標失誤越多，勝率越大！我們采用下面的辦法來判斷是正關聯(lián)還是負關聯(lián)：取然后定義：1、若，則稱因素和是正相關的； 2、若，則稱因素和是負相關的；這樣就可以區(qū)分各項技術指標與基準指標之間的關聯(lián)度，避免出現(xiàn)上述的怪異結果。模型ii 灰色系統(tǒng)預測gm模型根據(jù)灰色理論

9、的相關原理，我們知道，一般可以用離散的隨機數(shù)經(jīng)過數(shù)的生成這一過程，變成隨機性明顯削弱的較有規(guī)律的生成數(shù)列，這樣我們就可以利用這個數(shù)列對變化過程作較長時間的描述，甚至可以確定微分方程的系數(shù)，同時用其來對將來的情況進行一定精度的預測。設有n個原始數(shù)據(jù)數(shù)列：對它們分別做一次累加生成，得到n個生成數(shù)列：如果將生成數(shù)列的時刻看成連續(xù)的變量，又將生成數(shù)列看成關于時間的函數(shù)，即，那么只要生成數(shù)列對的變化率由影響，就可以建立下面的常微分方程：這個n個變量的一階常微分方程模型記為。記（上述微分方程的參數(shù)列），又記：按照差分法把所得的常微分方程離散化，得到一個線形方程組，它的一般形式為：如果取殘差，則為了得到估計

10、值，可以解決下面的極值問題，即求使得殘差的平方和達到最小時的值。當?shù)臅r候，根據(jù)最小二乘法，可以算得：最終可以得到矩陣b為：這樣常微分方程便確定下來了。我們可以運用該模型對事物的發(fā)展趨勢進行描述，預測其發(fā)展變化情況。4.3球隊技術指標灰色關聯(lián)模型的建立與求解（解決第一問）：根據(jù)4.2中建立的灰色系統(tǒng)模型，我們來建立模型來探討每支代表隊的技術指標與該隊的成績之間的關聯(lián)關系。這里我們認為在小組賽中，球隊比賽成績的衡量是以勝負場次數(shù)目作為標準的，勝的場次越多說明該球隊成績越好，反之則說明球隊成績較差。選取的基準技術指標是球隊的勝負，勝記為1，負記為0。同時根據(jù)問題的分析2所述，選取13項技術指標來與球

11、隊的成進進行關聯(lián)分析（注：我們在計算的時候，由于復雜度不高的原因，仍是按照19個指標來進行計算）。我們以數(shù)學學院為例，來描述技術指標灰色關聯(lián)模型的建立和求解。對于其他學院我們則給出計算的結果和關聯(lián)分析。數(shù)學學院小組賽的各項技術指標統(tǒng)計如下：場次勝負2分球3分球罰球籃板球助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分中次%中次%中次%進攻防守合計1勝生物學院264163.41%52520.00%162466.66%15264110161051832勝物理學院193554.28%71546.66%283873.68%7172411201786873勝化學學院214052.50%21118.18%233369.69%10

12、23336121593714勝資源學院223956.41%1147.14%293778.37%621278211082765勝計算機學院163348.48%142653.84%142166.66%425291015187288總計5勝10418855.31%299131.86%11015371.89%421121544584703714405對各項指標數(shù)據(jù)進行初始化后得到下表：場次勝負2分球3分球罰球籃板球助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分中次%中次%中次%進攻防守合計11111111111111111111210.730.850.861.40.62.331.751.581.110.470.650.59

13、1.11.251.71.661.05310.810.980.830.40.440.911.441.371.050.670.880.80.60.751.51.830.86410.850.950.890.20.560.361.811.541.180.40.810.660.81.3111.620.92510.620.80.762.81.042.690.880.8810.270.960.7110.941.81.421.06得到矩陣a如下：111111111111111111110.730.850.861.40.62.331.751.581.110.470.650.591.11.251.71.661.0

14、510.810.980.830.40.440.911.441.371.050.670.880.80.60.751.51.830.8610.850.950.890.20.560.361.811.541.180.40.810.660.81.3111.620.9210.620.80.762.81.042.690.880.8810.270.960.7110.941.81.421.06用matlab編程實現(xiàn)上述算法，這里我們?nèi)〗?jīng)驗值，程序xiangguandu.m另附，見附錄2。算出結果如下：學院勝負2分球3分球罰球籃板球助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分中次%中次%中次%進攻防守合計數(shù)學學院5勝0.430.36

15、45.89%0.3690.39336.14%0.410.4331.05%0.470.350.470.30.430.370.470.330.41i (n=52.956)0.00 -0.65 -0.29 -0.44 2.40 0.04 1.41 -0.19 -0.29 0.07 -1.53 0.08 -0.51 -0.30 -0.06 0.90 0.80 -2.00 -0.01 采用相同的方法，就可以算出十二個學院代表隊的各項技術統(tǒng)計與其比賽成績的相關度，結果見下表：第一組學院勝負2分球3分球罰球籃板球助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分中 次%中 次%中 次%進攻防守合計數(shù)學學院5勝0.44 0.36 0.

16、46 0.37 0.40 0.36 0.41 0.44 0.31 0.47 0.35 0.47 0.30 0.44 0.37 0.47 0.34 0.41 i (n=52.956)-0.00 -0.65 -0.29 -0.44 2.40 0.04 1.41 -0.19 -0.29 0.07 -1.53 0.08 -0.51 -0.30 0.06 0.90 0.80 -2.00 -0.01 化學學院3勝2負0.39 0.49 0.45 0.47 0.48 0.40 0.61 0.53 0.52 0.42 0.77 0.55 0.54 0.50 0.57 0.46 0.49 0.36 i (n=5

17、3.05)1.00 0.70 -0.05 0.88 -0.13 -1.06 0.59 0.25 0.11 0.01 -1.57 1.18 0.38 3.50 -0.85 -0.69 0.56 12.00 0.37 物理學院3勝2負0.40 0.34 0.35 0.41 0.39 0.45 0.42 0.42 0.35 0.42 0.38 0.38 0.44 0.31 0.30 0.39 0.33 0.33 i (n=52.99)-1.00 0.45 0.59 -0.08 -0.25 0.12 -0.35 -0.53 -0.40 0.20 0.25 0.00 0.04 0.30 -0.64 -0

18、.71 0.80 -0.50 0.07 生物學院2勝3負0.44 0.47 0.34 0.45 0.44 0.43 0.34 0.42 0.47 0.40 0.41 0.41 0.44 0.40 0.45 0.41 0.40 0.41 i (n=52.72)1.00 -0.17 -0.22 0.14 -3.00 -1.09 2.25 1.00 0.45 0.60 -1.00 0.00 -0.26 0.00 -0.76 -0.47 0.25 4.00 0.01 計算機學院1勝4負0.72 0.58 0.71 0.59 0.61 0.68 0.50 0.65 0.69 0.52 0.79 0.77

19、 0.51 0.60 0.57 0.57 0.78 0.66 i (n=53.27)0.00 1.43 0.44 0.87 0.44 0.17 0.29 0.71 0.42 0.48 1.57 -0.75 -0.33 -0.47 0.14 -0.64 7.50 -0.50 0.90 資源學院1勝4負0.49 0.51 0.49 0.51 0.51 0.50 0.46 0.44 0.51 0.42 0.52 0.51 0.41 0.50 0.44 0.47 0.26 0.51 i (n=53.03)-1.00 -0.33 0.47 -0.80 -0.10 0.79 -0.66 -1.79 -1.

20、78 0.19 1.60 -0.10 0.47 1.62 0.05 -0.38 2.67 6.00 -0.51 第二組學院勝負2分球3分球罰球籃板球助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分中 次%中 次%中 次%進攻防守合計信電學院5勝0.28 0.33 0.43 0.46 0.46 0.45 0.49 0.48 0.39 0.51 0.38 0.49 0.45 0.45 0.39 0.38 0.33 0.51 i(n=53.33)0.00 0.50 0.70 0.93 0.83 0.65 0.21 -1.22 -1.48 0.63 -0.94 -0.66 -0.77 -0.58 -0.95 -0.75 -0

21、.40 -1.00 0.51 測繪學院3勝2負0.62 0.50 0.72 0.62 0.51 0.34 0.58 0.52 0.34 0.46 0.46 0.47 0.83 0.55 0.48 0.72 0.40 0.31 i(n=52.80)-1.00 0.92 0.68 -0.21 -1.42 0.38 -2.12 -0.43 -0.47 0.03 1.36 -0.68 0.07 -0.57 -0.50 -1.88 -0.64 0.00 -0.79 管理學院3勝2負0.45 0.33 0.53 0.26 0.56 0.51 0.43 0.47 0.41 0.70 0.62 0.44 0.

22、66 0.59 0.53 0.48 0.54 0.41 i(n=53.25)1.00 0.57 0.08 0.46 1.33 -1.50 7.52 0.39 -0.17 0.60 -0.76 0.95 0.02 0.64 -0.50 -0.77 -0.33 3.33 0.62 機電學院3勝2負0.32 0.33 0.34 0.46 0.37 0.44 0.31 0.36 0.39 0.37 0.39 0.43 0.31 0.32 0.37 0.37 0.36 0.32 i(n=53.04)1.00 -0.13 0.05 -0.17 2.25 0.64 1.30 0.00 -0.44 0.63

23、1.44 0.91 1.06 -0.11 0.27 0.00 -1.44 3.00 0.28 能源學院1勝4負0.74 0.63 0.68 0.65 0.62 0.63 0.75 0.63 0.80 0.67 0.78 0.78 0.56 0.68 0.56 0.63 0.42 0.73 i(n=53.59)-1.00 1.00 0.53 0.37 4.00 2.77 0.51 -0.36 -0.19 -0.26 2.80 -0.50 0.16 9.00 -0.31 -0.80 -0.75 -4.00 1.13 地質(zhì)學院5負0.87 0.87 0.76 0.73 0.83 0.76 0.75

24、0.74 0.93 0.62 0.83 0.77 0.64 0.76 0.90 0.86 0.67 0.87 i(n=52.72)-0.00 0.64 -0.18 0.77 -1.40 -0.48 -1.17 1.00 1.17 -0.12 -1.50 -1.06 -1.14 -0.75 -1.16 0.55 0.20 1.33 -0.59 4.4小組賽技術指標排序模型的建立與求解（解決第二問）：在4.3節(jié)探討完各項技術指標與各隊比賽成績的關聯(lián)關系后，我們來進一步研究一下小組賽中各項技術指標對比賽成績的貢獻大小，并依據(jù)貢獻程度給出各項技術指標的排序。這里我們認為各項指標對成績的貢獻是對小組賽整

25、體成績的貢獻，而不是對每個隊成績的貢獻，但“對整體成績的貢獻”又是由“對各個代表隊成績的貢獻”組成的一個有機的整體。因此，我們認為在采用灰色關聯(lián)模型描述了各項技術指標與各隊比賽成績的關聯(lián)關系后，還可以用這個模型來描述各項技術指標對比賽成績的貢獻大小。這里我們采用國際上公認的籃球積分規(guī)則，給出各支球隊在小組賽中的得分，并且統(tǒng)計處各支球隊在小組賽中各項技術指標的總體情況，得到下面的表格：學院積分2分球3分球罰球籃板球助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分中 次%中 次%中 次%進攻防守合計信電學院109015458.445812944.9610415168.875412017465127803817468數(shù)學學

26、院1010418855.32299131.8711015371.9421121544584703714405管理學院813424953.82218923.68713564.448012520575112775222418測繪學院89119247.43410133.6611015570.97441061504811560424410機電學院810820353.23485407110666.894712317055124733913389化學學院89017750.855013038.46415969.453511715262116724313371物理學院813022358.33010229.41

27、649468.09499914874119713810414生物學院77619339.37269327.967310470.1950116166379489155303能源學院69719350.264310939.45508161.733912716647106681611383資源學院69317852.254210639.62659568.424110114249123712611377計算機學院68817350.875315534.19649666.67491151645512470357399地質(zhì)學院56216936.695114934.23447856.4138811194312261

28、3314321經(jīng)過分析，我們認為通過求各項技術指標與積分情況的相關度，即可表示出各項技術指標對比賽成績的貢獻大小。但是，在計算中我們發(fā)現(xiàn)，僅僅采用4.3節(jié)中的算法簡單的將各項技術指標與積分的相關度求出是遠遠不夠的，首先在數(shù)據(jù)初始化的問題上就存在很大的漏洞。因為數(shù)據(jù)初始化的實質(zhì)是統(tǒng)一每個因素在每個時刻的量綱，在這個模型中我們的“時刻”是各支球隊，時刻是絕對相同的，而各個球隊卻存在著一定得差異性，這種差異性的存在將直接導致不同的相關度結果。其次，對于成績不同的球隊，其對“小組賽整體”的代表性是不同的，一般認為成績越好的球隊，其代表性應該越強。因此，就需要對前面的算法進行改進。為了解決這些問題，我們

29、將權變理論引入到灰色相關模型中，具體的思想是：step1：不考慮各個球隊間的差異，分別以每支球隊為標準，進行數(shù)據(jù)的初始化，然后按照4.3節(jié)算法進行求解，這樣得到12組相關度數(shù)據(jù)；step2：以球隊的積分與滿分10相比，商作為以這個球隊為標準進行初始化時得到的相關度數(shù)據(jù)的權值。step3：考慮正負相關問題，對加權后的數(shù)據(jù)進行符號處理，正相關為正號，負相關為負號；step4：然后對這12組數(shù)據(jù)取平均值，所得到的結果即為各項技術指標與球隊積分的相關度；step5：我們用求得的相關度作為各項技術指標對球隊成績貢獻大小的標準，對得到結果進行排序，這樣就得到了各項技術指標的貢獻度排序。按照上面的步驟，我們

30、首先以不同的標準進行數(shù)據(jù)的初始化，得到12組數(shù)據(jù)，同時給各組數(shù)據(jù)加入權值，以數(shù)學學院為例如下，其余見附錄3：初始化標準技術指標積分2分球3分球罰球籃板助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分次%次%次%合計數(shù)學學院相關度nan0.50 0.41 0.40 0.46 0.24 0.46 0.47 0.47 0.53 0.44 0.41 0.35 0.47 i-5.90 -0.78 -2.67 5.23 -0.02 -6.33 -1.35 -2.90 -4.23 1.49 1.17 -6.24 -5.89 -2.85 n647.91 權值1sign(i/n)-+-+-然后考慮正負相關問題，將12組數(shù)據(jù)整合成下表：

31、初始化標準權值2分球3分球罰球籃板助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分次%次%次%合計信電學院1.0000 0.5080 0.5760 -0.3081 0.4641 0.2495 0.4799 0.4302 0.4373 -0.4053 -0.4099 0.4077 0.3457 0.3983 數(shù)學學院1.0000 0.4980 0.4089 -0.3992 0.4587 0.2440 0.4645 0.4697 0.4698 -0.5250 -0.4431 0.4087 0.3473 0.4690 管理學院0.8000 0.2796 0.4579 -0.3370 0.4780 0.3000 0.4397

32、 0.3458 0.3168 -0.3409 -0.4290 0.4133 0.4407 0.3984 測繪學院0.8000 0.3832 0.4029 -0.3074 0.4502 0.3885 0.4145 0.4141 0.4381 -0.3179 -0.4212 0.3687 0.4242 0.4044 機電學院0.8000 0.3351 0.4482 -0.3494 0.4205 0.3806 0.4231 0.4271 0.4211 -0.3257 -0.4087 0.3863 0.3480 0.4143 化學學院0.8000 0.4702 0.4313 -0.4336 0.429

33、6 0.4904 0.4188 0.4237 0.3303 -0.3144 -0.3997 0.3692 0.3480 0.4014 物理學院0.8000 0.2706 0.4161 -0.3059 0.4480 0.4232 0.4232 0.4137 0.3087 -0.3148 -0.4001 0.3989 0.3520 0.3969 生物學院0.7000 0.2761 0.3964 -0.3261 0.4452 0.2664 0.3746 0.3374 0.4506 -0.3746 -0.3766 0.4680 0.4042 0.4396 能源學院0.6000 0.2957 0.399

34、2 -0.4269 0.3894 0.3691 0.3679 0.3696 0.3248 -0.3537 -0.3595 0.4511 0.3613 0.3676 資源學院0.6000 0.2688 0.4117 -0.4239 0.3897 0.2523 0.3728 0.3386 0.3153 -0.3613 -0.3473 0.4400 0.3613 0.3711 計算機學院0.6000 0.2667 0.3995 -0.4559 0.4092 0.2592 0.3638 0.3634 0.3073 -0.3629 -0.3477 0.3907 0.3625 0.3887 地質(zhì)學院0.5

35、000 0.3275 0.4158 -0.4713 0.4036 0.2472 0.3669 0.3375 0.3109 -0.4165 -0.3568 0.4212 0.4453 0.3692 最后進行加權平均并進行排序：初始化標準權值2分球3分球罰球籃板助攻犯規(guī)失誤搶斷蓋帽得分次%次%次%合計信電學院1.0000 0.5080 0.5760 -0.3081 0.4641 0.2495 0.4799 0.4302 0.4373 -0.4053 -0.4099 0.4077 0.3457 0.3983 數(shù)學學院1.0000 0.4980 0.4089 -0.3992 0.4587 0.2440

36、 0.4645 0.4697 0.4698 -0.5250 -0.4431 0.4087 0.3473 0.4690 管理學院0.8000 0.2237 0.3663 -0.2696 0.3824 0.2400 0.3517 0.2767 0.2534 -0.2727 -0.3432 0.3307 0.3526 0.3187 測繪學院0.8000 0.3065 0.3223 -0.2459 0.3601 0.3108 0.3316 0.3312 0.3505 -0.2543 -0.3369 0.2949 0.3394 0.3236 機電學院0.8000 0.2680 0.3586 -0.279

37、5 0.3364 0.3045 0.3385 0.3417 0.3369 -0.2606 -0.3270 0.3091 0.2784 0.3314 化學學院0.8000 0.3762 0.3451 -0.3469 0.3437 0.3923 0.3350 0.3390 0.2642 -0.2515 -0.3198 0.2953 0.2784 0.3211 物理學院0.8000 0.2165 0.3329 -0.2447 0.3584 0.3385 0.3385 0.3309 0.2470 -0.2518 -0.3201 0.3191 0.2816 0.3175 生物學院0.7000 0.193

38、3 0.2775 -0.2283 0.3117 0.1865 0.2622 0.2362 0.3154 -0.2622 -0.2636 0.3276 0.2829 0.3077 能源學院0.6000 0.1774 0.2395 -0.2561 0.2337 0.2214 0.2207 0.2217 0.1949 -0.2122 -0.2157 0.2707 0.2168 0.2206 資源學院0.6000 0.1613 0.2470 -0.2543 0.2338 0.1514 0.2237 0.2032 0.1892 -0.2168 -0.2084 0.2640 0.2168 0.2226 計

39、算機學院0.6000 0.1600 0.2397 -0.2735 0.2455 0.1555 0.2183 0.2180 0.1844 -0.2177 -0.2086 0.2344 0.2175 0.2332 地質(zhì)學院0.5000 0.1638 0.1362 -0.2356 0.1322 0.1236 0.1835 0.1687 0.1555 -0.2082 -0.1784 0.2106 0.2227 0.1846 平均值0.2711 0.3208 -0.2785 0.3217 0.2432 0.3123 0.2973 0.2832 -0.2782 -0.2979 0.3061 0.2817

40、0.3040 因素排序9 212 1 10 3 6 7 11 13 4 8 5 最終的結果是：按照對比賽成績貢獻度由大到小進行排序：3分球命中率、2分球命中率、罰球命中率、搶斷、得分、籃板、助攻、蓋帽、2分球投籃次數(shù)、犯規(guī)、三分球投籃次數(shù)、失誤。4.5競賽圖法確定關鍵場次和小組內(nèi)名次（解決第三問）根據(jù)問題分析5中所述，我們把導致前兩名發(fā)生改變的比賽作為關鍵場次，因此排序是我們討論這個問題的關鍵。那么如何較為科學地根據(jù)現(xiàn)有信息對各隊進行排名呢？我們嘗試用競賽圖的方法解決這個問題。1競賽圖與排名在一些循環(huán)賽中，經(jīng)常要按比賽結果確定參賽者的名次，競賽圖在這一問題中有很好的應用。 當圖g =(v，e)

41、的邊集e中的邊(u，v)是v中元素的有序對所組成的集合時，g 稱為有向圖。沒有圈與平行邊的圖稱為簡單圖，任意兩個相異頂點都相鄰的簡單圖稱為完全圖，完全圖的定向圖稱為競賽圖。定理：任一階競賽圖都存在完全路徑。證明（數(shù)學歸納法）：時，如圖，命題真；：設時命題真；：當時，設為頂點集，記，為圖關于的生成子圖；由歸納假設，在中存在完全路徑，不失一般性，設為中的一條完全路徑，考慮頂點與的鄰接關系，有如下三種情形：(1)為中的一條完全路徑；(2)為中的一條完全路徑：(3)為中的一條完全路徑。：定義1 雙向連通圖：稱有向圖為雙向連通的，若對任意兩個不同頂點，在該有向圖中既有從頂點到頂點的有向路徑，也有從頂點到

42、頂點的有向路徑。性質(zhì)1：雙向連通圖的鄰接矩陣為素陣：即存在整數(shù)，使得。另外，給出如下定理：perron-frobenius定理：素陣的最大特征根為正單根，對應正特征向量，且有（為所有分量均為1的維向量，也可以被表示為）。因此，對于雙向連通的競賽圖，可以計算其鄰接矩陣的最大特征根以及相應的正特征向量，按照該特征向量分量的數(shù)值大小對各個頂點（參賽隊）排名。2一般排名問題的算法對一般的排名問題，可以按下述步驟進行計算：(1)構造有向競賽圖g =(v,e)：將每個參賽者(隊)作為g 的一個頂，即v=v1,v2,vn；當且僅當vj勝vi時(vi,vj)為邊集e中的一條邊。(2)將g的所有雙向連通分圖排序

43、為g1,g2,.,gn：使得當iaj, 則以ti為尾、tj為頭建邊，如果aiaj, 則建邊(ti, tj) .如果ai=aj, 再比較 與 , 以數(shù)值大的隊為尾建邊，否則ti與tj兩隊隨機(例如抽簽)決定勝負并建邊，從而得鄰接矩陣。(4)根據(jù)鄰接陣得到競賽圖g。 然后再根據(jù)一般排名問題的算法得出結果。4確定關鍵場次和各小組名次的算法（程序另附，見附錄2）step1 根據(jù)現(xiàn)有成績采用競賽圖的方法對小組分別進行排序。若出現(xiàn)特征值相同的情況，則計算凈勝分來決定名次。第一組鄰接陣為：第一組鄰接陣為：，根據(jù)前述算法可得主特征向量為 ：排名為： 第一名數(shù)學學院第二名化學學院第三名物理學院第四名生物學院第五

44、名資源學院第六名計算機學院數(shù)學學院與化學學院出線。第二組鄰接陣為：，根據(jù)前述算法可得主特征向量為：第一名信電學院機電學院機電學院機電學院學院信電學院信電學院第二名機電學院機電學院機電學院機電學院第三名管理學院第四名測繪學院第五名能源學院第六名地質(zhì)學院機電學院機電學院機電學院此時應考慮凈勝分于是排名為：信電學院與機電學院出線。step 2 在原有的鄰接陣的基礎上每次改變一場比賽的勝負關系，再次排名，分析此時的排名與原來的名次的差別。如這兩支球隊中有至少一支從前兩名掉至后四名或反之，則稱這場比賽為該支球隊的關鍵場次。第一組結果為：學院關鍵比賽場次本隊參與本隊未參與1數(shù)學學院機電學院機電學院機電學院

45、無2物理學院機電學院機電學院機電學院學院信電學院信電學院1-2 2-33-4 3-53化學學院2-3 3-4 3-51-2 1-64生物學院無 5計算機學院無6資源學院機電學院機電學院機電學院1-6無注：1.數(shù)字分別代表各個學院2“本隊參與”（紅色字體）的比賽為該隊參加的比賽，稱為關鍵比賽；“本隊未參與”（藍色字體）的比賽為該隊未參加但對其能否出線有很大影響的比賽，稱為次關鍵比賽。結果分析如下：(1)數(shù)學學院：戰(zhàn)績?yōu)槲鍒鋈珓?，任何一場比賽的失利都不會將?shù)學學院擠出前兩名，因此沒有對數(shù)學學院成績起重大作用的關鍵比賽場次。(2)物理學院：戰(zhàn)績?yōu)?勝2負，假設它戰(zhàn)勝數(shù)學學院和化學學院，它就可以進前兩名，從而出線。另一方面，如果化學學院在與生物學院、計算機學院的比賽中輸?shù)羧魏我粓觯瑒t物理學院即可躋身第二，進而出線。所以對物理學院成績起重大作用的關鍵比賽場次有兩場：數(shù)學學院vs物理學院、物理學院vs化學學院；次關鍵比賽有兩場：化學學院vs生物學院、化學學院vs計算機學院。(3)化學學院：戰(zhàn)績?yōu)?勝2負，只是它比物理學院戰(zhàn)勝的對手更強一些，因而