(2021年整理)圓錐曲線幾何性質(zhì)總匯

1、圓錐曲線幾何性質(zhì)總匯圓錐曲線幾何性質(zhì)總匯 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（圓錐曲線幾何性質(zhì)總匯）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來(lái)便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺(jué)得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為圓錐曲線幾何性質(zhì)總匯的全部?jī)?nèi)容。17圓錐曲線的幾何性質(zhì)xyof11f2ab一、橢圓的幾何性質(zhì)(以+=1（ab0）為例）1、abf2的周長(zhǎng)為4a（定值)證明：由橢圓的定

2、義即2、焦點(diǎn)pf1f2中：xyof1f22p（1）spf1f2=(2)（spf1f2）max= bc（3)當(dāng)p在短軸上時(shí),f1pf2最大證明:（1）在中 (2）（spf1f2）max =（3 xyof1f2pm當(dāng)=0時(shí) 有最小值 即f1pf2最大3、 過(guò)點(diǎn)f1作pf1f2的p的外角平分線的垂線，垂足為m ,則m 的軌跡是x2+y2=a2證明：延長(zhǎng)交于，連接由已知有 為中點(diǎn) =所以m的軌跡方程為 xyof1f2p 4、以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y2=a2內(nèi)切證明：取的中點(diǎn)，連接.令圓的直徑,半徑為 = 圓與圓內(nèi)切 以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y2=a2內(nèi)切xyof1

3、f2piiir5、任一焦點(diǎn)pf1f2的內(nèi)切圓圓心為i，連結(jié)pi延長(zhǎng)交長(zhǎng)軸于r，則 ir：ip=e證明：證明：連接由三角形內(nèi)角角平分線性質(zhì)有 yxof1f2ab6、以任一焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相離。證明：令到準(zhǔn)線的距離為以為直徑的圓的圓心為到準(zhǔn)線的距離為。 以任一焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相離7、a為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，p在橢圓上，則：（pa+pf2）max =2a+af1（pa+pf2）min =2a-af1xyof1f2ppa證明:連接 （pa+pf2）max =2a+af1（pa+pf2)min =2aaf1xyofa8、a 為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，p是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（pa+）min = a到右準(zhǔn)

4、線的距離證明：設(shè)到右準(zhǔn)線的距離d，由橢圓的第二定義有（pa+）min = = a到右準(zhǔn)線的距離。9、焦點(diǎn)pf1f2的旁心在直線 x=a 上.證明：令i與pf1f2三邊所在的直線相切于m、n、axyof1f2pniia2im 即為橢圓頂點(diǎn)。 焦點(diǎn)pf1f2的旁心在直線 x=a 上10、p是橢圓上任意一點(diǎn)，pf2的延長(zhǎng)線交右準(zhǔn)線于e，k是準(zhǔn)線上另一任意點(diǎn),連結(jié)pk交橢圓于q，則kf2平分ef2qxyof1f2ekqp證明：令p，q到準(zhǔn)線的距離為由三角形外角平分線性質(zhì)定理有kf2平分ef2qxyofba11、證明：令當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線方程為 = 當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，xyofbap12、ab是橢圓的任

5、意一弦，p是ab中點(diǎn),則(定值）證明：令 ，則 ， 13、橢圓的短軸端點(diǎn)為b1、b2，p是橢圓上任一點(diǎn)，連結(jié)b1p、b2p分別交長(zhǎng)軸于n、m兩點(diǎn),則有omon =a2證明:xyonmb2pb1 由于、共線 由于、n共線 xyofna2pa1m14、橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為a1、a 2，p是橢圓上任一點(diǎn)，連結(jié)a1p、a2p并延長(zhǎng)，交一準(zhǔn)線于n、m兩點(diǎn)，則m、n與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的焦點(diǎn)張角為900證明：令, 由于、共線 由于共線 m、n與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的焦點(diǎn)張角為900yxom1f2ab15、過(guò)橢圓準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作橢圓和切線，切點(diǎn)弦ab過(guò)該準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn).證明：設(shè) 則的方程為即 必過(guò)點(diǎn)16、橢圓的光學(xué)性質(zhì)：過(guò)一焦點(diǎn)的光線

6、經(jīng)橢圓反射后必過(guò)另一焦點(diǎn)。證明:設(shè)，則過(guò)點(diǎn)的切線：，直線的法線交軸于直線的法向量為：yxof1f2plm同理 同理 即過(guò)一焦點(diǎn)的光線經(jīng)橢圓反射后必過(guò)另一焦點(diǎn)。（1）f1f2p二、雙曲線的幾何性質(zhì)（均以 為例：）（1）焦點(diǎn)三角形面積:f1f2pmxy（2）(2)、過(guò)作f1pf2的內(nèi)角平行線的重線垂足m的軌跡是f1f2pyx(3)(3）、以焦半徑為直徑作圓長(zhǎng)的焦半徑為直徑作圓與內(nèi)切，小的圓與外切。f1f2ayx(4)b(4)、以焦點(diǎn)為直徑作圓與該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交f1f2pyx(5)i(5)、焦點(diǎn)pf1f2的內(nèi)切圓心橫生標(biāo)為a即與實(shí)軸的切點(diǎn)一定是實(shí)軸端點(diǎn)(6)焦點(diǎn)弦為直徑的圓被相應(yīng)準(zhǔn)線截得圓弧所對(duì)的

7、圓心角為定值mcn2arccosf1f2byx(6)camnf1f2pyx(7)a（7)、a為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)p為雙曲線上動(dòng)點(diǎn)=+2af1f2pyx(8)ab（8)、如圖：a為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，p是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),等于a到右準(zhǔn)線的距離f1f2pyx(9)（9）、焦點(diǎn)到漸近線的距離等于bf1f2pyx(10)ab (10)、雙曲線上的任上點(diǎn)到兩漸近線的距離之積等于定值f1f2pyx(11)abo(11)、p是弦ab中點(diǎn)kk定值(12）、p為雙線上任一點(diǎn)過(guò)p點(diǎn)作兩漸近線的平行線與漸近線圍成的平行四邊形面積等于定值abf1f2pyx(12)monyf1f2pmx（13）12 （13)、過(guò)p的切線平分f1

8、pf2（光學(xué)性質(zhì)）即經(jīng)過(guò)一焦點(diǎn)的光線被雙曲線反射，反射光線的下長(zhǎng)線過(guò)另一焦點(diǎn)f1f2yx(14)(14）雙曲線與漸近線把平面分成5部分雙曲線上的點(diǎn) 漸近線上的點(diǎn)區(qū)域的點(diǎn) 區(qū)域的點(diǎn)區(qū)域的點(diǎn)過(guò)漸近線上的點(diǎn)(除中心）只能作一條切線，過(guò)中心無(wú)切線，沒(méi)有與兩支都相切的切線過(guò)區(qū)域的點(diǎn)作切線分別在兩支上,過(guò)區(qū)域的點(diǎn)作切線切點(diǎn)在同一支上,過(guò)區(qū)域的點(diǎn)沒(méi)切線，雙曲線的切線斜率，區(qū)域、的點(diǎn)可作弦的中點(diǎn),中心是任意過(guò)中心的弦的中點(diǎn),漸近線上（除中心），雙曲線上，區(qū)域的點(diǎn)不可能是弦中點(diǎn)f1f2yx(15)abdc（15)直線l與雙曲線的漸近線交于a、b兩點(diǎn),與雙曲線交于c、d兩點(diǎn),則ac=bd三、拋物線的幾何性質(zhì)均以拋物線x=-p/2fyxap(1) 如圖：a為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，p是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，等于a到準(zhǔn)線的距離（2） 過(guò)拋物線焦點(diǎn)f作弦ab，其中a(x1,y1)，b（x2，y2）則有： x=-p/2fyxab 以ab為直徑的圓與準(zhǔn)線相切（3）過(guò)拋物線頂點(diǎn)作任意互相垂直的弦oa、ob，則