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文檔簡介
1、作業(yè)標(biāo)題:期末考核題目作業(yè)要求: 就你認(rèn)為的某個(gè)具有高等數(shù)學(xué)背景的中學(xué)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行討論,并寫成一篇3000字以上的論文。高觀點(diǎn)下的部分中學(xué)數(shù)學(xué)問題 林妙紅 摘要:隨著高中新課程改革的深入,大學(xué)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容被引入或者介紹了很多,如選修4部分。中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)是密不可分的,若站在更高的視角(高等數(shù)學(xué))來審視、理解初等數(shù)學(xué)顯得明了簡單了。隨著高考命題自主化的深入,越來越多的省和地區(qū)開始嘗試自己命題,而在命題組中高校教師占很重要的地位。他們?cè)诿}時(shí),會(huì)受到自身研究氛圍的影響,有關(guān)高等數(shù)學(xué)背景的問題會(huì)逐漸增加豐富起來。本文運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)分析初等數(shù)學(xué),著重用例子把初等數(shù)學(xué)問題用高等數(shù)學(xué)解法來解答,
2、從中找到兩者的聯(lián)系。關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué);初等數(shù)學(xué);函數(shù)的拐點(diǎn)問題;函數(shù)的凸凹性;分解因式;數(shù)列;不等式 一、引言隨著高中課程的深入改革,大學(xué)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容被引入了很多,如選修部分。而實(shí)際上在必修部分新增的內(nèi)容就已足夠值得關(guān)注,這些內(nèi)容的變化很有可能是高考試卷今后命題的趨勢。比如導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容就豐富了很多。1、函數(shù)的拐點(diǎn)問題例1(2007湖南文21)已知函數(shù)在區(qū)間,內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)(II)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為,若在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象(即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng),經(jīng)過點(diǎn)時(shí),從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)),求函數(shù)的表達(dá)式解析:(II)思路一:由知在點(diǎn)處的切線的方程是,即,因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處過的圖象,所以在兩邊附近
3、的函數(shù)值異號(hào),則不是的極值點(diǎn)而,且若,則和都是的極值點(diǎn)所以,即,又由,得,故解法二:同解法一得因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象,所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào),于是存在()當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),;或當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),設(shè),則當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),;或當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),由知是的一個(gè)極值點(diǎn),則,所以,又由,得,故點(diǎn)評(píng) 本題中“在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象”實(shí)際上是指點(diǎn)A處是函數(shù)的拐點(diǎn)。有關(guān)拐點(diǎn)的問題,在講解極值點(diǎn)內(nèi)容時(shí)舉的最多的例子就是函數(shù)。在處雖然導(dǎo)函數(shù)值為0,但不是極值點(diǎn),左右兩邊的單調(diào)性相同。從數(shù)來看,使導(dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)方程的偶次重根。所以本例中可知是重根。2、函數(shù)的凸凹性例2.若對(duì)所有的都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.解析:,設(shè)則 , 由得。注意
4、到F(0)=0,若在定義域有極值則比在區(qū)間(0,+)外.即另解:f(x)的示意圖如圖,由圖可知直線y=ax在區(qū)間(0,+)上恒在y=f(x)圖像下方,所以a1.點(diǎn)評(píng):本題注意的圖像過定點(diǎn)(0,0)考慮數(shù)形結(jié)合就會(huì)帶來一個(gè)問題:雖然可以證明函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),但是遞增的形式是類似還是類似即函數(shù)的凸凹性。我們也可以通過再求導(dǎo),探討切線斜率的增減性來確定函數(shù)圖像遞增的趨勢即凸凹性。二、用高等數(shù)學(xué)思想思想剖析初等數(shù)學(xué)問題更直觀更明了初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),許多初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容都是高等數(shù)學(xué)中的模型。如初等代數(shù)中的代數(shù)式、方程、數(shù)系、函數(shù)等,都是數(shù)學(xué)模型。高等數(shù)學(xué)正是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。高等數(shù)學(xué)
5、與初等數(shù)學(xué)之間有著必然的聯(lián)系,許多初等數(shù)學(xué)無法解答的問題在高等數(shù)學(xué)中得以解決。2.1因式分解問題因式分解是一種重要的恒等變形,它的方法很多,技巧性很強(qiáng),不易掌握,如用高觀點(diǎn)來解決這類問題則可達(dá)到化難為易的效果。例1把分解因式。用初等數(shù)學(xué)方法,需要對(duì)上式拆項(xiàng)。即:顯然上式分解有一定難度,介利用微分法有助于找重因式;先對(duì)求導(dǎo)得,因此可知原式必有三重因式即:。除了利用微分法可以幫助分解因式,還可以利用行列式的方法。引理1(一元多項(xiàng)式)設(shè)是數(shù)域F上的一元多項(xiàng)式則= 證明(參見文獻(xiàn)2)。引理2利用三階行列式的平行線法,可很快算出循環(huán)行列式的值;設(shè)A=,則證明(參見文獻(xiàn)1)。例2分解多項(xiàng)式 。用初等數(shù)學(xué)方
6、法,及之前的微分法都不易分解,但利用引理1,用行列式的方法會(huì)較易求得。解:由引理1可得,原式= = = = (行列式的計(jì)算原理參見文獻(xiàn)3)例3因式分解 。解:由引理2知,則由上兩例可知,利用行列式也可使某些因式分解問題簡化。2.2數(shù)列問題引理3 如果行列式中有兩兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素成比例,則此行列式等于零.證明(參見文獻(xiàn)1)由引理3,可知若不相等的三數(shù)成等差數(shù)列,且則也成等差數(shù)列。推論1,設(shè)分別是一等差數(shù)列的第項(xiàng),第項(xiàng),第項(xiàng)的充要條件是。證:充分性,由 , 知 三點(diǎn)共線,不妨設(shè)該直線的方程為了,得三數(shù)所在數(shù)列的通項(xiàng)公式為,可知是以為通項(xiàng)的等差數(shù)列的第項(xiàng),第項(xiàng),第項(xiàng)。必要性,已知,分別是一等差數(shù)
7、列的第項(xiàng),第項(xiàng),第項(xiàng),設(shè)它們所在的數(shù)列首項(xiàng)為,公差為,所以,例4已知等差數(shù)列的第項(xiàng)為,第項(xiàng)為(0), 求。解:設(shè)等差數(shù)列的第項(xiàng)為,由推論1得得 即推論2,若分別為一公差0的等差數(shù)列的第項(xiàng),第項(xiàng),第項(xiàng),則分別是另一等差數(shù)列的第項(xiàng),第項(xiàng),第項(xiàng)的充要條件是 證明(參見文獻(xiàn)2)。例5:已知某一三角形三邊成等差數(shù)列,三邊長倒數(shù),也成等差數(shù)列,問此三角形的形狀。解,成等差數(shù)列,也成等差數(shù)列從而得或或,又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列故,所以此三角形為等邊三角形。2.3不等式的的問題利用中值定理解中學(xué)數(shù)學(xué)中的不等式例7 證明:當(dāng) 時(shí), 不等式在時(shí)成立。分析:設(shè)則當(dāng) 時(shí), 對(duì)在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理, 有, 當(dāng) 時(shí), 故
8、 從而得證。此例若考慮中學(xué)解法, 需將 展開, 經(jīng)過討論, 再適當(dāng)放大和縮小后得出結(jié)果。例8證明:當(dāng)時(shí),。此題可用中值定理證,也可用的單調(diào)性來證.證明:設(shè)則在上連續(xù),在上可導(dǎo),由拉格朗日定理知在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得,即從例7,8 可以看出, 利用中值定理來證明不等式, 較初等解法要相對(duì)簡單, 同時(shí)可以得到一些常用的公式。3、 總結(jié) 高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別在于研究對(duì)象和方法上的不同:初等數(shù)學(xué)研究的是規(guī)則、平直的幾何對(duì)象和均勻有限過程的常量,亦稱常量數(shù)學(xué),思想方法上片面、孤立、靜止地考慮問題;高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上研究的是不規(guī)則、彎曲的幾何對(duì)象和非均勻無限變化過程的變量,思想方法上是在變化運(yùn)動(dòng)中考慮問題,也就是極限的方法。高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)因其所處歷史時(shí)期不同,因此研究對(duì)象不同,研究方法不同。人們要隨著這種不同轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)時(shí)的思想方法,把初等數(shù)學(xué)的片面、孤立、靜止的思想方法轉(zhuǎn)變成在變化運(yùn)動(dòng)中考慮問題的極限方法,這樣就能很快
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