帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一個(gè)有用結(jié)論

1、帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一個(gè)有用結(jié)論 在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)有這樣的問(wèn)題：一個(gè)圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,帶電粒子從圓周上一點(diǎn)沿垂直于磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng),若計(jì)算得粒子的軌道半徑與圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑相同,則這些粒子將沿什么方向射出磁場(chǎng)?AO1OxvyvO2圖1 如圖1所示，一帶電粒子以任意角從圓周上一點(diǎn)O沿垂直于磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，若粒子的軌道半徑與圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑相同時(shí)，軌道圓弧與磁場(chǎng)區(qū)域圓弧對(duì)應(yīng)的兩條半徑線組成平行四邊形（即四邊形OO1AO2為平行四邊形），帶電粒子的速度方向總垂直于半徑，因此帶電粒子射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向都平行于射入點(diǎn)磁場(chǎng)區(qū)域圓的切線（即平行于y軸），所以所有帶電粒子都以平行于入射點(diǎn)磁場(chǎng)區(qū)域圓

2、的切線的方向成平行線射出磁場(chǎng)。Bx圖2E30Oy當(dāng)帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑與圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑相同時(shí)，所有帶電粒子都以平行于入射點(diǎn)磁場(chǎng)區(qū)域圓的切線的方向成平行線射出磁場(chǎng)；相反，若帶電粒子以平行的速度射入磁場(chǎng)，這些帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)將會(huì)聚通過(guò)平行速度方向的圓形區(qū)域切線與圓的切點(diǎn)。例1 如圖2所示，真空中有（r，0）為圓心，半徑為r的圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里，在y=r的虛線上方足夠大的范圍內(nèi)，有方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，從O點(diǎn)向不同方向發(fā)射速率相同的質(zhì)子，質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡均在紙面內(nèi)，設(shè)質(zhì)子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑也為r，已知質(zhì)子的電量為e

3、，質(zhì)量為m，不計(jì)重力及阻力的作用，求（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小。 （2）速度方向沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的質(zhì)子， 到達(dá)y軸所需的時(shí)間。 （3）速度方向與x軸正方向成30角（如圖中所示）射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)。解：（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有 可得 （2）質(zhì)子沿x軸正向射入磁場(chǎng)后經(jīng)1/4圓弧后以速度v垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 進(jìn)入電場(chǎng)后做拋物線運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)r后到達(dá)y軸，因此有 時(shí)間為 O1vBx30OEy圖3O2（3）質(zhì)子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)120角后從P點(diǎn)垂直電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)，如圖3所示。P點(diǎn)距y軸的距離 因此可得質(zhì)子從進(jìn)入電場(chǎng)至到達(dá)y軸所需時(shí)間為 質(zhì)子在

4、電場(chǎng)中沿y軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，因此有 質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為 例2 如圖4所示的直角坐標(biāo)系中,在直線x= -2L0到y(tǒng)軸區(qū)域內(nèi)存在著兩個(gè)大小相等、方向相反的有界勻強(qiáng)電場(chǎng),其中x軸上方的電場(chǎng)方向沿y軸負(fù)方向,x軸下方的電場(chǎng)方向沿y軸正方向.在電場(chǎng)左邊界上A(-2L0,-L0)到C(-2L0,0)區(qū)域內(nèi),連續(xù)分布著電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子.從某時(shí)刻起由A點(diǎn)到C點(diǎn)間的粒子,依次連續(xù)以相同的速度v0沿x軸正方向射入電場(chǎng).若從A點(diǎn)射入的粒子恰好從y軸上的(0,L0)， 沿x軸正方向射出電場(chǎng),其軌跡如圖中虛線所示.不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用.求：ACx= -2L0E圖4v0Ex=2L0xyv

5、0O(1)求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E;(2)求在AC間還有哪些位置的粒子,通過(guò)電場(chǎng)后也能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)?(3)若以直線x=2L0上的某點(diǎn)為圓心的圓形區(qū)域內(nèi),分布著垂直于xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),使沿x軸正方向射出電場(chǎng)的粒子,經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后,都能通過(guò)直線x=2L0與圓形磁場(chǎng)邊界的一個(gè)交點(diǎn)處,而便于被收集,則磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑是多大?相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是多大?解:(1)從A點(diǎn)射出的粒子,沿x軸方向一直做勻速直線運(yùn)動(dòng),沿y軸方向先勻加速,后勻減速到零,根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡和對(duì)稱(chēng)性可得 x軸方向 y軸方向 聯(lián)立、,解得 (2)粒子的運(yùn)動(dòng)具有周期性.設(shè)從距離C點(diǎn)y處射出的粒子通過(guò)電場(chǎng)后將沿x軸正方向射出,粒子第一次到達(dá)x軸用時(shí)為t1,則有 聯(lián)立、,解得滿足條件的粒子縱坐標(biāo)為 (3)根據(jù)上式可知: 當(dāng)n=1時(shí),粒子射出時(shí)縱坐標(biāo)為y1=L0 當(dāng)n=2時(shí),粒子射出時(shí)縱坐標(biāo)為 當(dāng)n3時(shí),沿x軸正方向射出的粒子分布在y1到y(tǒng)2之間. CAEv0OEx=2L0xyv0x= -2L0O1O2PQ