高觀點下的部分中學數學問題--林妙紅

1、作業(yè)標題：期末考核題目作業(yè)要求： 就你認為的某個具有高等數學背景的中學數學問題進行討論，并寫成一篇3000字以上的論文。高觀點下的部分中學數學問題 林妙紅 摘要:隨著高中新課程改革的深入，大學高等數學的內容被引入或者介紹了很多，如選修4部分。中學數學與高等數學是密不可分的，若站在更高的視角(高等數學)來審視、理解初等數學顯得明了簡單了。隨著高考命題自主化的深入，越來越多的省和地區(qū)開始嘗試自己命題，而在命題組中高校教師占很重要的地位。他們在命題時，會受到自身研究氛圍的影響，有關高等數學背景的問題會逐漸增加豐富起來。本文運用高等數學的觀點分析初等數學，著重用例子把初等數學問題用高等數學解法來解答，

2、從中找到兩者的聯系。關鍵詞：高等數學；初等數學；函數的拐點問題；函數的凸凹性；分解因式；數列；不等式 一、引言隨著高中課程的深入改革，大學高等數學的內容被引入了很多，如選修部分。而實際上在必修部分新增的內容就已足夠值得關注，這些內容的變化很有可能是高考試卷今后命題的趨勢。比如導數部分內容就豐富了很多。1、函數的拐點問題例1（2007湖南文21）已知函數在區(qū)間，內各有一個極值點（II）當時，設函數在點處的切線為，若在點處穿過函數的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函數的表達式解析：（II）思路一：由知在點處的切線的方程是，即，因為切線在點處過的圖象，所以在兩邊附近

3、的函數值異號，則不是的極值點而，且若，則和都是的極值點所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，于是存在（）當時，當時，；或當時，當時，設，則當時，當時，；或當時，當時，由知是的一個極值點，則，所以，又由，得，故點評 本題中“在點處穿過函數的圖象”實際上是指點A處是函數的拐點。有關拐點的問題，在講解極值點內容時舉的最多的例子就是函數。在處雖然導函數值為0，但不是極值點，左右兩邊的單調性相同。從數來看，使導函數所對應方程的偶次重根。所以本例中可知是重根。2、函數的凸凹性例2.若對所有的都有成立，則實數的取值范圍是_.解析：,設則 , 由得。注意

4、到F(0)=0，若在定義域有極值則比在區(qū)間(0,+)外.即另解：f(x)的示意圖如圖，由圖可知直線y=ax在區(qū)間(0,+)上恒在y=f(x)圖像下方，所以a1.點評：本題注意的圖像過定點(0,0)考慮數形結合就會帶來一個問題：雖然可以證明函數是單調遞增函數，但是遞增的形式是類似還是類似即函數的凸凹性。我們也可以通過再求導，探討切線斜率的增減性來確定函數圖像遞增的趨勢即凸凹性。二、用高等數學思想思想剖析初等數學問題更直觀更明了初等數學是高等數學的基礎，許多初等數學的內容都是高等數學中的模型。如初等代數中的代數式、方程、數系、函數等，都是數學模型。高等數學正是在初等數學的基礎上發(fā)展起來的。高等數學

5、與初等數學之間有著必然的聯系，許多初等數學無法解答的問題在高等數學中得以解決。2.1因式分解問題因式分解是一種重要的恒等變形，它的方法很多，技巧性很強，不易掌握，如用高觀點來解決這類問題則可達到化難為易的效果。例1把分解因式。用初等數學方法，需要對上式拆項。即：顯然上式分解有一定難度，介利用微分法有助于找重因式;先對求導得，因此可知原式必有三重因式即：。除了利用微分法可以幫助分解因式，還可以利用行列式的方法。引理1（一元多項式）設是數域F上的一元多項式則= 證明（參見文獻2）。引理2利用三階行列式的平行線法，可很快算出循環(huán)行列式的值；設A=，則證明（參見文獻1）。例2分解多項式 。用初等數學方

6、法，及之前的微分法都不易分解，但利用引理1，用行列式的方法會較易求得。解：由引理1可得，原式= = = = （行列式的計算原理參見文獻3）例3因式分解 。解：由引理2知,則由上兩例可知,利用行列式也可使某些因式分解問題簡化。2.2數列問題引理3 如果行列式中有兩兩行(列)的對應元素成比例,則此行列式等于零.證明(參見文獻1)由引理3，可知若不相等的三數成等差數列，且則也成等差數列。推論1，設分別是一等差數列的第項，第項，第項的充要條件是。證：充分性，由 ， 知 三點共線，不妨設該直線的方程為了，得三數所在數列的通項公式為，可知是以為通項的等差數列的第項，第項，第項。必要性，已知，分別是一等差數

7、列的第項，第項，第項，設它們所在的數列首項為，公差為，所以，例4已知等差數列的第項為，第項為（0）， 求。解：設等差數列的第項為，由推論1得得 即推論2，若分別為一公差0的等差數列的第項，第項，第項，則分別是另一等差數列的第項，第項，第項的充要條件是 證明（參見文獻2）。例5:已知某一三角形三邊成等差數列，三邊長倒數，也成等差數列，問此三角形的形狀。解，成等差數列，也成等差數列從而得或或，又因為成等差數列故，所以此三角形為等邊三角形。2.3不等式的的問題利用中值定理解中學數學中的不等式例7 證明:當 時, 不等式在時成立。分析:設則當 時, 對在區(qū)間上應用拉格朗日中值定理, 有, 當 時, 故

8、 從而得證。此例若考慮中學解法, 需將 展開, 經過討論, 再適當放大和縮小后得出結果。例8證明:當時,。此題可用中值定理證,也可用的單調性來證.證明:設則在上連續(xù),在上可導,由拉格朗日定理知在內至少存在一點,使得,即從例7,8 可以看出, 利用中值定理來證明不等式, 較初等解法要相對簡單, 同時可以得到一些常用的公式。3、 總結 高等數學與初等數學的區(qū)別在于研究對象和方法上的不同：初等數學研究的是規(guī)則、平直的幾何對象和均勻有限過程的常量，亦稱常量數學，思想方法上片面、孤立、靜止地考慮問題；高等數學在初等數學的基礎上研究的是不規(guī)則、彎曲的幾何對象和非均勻無限變化過程的變量，思想方法上是在變化運動中考慮問題，也就是極限的方法。高等數學與初等數學因其所處歷史時期不同，因此研究對象不同，研究方法不同。人們要隨著這種不同轉變學習時的思想方法，把初等數學的片面、孤立、靜止的思想方法轉變成在變化運動中考慮問題的極限方法，這樣就能很快