高觀點(diǎn)下的部分中學(xué)數(shù)學(xué)問題--林妙紅

1、作業(yè)標(biāo)題：期末考核題目作業(yè)要求： 就你認(rèn)為的某個(gè)具有高等數(shù)學(xué)背景的中學(xué)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行討論，并寫成一篇3000字以上的論文。高觀點(diǎn)下的部分中學(xué)數(shù)學(xué)問題 林妙紅 摘要:隨著高中新課程改革的深入，大學(xué)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容被引入或者介紹了很多，如選修4部分。中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)是密不可分的，若站在更高的視角(高等數(shù)學(xué))來審視、理解初等數(shù)學(xué)顯得明了簡單了。隨著高考命題自主化的深入，越來越多的省和地區(qū)開始嘗試自己命題，而在命題組中高校教師占很重要的地位。他們?cè)诿}時(shí)，會(huì)受到自身研究氛圍的影響，有關(guān)高等數(shù)學(xué)背景的問題會(huì)逐漸增加豐富起來。本文運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)分析初等數(shù)學(xué)，著重用例子把初等數(shù)學(xué)問題用高等數(shù)學(xué)解法來解答，

2、從中找到兩者的聯(lián)系。關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；初等數(shù)學(xué)；函數(shù)的拐點(diǎn)問題；函數(shù)的凸凹性；分解因式；數(shù)列；不等式 一、引言隨著高中課程的深入改革，大學(xué)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容被引入了很多，如選修部分。而實(shí)際上在必修部分新增的內(nèi)容就已足夠值得關(guān)注，這些內(nèi)容的變化很有可能是高考試卷今后命題的趨勢。比如導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容就豐富了很多。1、函數(shù)的拐點(diǎn)問題例1（2007湖南文21）已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)（II）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式解析：（II）思路一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是，即，因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處過的圖象，所以在兩邊附近

3、的函數(shù)值異號(hào)，則不是的極值點(diǎn)而，且若，則和都是的極值點(diǎn)所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，于是存在（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則，所以，又由，得，故點(diǎn)評(píng) 本題中“在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象”實(shí)際上是指點(diǎn)A處是函數(shù)的拐點(diǎn)。有關(guān)拐點(diǎn)的問題，在講解極值點(diǎn)內(nèi)容時(shí)舉的最多的例子就是函數(shù)。在處雖然導(dǎo)函數(shù)值為0，但不是極值點(diǎn)，左右兩邊的單調(diào)性相同。從數(shù)來看，使導(dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)方程的偶次重根。所以本例中可知是重根。2、函數(shù)的凸凹性例2.若對(duì)所有的都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.解析：,設(shè)則 , 由得。注意

4、到F(0)=0，若在定義域有極值則比在區(qū)間(0,+)外.即另解：f(x)的示意圖如圖，由圖可知直線y=ax在區(qū)間(0,+)上恒在y=f(x)圖像下方，所以a1.點(diǎn)評(píng)：本題注意的圖像過定點(diǎn)(0,0)考慮數(shù)形結(jié)合就會(huì)帶來一個(gè)問題：雖然可以證明函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，但是遞增的形式是類似還是類似即函數(shù)的凸凹性。我們也可以通過再求導(dǎo)，探討切線斜率的增減性來確定函數(shù)圖像遞增的趨勢即凸凹性。二、用高等數(shù)學(xué)思想思想剖析初等數(shù)學(xué)問題更直觀更明了初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，許多初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容都是高等數(shù)學(xué)中的模型。如初等代數(shù)中的代數(shù)式、方程、數(shù)系、函數(shù)等，都是數(shù)學(xué)模型。高等數(shù)學(xué)正是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。高等數(shù)學(xué)

5、與初等數(shù)學(xué)之間有著必然的聯(lián)系，許多初等數(shù)學(xué)無法解答的問題在高等數(shù)學(xué)中得以解決。2.1因式分解問題因式分解是一種重要的恒等變形，它的方法很多，技巧性很強(qiáng)，不易掌握，如用高觀點(diǎn)來解決這類問題則可達(dá)到化難為易的效果。例1把分解因式。用初等數(shù)學(xué)方法，需要對(duì)上式拆項(xiàng)。即：顯然上式分解有一定難度，介利用微分法有助于找重因式;先對(duì)求導(dǎo)得，因此可知原式必有三重因式即：。除了利用微分法可以幫助分解因式，還可以利用行列式的方法。引理1（一元多項(xiàng)式）設(shè)是數(shù)域F上的一元多項(xiàng)式則= 證明（參見文獻(xiàn)2）。引理2利用三階行列式的平行線法，可很快算出循環(huán)行列式的值；設(shè)A=，則證明（參見文獻(xiàn)1）。例2分解多項(xiàng)式 。用初等數(shù)學(xué)方

6、法，及之前的微分法都不易分解，但利用引理1，用行列式的方法會(huì)較易求得。解：由引理1可得，原式= = = = （行列式的計(jì)算原理參見文獻(xiàn)3）例3因式分解 。解：由引理2知,則由上兩例可知,利用行列式也可使某些因式分解問題簡化。2.2數(shù)列問題引理3 如果行列式中有兩兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素成比例,則此行列式等于零.證明(參見文獻(xiàn)1)由引理3，可知若不相等的三數(shù)成等差數(shù)列，且則也成等差數(shù)列。推論1，設(shè)分別是一等差數(shù)列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)的充要條件是。證：充分性，由 ， 知 三點(diǎn)共線，不妨設(shè)該直線的方程為了，得三數(shù)所在數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可知是以為通項(xiàng)的等差數(shù)列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)。必要性，已知，分別是一等差數(shù)

7、列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，設(shè)它們所在的數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，所以，例4已知等差數(shù)列的第項(xiàng)為，第項(xiàng)為（0）， 求。解：設(shè)等差數(shù)列的第項(xiàng)為，由推論1得得 即推論2，若分別為一公差0的等差數(shù)列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，則分別是另一等差數(shù)列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)的充要條件是 證明（參見文獻(xiàn)2）。例5:已知某一三角形三邊成等差數(shù)列，三邊長倒數(shù)，也成等差數(shù)列，問此三角形的形狀。解，成等差數(shù)列，也成等差數(shù)列從而得或或，又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列故，所以此三角形為等邊三角形。2.3不等式的的問題利用中值定理解中學(xué)數(shù)學(xué)中的不等式例7 證明:當(dāng) 時(shí), 不等式在時(shí)成立。分析:設(shè)則當(dāng) 時(shí), 對(duì)在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理, 有, 當(dāng) 時(shí), 故

8、 從而得證。此例若考慮中學(xué)解法, 需將 展開, 經(jīng)過討論, 再適當(dāng)放大和縮小后得出結(jié)果。例8證明:當(dāng)時(shí),。此題可用中值定理證,也可用的單調(diào)性來證.證明:設(shè)則在上連續(xù),在上可導(dǎo),由拉格朗日定理知在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得,即從例7,8 可以看出, 利用中值定理來證明不等式, 較初等解法要相對(duì)簡單, 同時(shí)可以得到一些常用的公式。3、 總結(jié) 高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別在于研究對(duì)象和方法上的不同：初等數(shù)學(xué)研究的是規(guī)則、平直的幾何對(duì)象和均勻有限過程的常量，亦稱常量數(shù)學(xué)，思想方法上片面、孤立、靜止地考慮問題；高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上研究的是不規(guī)則、彎曲的幾何對(duì)象和非均勻無限變化過程的變量，思想方法上是在變化運(yùn)動(dòng)中考慮問題，也就是極限的方法。高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)因其所處歷史時(shí)期不同，因此研究對(duì)象不同，研究方法不同。人們要隨著這種不同轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)時(shí)的思想方法，把初等數(shù)學(xué)的片面、孤立、靜止的思想方法轉(zhuǎn)變成在變化運(yùn)動(dòng)中考慮問題的極限方法，這樣就能很快